苏教版 (2019)选择性必修第二册第6章 空间向量与立体几何本章综合与测试导学案

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第二册第6章 空间向量与立体几何本章综合与测试导学案，共7页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))等于( )
A.eq \(AG,\s\up6(→)) B.eq \(CG,\s\up6(→)) C.eq \(BC,\s\up6(→)) D.eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))
答案 A
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)×2eq \(BG,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BG,\s\up6(→))＝eq \(AG,\s\up6(→)).
2．在四面体OABC中，空间的一点M满足eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(OB,\s\up6(→))＋λeq \(OC,\s\up6(→))，若M，A，B，C共面，则λ等于( )
A.eq \f(7,12) B.eq \f(1,3) C.eq \f(5,12) D.eq \f(1,2)
答案 A
解析 因为M，A，B，C共面，所以eq \f(1,4)＋eq \f(1,6)＋λ＝1，
解得λ＝eq \f(7,12).
3．在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是( )
A．垂直 B．平行
C．异面 D．相交但不垂直
答案 B
解析 因为A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，
所以eq \(AB,\s\up6(→))＝(－3，－3,3)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(1,1，－1)，
可得eq \(AB,\s\up6(→))＝－3eq \(CD,\s\up6(→))，
所以eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(CD,\s\up6(→)).
又同理可得eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))不平行，所以直线AB与CD的位置关系是平行，故选B.
4．与A(3,4,5)，B(－2,3,0)两点距离相等的点M(x，y，z)满足的条件是( )
A．10x＋2y＋10z－37＝0
B．5x－y＋5z－37＝0
C．10x－y＋10z＋37＝0
D．10x－2y＋10z＋37＝0
答案 A
解析 由MA＝MB，得(x－3)2＋(y－4)2＋(z－5)2＝(x＋2)2＋(y－3)2＋z2.化简得，10x＋2y＋10z－37＝0.
5．已知向量a＝(－2，x,2)，b＝(2,1,2)，c＝(4，－2,1)，若a⊥(b－c)，则x的值为( )
A．－2 B．2 C．3 D．－3
答案 A
解析 ∵b－c＝(－2,3,1)，a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，
∴x＝－2.
6．已知A(3,3,3)，B(6,6,6)，O为原点，则eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(BO,\s\up6(→))的夹角是( )
A．0 B．π C.eq \f(3π,2) D．2π
答案 B
解析 eq \(OA,\s\up6(→))＝(3,3,3)，eq \(BO,\s\up6(→))＝(－6，－6，－6)，
则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(BO,\s\up6(→))＝3×(－6)＋3×(－6)＋3×(－6)＝－54，
|eq \(OA,\s\up6(→))|＝3eq \r(3)，|eq \(BO,\s\up6(→))|＝6eq \r(3)，
所以cs〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(BO,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(OA,\s\up6(→))·\(BO,\s\up6(→)),|\(OA,\s\up6(→))||\(BO,\s\up6(→))|)＝eq \f(－54,3\r(3)×6\r(3))＝－1，
所以〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(BO,\s\up6(→))〉＝π.
二、多项选择题
7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC1的中点为O，则下列互为相反向量的是( )
A.eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))与eq \(OB1,\s\up6(→))＋eq \(OC1,\s\up6(→))
B.eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))与eq \(OA1,\s\up6(→))－eq \(OD1,\s\up6(→))
C.eq \(OA1,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OC1,\s\up6(→))
D.eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))与eq \(OA1,\s\up6(→))＋eq \(OB1,\s\up6(→))＋eq \(OC1,\s\up6(→))＋eq \(OD1,\s\up6(→))
答案 ACD
解析 如图，
根据图形可看出，选项A，D的两向量互为相反向量；
eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(OA1,\s\up6(→))－eq \(OD1,\s\up6(→))＝eq \(D1A1,\s\up6(———→))，eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(D1A1,\s\up6(———→))，
∴选项B的两向量不是相反向量；
eq \(OA1,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OC1,\s\up6(→))＝eq \(C1C,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(→))和eq \(C1C,\s\up6(→))互为相反向量，
∴选项C的两向量互为相反向量．
8．已知向量a＝(1,1,0)，则与a共线的单位向量e等于( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，0)) B．(0,1,0)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0)) D．(1,1,1)
答案 AC
解析 由于向量a＝(1,1,0)，
所以|a|＝eq \r(12＋12＋02)＝eq \r(2)，
根据单位向量的关系式e＝±eq \f(a,|a|)，
可得e＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，0))或e＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0)).
三、填空题
9．如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))}为基底，则eq \(GE,\s\up6(→))＝____________.
答案 －eq \f(1,12)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))
解析 由题意，连接AE(图略)，
则eq \(GE,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(BD,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(AM,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))－eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))
＝－eq \f(1,12)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→)).
10．若a＝(2,3，－1)，b＝(－2,1,3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为________．
答案 6eq \r(5)
解析 a·b＝2×(－2)＋3×1＋(－1)×3＝－4，
|a|＝eq \r(14)，|b|＝eq \r(14)，
所以cs〈a，b〉＝eq \f(－4,\r(14)×\r(14))＝－eq \f(2,7).
所以sin〈a，b〉＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,7)))2)＝eq \f(3\r(5),7).
因此以a，b为邻边的平行四边形的面积为
|a||b|sin〈a，b〉＝eq \r(14)×eq \r(14)×eq \f(3\r(5),7)＝6eq \r(5).
11．已知在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为__________________．
答案 eq \r(85)
解析 如图所示，
eq \(AC′,\s\up6(—→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CC′,\s\up6(—→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA′,\s\up6(—→))，
故|eq \(AC′,\s\up6(—→))|2＝|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA′,\s\up6(—→))|2＝eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AD,\s\up6(→))2＋eq \(AA′,\s\up6(—→))2＋2(eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AA′,\s\up6(—→))＋eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AA′,\s\up6(—→)))
＝42＋32＋52＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4×3×0＋4×5×\f(1,2)＋3×5×\f(1,2)))＝85，
故|eq \(AC′,\s\up6(—→))|＝eq \r(85).
12．如图，将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱，的长为eq \f(2π,3)，的长为eq \f(π,3)，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．则异面直线B1C与AA1所成的角的大小为________．
答案 eq \f(π,4)
解析 以O为坐标原点，OA，OO1所在直线分别为y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，
则A(0,1,0)，A1(0,1,1)，B1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，1))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)，0)).
所以eq \(AA1,\s\up6(→))＝(0,0,1)，eq \(B1C,\s\up6(→))＝(0，－1，－1)，
则eq \(AA1,\s\up6(→))·eq \(B1C,\s\up6(→))＝02＋0×(－1)＋1×(－1)＝－1，
所以cs〈eq \(AA1,\s\up6(→))，eq \(B1C,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AA1,\s\up6(→))·\(B1C,\s\up6(→)),|\(AA1,\s\up6(→))|·|\(B1C,\s\up6(→))|)＝eq \f(－1,1×\r(2))＝－eq \f(\r(2),2).
因此，异面直线B1C与AA1所成的角为eq \f(π,4).
四、解答题
13．已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．
(1)求|2a＋b|；
(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得eq \(OE,\s\up6(→))⊥b？(O为原点)
解 (1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，
故|2a＋b|＝eq \r(02＋－52＋52)＝5eq \r(2).
(2)假设在直线AB上，存在一点E，使得eq \(OE,\s\up6(→))⊥b，则存在实数t，使eq \(AE,\s\up6(→))＝teq \(AB,\s\up6(→))，
所以eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→))
＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)
＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，
若eq \(OE,\s\up6(→))⊥b，则eq \(OE,\s\up6(→))·b＝0，
所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，
解得t＝eq \f(9,5)，因此存在点E，使得eq \(OE,\s\up6(→))⊥b，E点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，－\f(14,5)，\f(2,5))).
14．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．
(1)用向量a，b，c表示eq \(D1B,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→))；
(2)若eq \(D1F,\s\up6(→))＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．
解 (1)如图，连接AC，EF，D1F，BD1，
eq \(D1B,\s\up6(→))＝eq \(D1D,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))
＝－eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝a－b－c，
eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(D1A,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,2)(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AA1,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a－c)＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)c.
(2)eq \(D1F,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(D1D,\s\up6(→))＋eq \(D1B,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(－eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(D1B,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)(－c＋a－b－c)＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b－c，
又eq \(D1F,\s\up6(→))＝xa＋yb＋zc，∴x＝eq \f(1,2)，y＝－eq \f(1,2)，z＝－1.
15．已知正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0求：(1)MN的长；
(2)a为何值时，MN的长最小．
解 (1)因为平面ABCD⊥平面ABEF，
平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，
BE⊂平面ABEF，
所以BE⊥平面ABCD.所以AB，BC，BE两两垂直．
过点M作MG⊥AB，MH⊥BC，垂足分别为点G，H，连接NG，易证NG⊥AB.因为CM＝BN＝a，
所以CH＝MH＝BG＝GN＝eq \f(\r(2),2)a，
所以以B为坐标原点，以BA，BE，BC所在直线为x轴、y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)a，0，1－\f(\r(2),2)a))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a，0)).所以
MN＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)a－\f(\r(2),2)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(\r(2),2)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(2),2)a－0))2)
＝eq \r(a2－\r(2)a＋1)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(\r(2),2)))2＋\f(1,2))(0(2)因为MN＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(\r(2),2)))2＋\f(1,2))(0故当a＝eq \f(\r(2),2)时，MNmin＝eq \f(\r(2),2)，这时M，N恰好分别为AC，BF的中点．