陕西省西安市西工大附中2022届高三上学期第四次适应性训练数学（理）试题含答案

2022年全国普通高等学校招生统一考试第四次适应性训练

理科数学

一．选择题（12×5=60分）

1.已知集合，则满足条件的集合的个数为(    )

A.2                B.3            C.4               D.8

2．若复数，其中是虚数单位，则复数的模为（    ）

A.               B.          C.           D.2

3.下列命题中错误的是(    )

A．如果，那么平面内一定存在直线平行于平面

B．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面

C．如果平面⊥平面，平面⊥平面，，那么⊥平面

D．如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面

4.下列四个命题中,正确的有(    )

①随机变量服从正态分布,则

②

③命题的否定是

④复数,若则

A.1个             B.2个          C.3个            D.4个

5．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角、间的圆弧长为，嘴角间的距离为，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则、和所满足的恒等关系为（    ）

A．      B．     C．    D．

6．已知实数满足不等式组则的最大值为(    )

A.16            B.12           C.5             D.3

7．如图，矩形内的阴影部分是由曲线及直线与轴围成，向矩形内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则的值是（    ）

A.             B.          C.             D.

8.已知为平面向量，若与的夹角为，与的夹角为，则（   ）

A.            B.             C.           D.

9．已知中，，则该三角形的形状为（    ）

A．等边三角形     B．直角三角形    C．等腰三角形    D．等腰直角三角形

10．已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率是(    )

A.               B.                C.               D.

11.正四面体的棱长为4，为棱的中点，过作此正四面体的外接球的截面，则该截面面积的取值范围是（    ）

A.        B.      C.          D.

12．已知点，曲线，直线与曲线交于两点，若周长的最小值为2，则的值为(    )

A.8                B.6               C.4                 D.2

二．填空题(4×5=20分)

13.设，若，则的最大值为        .

14.二项式的展开式中常数项为，则的值为         .

15.双曲线的左、右焦点分别为、，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为          ．

16.将正整数排成下图所示的数阵，其中第行有个数，如果2 021是表中第行的第个数，则            .

三．解答题（5×12+10=70分）

（一）必考题：共60分

17．（本题满分12分）已知数列的前项和为.

（1）从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立，

①,②,③

（2）在（1）的条件下，若，数列的前项和为，

求证：.

18.（本题满分12分）如图，已知，，，平面平面，，，为中点．

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正切值．

19．（本题满分12分）少数民族文化作为中华文化的重要组成部分，是社会主义文化建设的重要内容.长期以来，连江县将保护畲族文化作为民族工作的一项重要工作，每年农历三月三，连江县小沧乡都会举行畲族文化节，畲族青年男女喜欢跳起欢快的竹竿舞.跳竹竿舞，不但是一种文娱活动，而且能强身健体.现有的竹竿各3根､2根､2根，从中随机取出3根.

（1）求所取3根竹竿中恰有2根长度相同的概率；

（2）表示所取3根竹竿中长度的中位数，求的分布列和数学期望.

20.（本题满分12分）已知点，点是圆上的任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点，记动点的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）设是分别过点的两条平行直线，交曲线于两个不同的点，交曲线于两个不同的点，求四边形面积的最大值．

21.（本题满分12分）已知函数在原点处的切线方程为.

（1）求的值及f (x)的单调区间；

（2）记，b∈(0,2)，讨论函数g(x)在(0,π)上零点的个数.(参考数据：).

（二）选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.

22.（本题满分10分）【选修4-4  极坐标与参数方程】在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程，曲线的极坐标方程为．

（1）写出直线和曲线的直角坐标方程；

（2）已知点，若直线与曲线交于两点，中点为，求的值．

23.（本题满分10分）【选修4-5   不等式选讲】设函数，.

（1）解不等式；

（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.

2022年全国普通高等学校招生统一考试第四次适应性训练

理科数学参考答案

一．选择题

二．填空题

13.        1                    14.         2             

15.                          16.       1009               

三．解答题

17.（1）若选①②推出③

证明：因为所以

所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以当时，与上式相减得当，

所以成立.

若选①③推出②

证明:因为

所以

（2）证明：由（1）知，

所以

18. （1）证明：设中点为，连，∵为中点，

∴，又由题意，∴，且，∴四边形为平形四边形，

∴∵∴，

又∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面．又平面，∴，∴，

又，∴，∴，

∵，平面，平面，∴平面．

（2）以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立如图所示坐标系，，，，，设平面的法向量，则，∴取，，，∴，

设直线与平面所成角为，则，∴.

19.解：（1）记“所取3根竹竿中恰有2根长度相同”为事件A，则

（2）X的可能值为3，4，5，则

X的分布列为

20（Ⅰ）由题意，线段的垂直平分线与直线交于点Q，

可得，所以，

所以Q的轨迹是以点为焦点，6为长轴长的椭圆，

设椭圆的方程为，可得，则，

所以点Q的轨迹方程为.

（Ⅱ）直线的斜率不为0，设，直线的方程为，联立方程组，整理得，则，所以根据椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，原点O是对角线的交点，所以四边形的面积等于的面积的4倍，点O到直线：的距离，

所以的面积，

令，则，可得，

设，则，

因为，所以，所以函数在单调递增，

所以当时，取得最小值，最小值为，

所以的面积的最大值为，四边形ABNM的面积的最大值为．

21.解：（1）

在递增， .

综上：

22【解析】（1）因为直线，故，

即直线的直角坐标方程为，

因为曲线：，则曲线的直角坐标方程为，即，

（2）设直线的参数方程为（为参数），

代入曲线的直角坐标系方程得．

设，对应的参数分别为，，则，，

所以M对应的参数，

故

23解：（1）

当时，，即，即，即，即

当时，，即，即

当时，，即，即，

综上所述，不等式的解集为

（2）

当时，，即，所以，得

当时，，即，所以，即

当时，，即，即可，即

综上所述，，即的取值范围为