高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系精品学案

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8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系学 习 任 务核 心 素 养1．了解空间中两条直线的三种位置关系，理解两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线．(重点、难点)2．了解直线与平面的三种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．(重点、易错点)3．了解不重合的两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．(难点)1．通过空间中两条直线的位置关系的学习，培养直观想象的核心素养．2．借助直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系的学习，提升逻辑推理的核心素养．观察你所在的教室．问题：(1)教室内同一列的灯管所在的直线是什么位置关系？(2)教室内某灯管所在的直线和地面是什么位置关系？(3)教室内某灯管所在的直线和黑板左右两侧所在的直线是什么位置关系？(4)教室内黑板面和教室的后墙面是什么位置关系？知识点1　空间中直线与直线的位置关系1．异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．(2)异面直线的画法：如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图．①　　　　　　　　②2．空间两条直线的位置关系位置关系特点相交同一平面内，有且只有一个公共点平行同一平面内，没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点1．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？[提示]　不一定．可能平行、相交或异面．1．不平行的两条直线的位置关系是(　　)A．相交　　　　　　　　 B．异面C．平行   D．相交或异面D　[由于空间两条直线的位置关系是平行、相交、异面，则不平行的两条直线的位置关系是相交或异面．]2．如图，观察正方体ABCD ­A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________．①平行　②异面　③相交　④异面　[直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1内，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”．直线D1D与直线D1C相交于点D1，所以③应该填“相交”．点A1，B，B1在平面A1BB1内，而点C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面，所以②④应该填“异面”．]知识点2　直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝Aa∥α图形表示2．“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是一回事吗？[提示]　不是．前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况，而后者仅指直线与平面平行．3．直线a在平面γ外，则(　　)A．a∥γ   B．a与γ至少有一个公共点C．a∩γ＝A   D．a与γ至多有一个公共点D　[直线a在平面γ外，则直线a与平面γ平行或相交，因此直线a与γ至多有一个公共点．]4．在如图所示的正方体ABCD ­A′B′C′D′中，(1)与AB所在直线平行的平面有________个；(2)与A′B所在直线平行的平面有________个；(3)与A′D′所在直线相交的平面有________个．(1)2　(2)1　(3)2　[(1)与AB所在直线平行的平面有平面A′B′C′D′和平面DCC′D′；(2)与A′B所在直线平行的平面只有平面DCC′D′；(3)与A′D′所在直线相交的平面有平面DCC′D′和平面A′B′BA．]知识点3　两个平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有无数个公共点(在一条直线上)符号表示α∥βα∩β＝l图形表示5．下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是(　　)A　　　　　　　　　BC　　　　　　　　　D[答案]　D6．若M∈平面α，M∈平面β，则α与β的位置关系是(　　)A．平行   B．相交 C．异面   D．不确定B　[∵M∈平面α，M∈平面β，∴α与β相交于过点M的一条直线．]7．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是________．[答案]　平行 类型1　利用符号语言表示位置关系【例1】　(对接教材P130例1)根据下列符号表示的语句，说明点、直线、平面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α．[解]　(1)点A在平面α内，点B不在平面α内．(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上．(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q．图形分别如图①②③所示．①　　　　　　②　　　　　　③解决此类问题要注意符号语言的意义，如点与直线、点与平面之间的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面之间的位置关系只能用“⊂”或“⊄”.用图形语言表示点、直线、平面之间的位置关系时，要注意实线和虚线的区别.1．如图所示，用符号语言可表述为(　　)A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈nA　[平面α与平面β相交于m，所以α∩β＝m；直线n在平面α内，所以n⊂α；直线m与直线n相交于A，所以m∩n＝A．]2．用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系．图①　　　　　　　　图②[解]　图①中，a⊂α，b∩α＝A．图②中，α∩β＝c，a⊂α，a∥c，b⊂β，b∩c＝P． 类型2　空间中两条直线的位置关系【例2】　如图所示，点E，F，G，H分别是正方体ABCD ­A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，则(　　)A．GH＝2EF，且直线EF，GH是相交直线B．GH＝2EF，且直线EF，GH是异面直线C．GH≠2EF，且直线EF，GH是相交直线D．GH≠2EF，且直线EF，GH是异面直线C　[设正方体的棱长为2，则EF＝A1B＝，GH＝＝，所以GH≠2EF．设M，N分别为CC1和A1D1的中点，则六边形EFGMHN是过E，F，G，H四点的平面截正方体的截面(图略)，所以EF与GH是共面直线．因为EF与GH不平行，所以EF与GH是相交直线．故选C．]如何判断两条直线是平行、相交还是异面？[提示]　1．判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断．2．判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．3．在空间四边形ABCD中，E，F分别为对角线AC，BD的中点，则BE与CF(　　)A．平行　　　　　　　　 B．异面C．相交   D．以上均有可能B　[假设BE与CF是共面直线，设此平面为α，则E，F，B，C∈α，所以BF，CE⊂α，而A∈CE，D∈BF，所以A，D∈α，即有A，B，C，D∈α，与ABCD为空间四边形矛盾，所以BE与CF是异面直线．]4．在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，与棱AA1异面的棱有(　　)A．8条　　　B．6条　　　C．4条　　　D．2条C　[正方体共有12条棱，其中与AA1平行的有BB1，CC1，DD1，共3条，与AA1相交的有AD，AB，A1D1，A1B1，共4条，因此与棱AA1异面的棱有11－3－4＝4(条)，故选C．] 类型3　空间中直线与平面的位置关系【例3】　(1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是(　　)A．直线上所有的点都在平面外B．直线上有无数多个点都在平面外C．直线上有无数多个点都在平面内D．直线上至少有一个点在平面内(2)下列说法中，正确的个数是(　　)①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；③两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行．A．0    B．1    C．2    D．3(1)B　(2)C　[(1)直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外．(2)易知①正确，②正确．③中两条相交直线中一条与平面平行，另一条可能平行于平面，也可能与平面相交，故③错误．选C．]直线与平面位置关系的判断(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内；要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点；要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．5．已知两平面α，β平行，且a⊂α，下列三个命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β无公共点．其中正确命题的个数是(　　)A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．0B　[①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行，有一些是异面直线；②正确；③根据定义a与β无公共点，正确．] 类型4　平面与平面位置关系的判定【例4】　(1)如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是(　　)A．平行   B．相交C．平行或相交   D．不能确定(2)完成下列作图：①在图中画出一个平面与两个平行平面相交．②在图中分别画出三个两两相交的平面．1．若一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面之间有什么位置关系？[提示]　因为一个平面内任意一条直线都与另一个平面平行，所以该平面与另一平面没有公共点，根据两平面平行的定义知，这两个平面平行．2．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？[提示]　不正确．如图，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条直线a1，a2，…，an，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，an与平面β都平行，但此时α不平行于β，而是α∩β＝l．(1)C　[逆向考虑画两平行面，看是否能在此两面内画两条平行线．同样画两相交面，看是否能在此两面内画两条平行线，再作出选择(如图所示)．(2)[解]　①如图所示， ②如图所示，1．平面与平面的位置关系的判断方法(1)平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点．(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．2．常见的平面和平面平行的模型(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行．(2)长方体的六个面中，三组相对面平行． 6．三个平面最多能把空间分为________部分，最少能把空间分成________部分．8　4　[三个平面可将空间分成4,6,7,8部分，所以三个平面最少可将空间分成4部分，最多分成8部分．]1．直线a与直线b相交，直线c与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是(　　)A．相交　　　　　　　　 B．平行C．异面   D．以上都有可能D　[如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB与AA1相交，A1B1与AA1相交，AB∥A1B1；又AD与AA1相交，AB与AD相交；又A1D1与AA1相交，AB与A1D1异面．故选D．]2．已知A，B，C，D是空间内四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC与BD不相交，则甲是乙的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A　[若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，当直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙的充分不必要条件．]3．若a是平面α外的一条直线，则直线a与平面α内的直线的位置关系是(　　)A．平行   B．相交C．异面   D．平行、相交或异面D　[若a∥α，则a与α内的直线平行或异面；若a与α相交，则a与α内的直线相交或异面．]4．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填序号)②④　[如题干图①中，GH∥MN．图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面．图③中，连接GM，GM∥HN，因此GH与MN共面．图④中，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以图②④中GH与MN异面．]5．过平面外两点，可作________个平面与已知平面平行．0或1　[若过两点的直线与已知平面相交，则作不出平面与已知平面平行；若过两点的直线与已知平面平行，则可作一个平面与已知平面平行．]回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)空间中两直线的位置关系有哪几种？如何判断它们的位置关系？(2)空间中直线与平面的位置关系有哪几种？如何判断？(3)空间中两平面的位置关系有哪几种？如何判断？