2021年湖南省长沙市雨花区广益实验中学中考数学一模试卷

2021年湖南省长沙市雨花区广益实验中学中考数学一模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. ，，，这四个数中，最小的数是

A.  B.  C.  D.

2. 截止到年月日，电影你好，李焕英累计票房达到亿元，进入全球前名，同时贾玲成为了全球票房最高的女导演，其中数据亿用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 如图是由个相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图是

A. B.
C. D.
 

4. 为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘．再从鱼塘中打捞条鱼，如果在这条鱼中有条鱼是有记号的，则估计该鱼塘中的鱼数约为 

A. 条 B. 条 C. 条 D. 条

5. 为了促使药品及医用耗材的价格回归合理水平，减轻群众就医负担，国家近几年大力推进带量采购制度改革，在改革推进的过程中，某药品经过两次降价，每瓶零售价由元降为元．已知两次降价的百分率都为，那么满足的方程是

A.  B.
C.  D.

6. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

7. 已知三角形两边的长分别是和，则此三角形第三边的长可以是

A.  B.  C.  D.

8. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是

A.  B.  C.  D.

9. 关于的方程为常数无实数根，则点在

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

10. 下列命题中，其逆命题是真命题的是

A. 两直线平行，内错角相等 B. 对顶角相等
C. 全等三角形的对应角相等 D. 正方形的四条边相等

11. 如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他作了如下操作：在点处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；量得测角仪的高度米；量得测角仪到旗杆的水平距离米利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为

A. 米 B. 米
C. 米 D. 米

12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴、轴上，对角线轴，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点若点，，则的值为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12分）

13. 因式分解：______．
14. 用圆心角为，半径为的扇形围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面直径为______．
15. 如图，四边形内接于圆，，则的度数是______度．
    
    
    
     

16. 如图，在中，，以直角顶点为圆心，长为半径画弧交于点，过作于点若，则的周长用含的代数式表示为______
    ．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17. 计算．
    
    
    
    
    
    
     
18. 解不等式组，并求出正整数解．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图是某区域的平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的
    北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里．
    填空：______度，______度；
    求观测站到的距离结果保留根号．

20. 新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：级为优秀，级为良好，级为及格，级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：
    
    本次抽样测试的学生人数是______名；
    扇形统计图中表示级的扇形圆心角的度数是______，并把条形统计图补充完整；
    该校八年级共有学生名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为______；
    某班有名优秀的同学分别记为、、、，其中为小明，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接．
    求证：四边形是菱形；
    若，，求四边形的面积．
    
    
    
    
    
    
     
22. 年中考在即，为了更好地调整同学们的应试状态，我校某班积极筹备体育释压活动，现决定购买一批篮球和足球共个．已知在线下商店购买个篮球和个足球共需元，购买个篮球和个足球共需元．
    求在线下商店购买篮球和足球的单价；
    经过市场调查分析，发现在线上商店购买更划算，已知线上商店篮球的单价和线下商店一样，但线上商店足球有优惠活动，足球的单价是线下的八折，若学校要求购买篮球的个数不得少于足球的个数的倍，那么学校在线上商店应分别购买多少数量的篮球和足球才能使得所花费用最少？并求出该费用的最小值？
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知：如图，中，，，点在上，以为圆心，为半径画，分别与边、相交于点、，，，垂足分别为、．
    求证：是的切线；
    设，求的长；
    设，求的长用含的代数式表示．

24. 在平面直角坐标系中，将一点横坐标与纵坐标不相等横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“点”，如与是一对“点”．
    点和它的“点“均在直线上，求的值；
    直线与抛物线的两个交点，恰好是一对“点”，其中点在反比例函数的图象上，求此抛物线的解析式；
    已知，为抛物线上的一对“点”，且满足：，，点为抛物线上一动点，若该抛物线上有且仅存在个点满足的面积为，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，若关于的二次函数为常数且与轴交于两个不同的点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，是坐标原点．
    
    若，，，求此二次函数的解析式及顶点的坐标；
    当，时，以为直径的圆恰好经过点，求经过点且恰好与抛物线只有一个交点的直线函数解析式；
    如图，连接，直线与轴交于点，满足，且，的面积为，求，，的值．
     

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，
最小的数是．
故选：．
正数大于，负数小于，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
本题考查了实数的比较大小，解题时注意两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
 

2.【答案】
 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】
 

【解析】解：这个立体图形的俯视图有三列，每列小正方形的个数分别为、、，
故选：．
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图是解题关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：，
条．
故选C
首先求出有记号的条鱼在条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．
本题考查了统计中用样本估计总体的思想，关键是根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例解答．
 

5.【答案】
 

【解析】解：依题意得：．
故选：．
利用该药品经过两次降价后的价格原价降价的百分率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：、原式，所以选项不符合题意；
B、原式，所以选项不符合题意；
C、与不能合并，所以选项不符合题意；
D、原式，所以选项符合题意．
故选：．
根据同底数幂的除法法则对进行判断；根据完全平方公式对进行判断；根据合并同类项对进行判断；根据幂的乘方对进行判断．
本题考查了完全平方公式：熟练掌握完全平方公式是解决此类问题的关键；完全平方公式为也考查了整式的运算．
 

7.【答案】
 

【解析】解：设第三边长为，则由三角形三边关系定理得，即．
因此，本题的第三边应满足，
只有符合不等式，
故选：．
已知三角形的两边长分别为和，根据在三角形中任意两边之和第三边，任意两边之差第三边；即可求第三边长的范围．
考查了三角形的三边关系，此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
 

8.【答案】
 

【解析】解：反比例函数的，
函数图象的两个分式分别位于二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大．
，，
点，位于第二象限，
，，
，
．
，
点位于第四象限，
，
．
故选：．
先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：，，，
，
解得：，
点在第一象限，
故选：．
关于的方程无实数根，即判别式即可得到关于的不等式，从而求得的范围，进而得到结论．
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
 

10.【答案】
 

【解析】解：“两直线平行，内错角相等”的逆命题为“内错角相等，两直线平行”，此逆命题为真命题，所以选项符合题意；
B.“对顶角相等”的逆命题为“相等的角为对顶角”，此逆命题为假命题，所以选项不符合题意；
C.“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的两三角形全等”，此逆命题为假命题，所以选项不符合题意；
D.“正方形的四条边相等”的逆命题为“四条边相等的四边形为正方形”，此逆命题为假命题，所以选项不符合题意．
故选：．
先交换命题的题设与结论得到四个命题的逆命题，然后分别根据平行线的判定方法、对顶角的定义、全等三角形的判定和正方形的判定对四个逆命题的真假进行判断．
本题考查了命题：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．也考查了逆命题．
 

11.【答案】
 

【解析】解：过作于，则四边形是矩形，
米，米，
，
，
，
米，
即旗杆的高度为米，
故选：．
过作于，则四边形是矩形，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知识，求出点坐标是解题的关键．
根据平行于轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设利用矩形的性质得出为中点，根据线段中点坐标公式得出．
由勾股定理得出，列出方程，求出，得到点坐标，代入，利用待定系数法求出．
【解答】
解：轴，，
、两点纵坐标相同，都为，
可设．
矩形的对角线的交点为，
为中点，．
．
，
，
，，，
，
解得，
．
反比例函数的图象经过点，
．
故选：．  

13.【答案】
 

【解析】解：原式．
故答案为：．
首先提公因式，再利用平方差进行二次分解即可．
此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
 

14.【答案】
 

【解析】解：设这个圆锥的底面半径为，
根据题意得，解得，
所以这个圆锥的底面直径为．
故答案为．
设这个圆锥的底面半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

15.【答案】
 

【解析】解：，
，
．
故答案是：．
先根据圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质求的度数．
本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

16.【答案】
 

【解析】解：，，，
，．
，，
是等边三角形，，，
，，
点是斜边的中点，
，，
，
的周长．
故答案为：．
先根据，，可知，，再由可知点是斜边的中点，由此可用表示出的长，根据勾股定理可得出的长，由此可得出结论．
本题考查的是含的直角三角形，熟知在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解答此题的关键．
 

17.【答案】解：原式
．
 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
其正整数解为，．
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：，；
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
解得：，
答：观测站到的距离为海里．
 

【解析】【试题解析】

解：由题意得：，，
；
故答案为：，；
见答案．
由题意得：，，由三角形内角和定理即可得出的度数；
证出是等腰直角三角形，得出，求出，由题意得出，解得即可．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，通过解直角三角形得出方程是解题的关键．

20.【答案】解：；
；
级人数为：人．
补全条形统计图，如图所示：

人
画树状图得：

共有种等可能的结果，选中小明的有种情况，
选中小明的概率为．
 

【解析】

解：本次抽样测试的学生人数是：人；
故答案为：；
级的百分比为：，
；
故答案为：；
补全条形统计图见答案；
人．
故估计优秀的人数为人；
故答案为：人．
见答案．
【分析】
由题意可得本次抽样测试的学生人数是：人，
首先可求得级人数的百分比，继而求得的度数，然后补全条形统计图；
根据级人数的百分比，列出算式即可求得优秀的人数；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果数与选中小明的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．  

21.【答案】证明：由题意可得，
≌，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
矩形中，，，，
，，
，
，
设，则，，
，
，
解得，，
，
四边形的面积是：．
 

【解析】本题考查翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质．
根据题意和翻折的性质，可以得到≌，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立；
根据题意和勾股定理，可以求得的长，进而求得和的值，从而可以得到四边形的面积．
 

22.【答案】解：设在线下商店购买篮球的单价为元，足球的单价为元，
依题意得：，
解得：．
答：在线下商店购买篮球的单价为元，足球的单价为元；
设学校在线上商店购买个篮球，则购买个足球，
依题意得：，
解得：．
设学校在线上商店购买这些篮球和足球共花费元，
则．
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值元．
答：学校在线上商店购买个篮球，个足球时，所花费用最少，最少费用为元．
 

【解析】设在线下商店购买篮球的单价为元，足球的单价为元，根据购买个篮球和个足球共需元，购买个篮球和个足球共需元，列出方程组，求解即可；
设学校在线上商店购买个篮球，则购买个足球，根据题意列出函数关系式，再根据的取值范围由函数的性质求最小值．
本题考查一次函数和二元一次方程组的应用，关键是根据题意列出函数解析式．
 

23.【答案】证明：如图，连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点在上，
是的切线；
如图，连接，

，
∽．
，
，
，
；
，
，
，
，
由知：，即，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
．
 

【解析】由等腰三角形的性质和平行线的性质可证，可得结论；
通过证明∽可得，即可求解；
通过证明∽，可得，即可求解．
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
 

24.【答案】解：点和它的“点“均在直线上，
把和代入，
得：，
两式相减得：，
；
设点坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
点和它的“点”均在直线上，
由得，，
，即，
由，
解得： 或，
这一对“点”坐标为和，
将这两点坐标分别代入，
得方程组：，
解得：，
抛物线的表达式为：；
，，
 或，
，
点坐标为，点坐标为，
根据题意得：，
解得：，
二次函数关系式为：，
过点作交轴于点，
根据同底等高可得，，
该抛物线上有且仅存在个点满足的面积为，
该直线与抛物线有且只有一个交点，
设直线的函数关系式为：，
把和代入，
得，，
解得：，
设直线的关系式为：，
，
，
解得：，
时，如图，在下方有一个点，上方必有两个点满足条件，
点坐标为，
直线的关系式为：，
联立方程组：，
消元得：，
，
解得：，
，，
；
时，如图，在上方有一个点，下方必有两个点满足条件，
点坐标为，
直线的关系式为：，
联立方程组：，
消元得：，
，
解得：，
，，
，
综上所述：或．
 

【解析】点和它的“点“均在直线上，把和代入，得：，即可求解；
设点坐标为，由题意得，解得： 或，把和代入，得方程组：，即可求解；
由题意得， 或，解得点坐标为，点坐标为，根据题意得：，解得：，二次函数关系式为：，
过点作交轴于点，根据同底等高可得，，根据题意可得该直线与抛物线有且只有一个交点，通过联立直线与抛物线的函数关系式讨论方程组有且只有一解，即可求解．
本题考查了二次函数待定系数法，新定义“点”的阅读理解，函数图像上点的坐标特征，两线交点坐标的讨论，解题关键是由题意分析出直线与抛物线有且只有一个交点．
 

25.【答案】解：将点，，代入，
可得：，
解得：，
二次函数的解析式为：，
顶点坐标为；
连接，，
当，时，
点坐标为，点坐标为，
由一元二次方程根与系数的关系：，
，
点的坐标为，
以为直径的圆恰好经过点，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，解得：，
，
把点代入，
，解得：，
二次函数的解析式为：，
点的坐标为，
设过点直线的解析式为：，
联立方程组：，
可得：，
直线与抛物线只有一个交点，
，
解得：，
直线函数的解析式为：；
，点的坐标为，
则，点坐标为，
由一元二次方程根与系数的关系：可得，
，
点坐标为，
顶点坐标，，
直线的函数关系式为：，
根据题意得，，
解得：，
直线的解析式为：，
点坐标为，
由此可得，，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
把点代入二次函数解析式，
得：，
，
，
将式代入式得，，
将代入，
得，，
解得：，
的坐标为，
又，
，
解得，舍去，
又，
综上所述：，，．
 

【解析】将点，，代入，可得：，解得方程组即可求解；
连接，，当，时，由一元二次方程根与系数的关系：，求出点的坐标为，由以为直径的圆恰好经过点，证出∽，得，得，解得：，易求二次函数的解析式为：，设过点直线的解析式为：，联立方程组：，可得：，通过讨论一元二次方程根的情形即可求出的值；
由，点的坐标为，则，点坐标为，利用一元二次方程根与系数的关系：可得，求出，标表示出点坐标为，由顶点坐标，，用待定系数法表示出直线的解析式为：，点坐标为，再相似得，勾股定理得，得，，利用整体思想先求出的值，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出，的值．
本题考查了二次函数的综合性问题，待定系数法求函数关系式，相似三角形的性质判定，勾股定理的运用，解题关键是综合解题的能力．