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2021年湖北省黄冈市高考文科数学一模试卷（含解析）
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这是一份2021年湖北省黄冈市高考文科数学一模试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年湖北省黄冈市高考数学模拟试卷〔文科〕〔3月份〕
一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．
1．假设复数z满足〔i为虚数单位〕，那么复数z=〔 〕
A．1 B．2 C．i D．2i
2．设集合A={x|x＞﹣1}，B={x|x≥1}，那么“x∈A且x∉B〞成立的充要条件是〔 〕
A．﹣1＜x≤1 B．x≤1 C．x＞﹣1 D．﹣1＜x＜1
3．以下命题中假命题的是〔 〕
A．∃x0∈R，lnx0＜0 B．∀x∈〔﹣∞，0〕，ex＞x 1
C．∀x＞0，5x＞3x D．∃x0∈〔0， ∞〕，x0＜sinx0
4．双曲线=1的渐近线方程为y=，那么此双曲线的离心率为〔 〕
A． B． C．3 D．
5．函数y=f〔x﹣l〕 x2是定义在R上的奇函数，假设f〔﹣2〕=1，那么f〔0〕=〔 〕
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
6．正项数列{an}中，a1=l，a2=2，〔n≥2〕，那么a6=〔 〕
A．16 B．4 C．2 D．45
7．假设点M是△ABC所在平面内的一点，且满足|3﹣﹣|=0，那么△ABM与△ABC面积之比等于〔 〕
A． B． C． D．
8．图是某算法的程序框图，那么程序运行后输出的T是〔 〕
A．1 B．2 C．3 D．4
9．f〔x〕=Asin〔ωx φ〕〔A＞0，ω＞0，0＜φ＜π〕，函数f〔x〕的图象如下图，那么f的值为〔 〕
A． B．﹣ C． D．﹣
10．如下图是一个几何体的三视图，那么这个几何体外接球的外表积为〔 〕
A．8π B．16π C．32π D．64π
11．不等式组表示区域D，过区域D中任意一点P作圆x2 y2=1的两条切线且切点分别为A，B，当∠PAB最小时，cos∠PAB=〔 〕
A． B． C．﹣ D．﹣
12．将向量=〔x1，y1〕，=〔x2，y2〕，…=〔xn，yn〕组成的系列称为向量列{}，并定义向量列{}的前n项和．如果一个向量列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等差向量列．假设向量列{}是等差向量列，那么下述四个向量中，与一定平行的向量是〔 〕
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每题5分．
13．两位女生和两位男生站成一排照相，那么两位男生不相邻的概率是．
14．函数f〔x〕=excosx在点〔0，f〔0〕〕处的切线方程为．
15．抛物线y2=2px〔p＞0〕的焦点为F，过点F且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A、B两点〔A点位于x轴上方〕，假设△AOF的面积为3，那么p=．
16．x∈R时，如果函数f〔x〕＞g〔x〕恒成立，那么称函数f〔x〕是函数g〔x〕的“优越函数〞．假设函数f〔x〕=2x2 x 2﹣|2x 1|是函数g〔x〕=|x﹣m|的“优越函数〞，那么实数m的取值范围是．
三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．函数f〔x〕=2cos〔2ωx 〕﹣2cos2ωx 1〔ω＞0〕的最小正周期为π．
〔Ⅰ〕求f〔x〕的对称中心；
〔Ⅱ〕在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，假设△ABC为锐角三角形且f〔A〕=0，求的取值范围．
18．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质m的严重问题，为了了解强度D〔单位：分贝〕与声音能量I〔单位：W/cm2〕之间的关系，将测量得到的声音强度Di和声音能量Ii〔i=1.2．…，10〕数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
〔Ii﹣〕2
〔Wi﹣〕2
〔Ii﹣〕〔Di﹣〕
〔Wi﹣〕〔Di﹣〕
1.04×10﹣11
45.7
﹣11.5
1.56×10﹣21
0.51
6.88×10﹣11
5.1
表中Wi=lgIi， =Wi
〔Ⅰ〕根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的回归方程D=a blgI；
〔Ⅱ〕当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点P共受到两个
声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2，且．点P的声音
能量等于声音能量Il与I2之和．请根据〔I〕中的回归方程，判断P点是否受到噪声污染的干
扰，并说明理由．
附：对于一组数据〔μl，ν1〕，〔μ2，ν2〕，…〔μn，νn〕，其回归直线ν=α βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β=
， =﹣β．
19．四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上下底面分别是边长为2和4的正方形，AA1=4且AA1⊥底面ABCD，点P为DD1的中点．
〔Ⅰ〕求证：AB1⊥面PBC；
〔Ⅱ〕在BC边上找一点Q，使PQ∥面A1ABB1，并求三棱锥Q﹣PBB1的体积．
20．函数f〔x〕=lnx﹣mx m．
〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的单调区间；
〔Ⅱ〕假设f〔x〕≤0在x∈〔0， ∞〕上恒成立，求实数m的取值范围．
21．椭圆C：
的离心率为，点在椭圆C上．
〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；
〔Ⅱ〕设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与l相交两点P1，P2〔两点均不在坐标轴上〕，且使得直线OP1，OP2的斜率之积为定值？假设存在，求此圆的方程；假设不存在，说明理由．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分．【选修4-1：平面几何选讲】
22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：
〔1〕∠DEA=∠DFA；
〔2〕AB2=BE•BD﹣AE•AC．
选修4--4：坐标系与参数方程
23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C的极坐标方程为ρ=．
〔Ⅰ〕将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
〔Ⅱ〕过点P〔0，2〕作斜率为1直线l与曲线C交于A，B两点，试求 的值．
选修4-5：不等式选讲
24．函数f〔x〕=|x 1|，g〔x〕=2|x| a．
〔Ⅰ〕当a=0时，解不等式f〔x〕≥g〔x〕；
〔Ⅱ〕假设存在x∈R，使得f〔x〕≥g〔x〕成立，求实数a的取值范围．
2021年湖北省黄冈市高考数学模拟试卷〔文科〕〔3月份〕
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．
1．假设复数z满足〔i为虚数单位〕，那么复数z=〔 〕
A．1 B．2 C．i D．2i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用虚数单位i的运算性质化简，再由复数代数形式的乘法运算化简得答案．
【解答】解：由=〔i4〕503•i3 〔i4〕504=1﹣i，
得z=〔1﹣i〕〔1 i〕=2．
应选：B．
2．设集合A={x|x＞﹣1}，B={x|x≥1}，那么“x∈A且x∉B〞成立的充要条件是〔 〕
A．﹣1＜x≤1 B．x≤1 C．x＞﹣1 D．﹣1＜x＜1
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】判断“x∈A且x∉B〞成立的充要条件要分别说明必要性与充分性．
【解答】解：∵集合A={x|x＞﹣1}，B={x|x≥1}，
又∵“x∈A且x∉B〞，
∴﹣1＜x＜1；
又由﹣1＜x＜1时，
满足x∈A且x∉B．
应选D．
3．以下命题中假命题的是〔 〕
A．∃x0∈R，lnx0＜0 B．∀x∈〔﹣∞，0〕，ex＞x 1
C．∀x＞0，5x＞3x D．∃x0∈〔0， ∞〕，x0＜sinx0
【考点】全称命题；特称命题．
【分析】根据对数函数以及指数函数的性质分别判断各个选项即可．
【解答】解：对于A：比方x0=时，ln=﹣1，是真命题；
对于B：令f〔x〕=ex﹣x﹣1，f′〔x〕=ex﹣1＜0，f〔x〕递减，
∴f〔x〕＞f〔0〕=0，是真命题；
对于C：函数y=ax〔a＞1〕时是增函数，是真命题，
对于D：令g〔x〕=x﹣sinx，g′〔x〕=1﹣cosx≥0，g〔x〕递增，
∴g〔x〕＞g〔0〕=0，是假命题；
应选：D．
4．双曲线=1的渐近线方程为y=，那么此双曲线的离心率为〔 〕
A． B． C．3 D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求得双曲线的渐近线方程为y=±x，由题意可得b=a，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：双曲线=1的渐近线方程为y=±x，
由题意可得=，即b=a，
c===a，
可得e==．
应选：B．
5．函数y=f〔x﹣l〕 x2是定义在R上的奇函数，假设f〔﹣2〕=1，那么f〔0〕=〔 〕
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．
【解答】解：设g〔x〕=f〔x﹣l〕 x2，
∵函数y=f〔x﹣l〕 x2是定义在R上的奇函数，f〔﹣2〕=1
∴g〔﹣1〕=f〔﹣2〕 1=1 1=2，
即g〔﹣1〕=﹣g〔1〕=2，那么g〔1〕=﹣2，
即g〔1〕=f〔0〕 1=﹣2，
那么f〔0〕=﹣3，
应选：A．
6．正项数列{an}中，a1=l，a2=2，〔n≥2〕，那么a6=〔 〕
A．16 B．4 C．2 D．45
【考点】数列递推式．
【分析】由题设知an 12﹣an2=an2﹣an﹣12，且数列{an2}为等差数列，首项为1，公差d=a22﹣a12=3，故an2=1 3〔n﹣1〕=3n﹣2，由此能求出a6．
【解答】解：∵正项数列{an}中，a1=1，a2=2，2an2=an 12 an﹣12〔n≥2〕，
∴an 12﹣an2=an2﹣an﹣12，
∴数列{an2}为等差数列，首项为1，公差d=a22﹣a12=3，
∴an2=1 3〔n﹣1〕=3n﹣2，
∴an=
∴a6==4，
应选：B
7．假设点M是△ABC所在平面内的一点，且满足|3﹣﹣|=0，那么△ABM与△ABC面积之比等于〔 〕
A． B． C． D．
【考点】向量的模．
【分析】点M是△ABC所在平面内的一点，且满足|3﹣﹣|=0，
根据向量的概念，运算求解；3﹣﹣=， =2，
3=2，，根据△ABG和△ABC面积的关系，△ABM与△ABC面积之比，求出面积之比．
【解答】解：如图G为BC的中点，
点M是△ABC所在平面内的一点，且满足|3﹣﹣|=0，
3﹣﹣=， =2，
3=2， =，
∵△ABG和△ABC的底相等，
∴S△ABG=S△ABC，
=，
即△ABM与△ABC面积之比：×=，
应选；C
8．图是某算法的程序框图，那么程序运行后输出的T是〔 〕
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】程序框图．
【分析】直接计算循环后的结果，当k=6时不满足判断框的条件，推出循环输出结果即可．
【解答】解：第一次循环有a=1，T=1，K=2，第二次循环有a=0，T=1，k=3，
第三次循环有a=0，T=1，k=4，第四次循环有a=1，T=2，k=5，第五次循环有a=1，T=3，k=6，
此时不满足条件，输出T=3，
应选C．
9．f〔x〕=Asin〔ωx φ〕〔A＞0，ω＞0，0＜φ＜π〕，函数f〔x〕的图象如下图，那么f的值为〔 〕
A． B．﹣ C． D．﹣
【考点】由y=Asin〔ωx φ〕的局部图象确定其解析式．
【分析】由图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，通过图象经过〔，0〕，求出φ，从而得到f〔x〕的解析式，利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可计算求值．
【解答】解：由函数的图象可得A=2，T==4×〔﹣〕=4π，解得ω=．
又图象经过〔，0〕，0=2sin〔× φ〕，0＜φ＜π，
φ=，
故f〔x〕的解析式为f〔x〕=2sin〔x 〕，
所以：f=2sin〔×2021π 〕=．
应选：A．
10．如下图是一个几何体的三视图，那么这个几何体外接球的外表积为〔 〕
A．8π B．16π C．32π D．64π
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，进而可得该几何体外接球的外表积．
【解答】解：由中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，
其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，
如下图：
由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，
可得底面外接圆的半径为：r=2，
由棱柱高为4，可得球心距为2，
故外接球半径为：R==2，
故外接球的外表积S=4πR2=32π，
应选：C
11．不等式组表示区域D，过区域D中任意一点P作圆x2 y2=1的两条切线且切点分别为A，B，当∠PAB最小时，cos∠PAB=〔 〕
A． B． C．﹣ D．﹣
【考点】二元一次不等式〔组〕与平面区域．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当∠PAB最小时点P的位置，利用余弦函数的倍角公式，即可求出结论．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域D，如下图，
要使∠APB最大，那么∠OPB最大，
∵sin∠OPB==，
∴只要OP最小即可，
即点P到圆心O的距离最小即可；
由图象可知当OP垂直于直线3x 4y﹣10=0，
此时|OP|==2，|OA|=1，
设∠APB=α，那么∠APO=，即sin==，
此时cosα=1﹣2sin2=1﹣2×〔〕2=1﹣=，
即cos∠APB=，∴∠APB=60°，
∴△PAB为等边三角形，此时对应的∠PAB=60°为最小，
且cos∠PAB=．
应选：B．
12．将向量=〔x1，y1〕，=〔x2，y2〕，…=〔xn，yn〕组成的系列称为向量列{}，并定义向量列{}的前n项和．如果一个向量列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等差向量列．假设向量列{}是等差向量列，那么下述四个向量中，与一定平行的向量是〔 〕
A． B． C． D．
【考点】数列与向量的综合．
【分析】可设每一项与前一项的差都等于向量，运用类似等差数列的通项和求和公式，计算可得， = … =21〔 10〕=21，再由向量共线定理，即可得到所求结论．
【解答】解：由新定义可设每一项与前一项的差都等于向量，
= … = 〔 〕 … 〔 20〕
=21 〔1 20〕•20=21〔 10〕=21，
即有与平行的向量是．
应选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每题5分．
13．两位女生和两位男生站成一排照相，那么两位男生不相邻的概率是 ．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】先求出根本领件总数，再求出两位男生不相邻包含的根本领件个数，由此能求出两位男生不相邻的概率．
【解答】解：两位女生和两位男生站成一排照相，
根本领件总数n==24，
两位男生不相邻包含的根本领件个数m==12，
∴两位男生不相邻的概率P===．
故答案为：．
14．函数f〔x〕=excosx在点〔0，f〔0〕〕处的切线方程为 x﹣y 1=0 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．
【解答】解：∵f〔x〕=excosx，
∴f〔0〕=1，
函数的导数f′〔x〕=excosx﹣exsinx，
那么f′〔0〕=1，
即函数f〔x〕在点〔0，1〕处的切线斜率k=f′〔0〕=1，
那么对应的切线方程为y﹣1=x﹣0，
即x﹣y 1=0，
故答案为：x﹣y 1=0
15．抛物线y2=2px〔p＞0〕的焦点为F，过点F且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A、B两点〔A点位于x轴上方〕，假设△AOF的面积为3，那么p= 2 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】写出直线AB的方程，联立方程组解出A点坐标，根据面积列方程解出p．
【解答】解：抛物线的焦点F〔，0〕，∴直线AB的方程为y=〔x﹣〕．
联立方程组，消元得：3x2﹣5px =0，
解得x1=，x2=．
∵A点在x轴上方，∴A〔，〕．
∴S△AOF==3，解得p=2．
故答案为：2．
16．x∈R时，如果函数f〔x〕＞g〔x〕恒成立，那么称函数f〔x〕是函数g〔x〕的“优越函数〞．假设函数f〔x〕=2x2 x 2﹣|2x 1|是函数g〔x〕=|x﹣m|的“优越函数〞，那么实数m的取值范围是 ．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】根据“优越函数〞的定义转化为不等式恒成立问题，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：假设函数f〔x〕=2x2 x 2﹣|2x﹣1|是函数g〔x〕=|x﹣m|的“优越函数〞，
那么等价于2x2 x 2﹣|2x 1|＞|x﹣m|对x∈R恒成立．
f〔x〕=2x2 x 2﹣|2x 1|=，
分别作出函数f〔x〕=2x2 x 2﹣|2x﹣1|和G〔x〕=|x﹣m|．
当x≥m时，G〔x〕=x﹣m，
当x＜m时，G〔x〕=﹣x m，
由图象知，当G〔x〕=x﹣m与f〔x〕=2x2﹣x 1相切时，
由2x2﹣x 1=x﹣m，即2x2﹣2x 1 m=0，
由判别式△=4﹣4×2〔1 m〕=4﹣8〔1 m〕=0得m=﹣，
当G〔x〕=﹣x m与f〔x〕=2x2 3x 3相切时，
由2x2 3x 3=﹣x m，即2x2 4x 3﹣m=0，
由判别式△=16﹣4×2〔3﹣m〕=0得m=1，
当G〔x〕=﹣x m与f〔x〕=2x2﹣x 1相切时，
由2x2﹣x 1=﹣x m，即2x2 1﹣m=0，
由判别式△=0﹣4×2〔1﹣m〕=0得m=1，
综上假设函数f〔x〕=2x2 x 2﹣|2x 1|是函数g〔x〕=|x﹣m|的“优越函数〞，
那么
故答案为：
三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．函数f〔x〕=2cos〔2ωx 〕﹣2cos2ωx 1〔ω＞0〕的最小正周期为π．
〔Ⅰ〕求f〔x〕的对称中心；
〔Ⅱ〕在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，假设△ABC为锐角三角形且f〔A〕=0，求的取值范围．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；正弦定理．
【分析】〔Ⅰ〕求出f〔x〕的表达式，根据2x =kπ，求出f〔x〕的对称中心即可；〔Ⅱ〕先求出A的值，得到B，C的范围，由正弦定理得到=〔1 〕，从而求出其范围即可．
【解答】解：〔Ⅰ〕f〔x〕=2cos〔2ωx 〕﹣2cos2ωx 1
=2〔cos2ωx﹣sin2ωx〕﹣2cos2ωx 1
=cos2ωx﹣sin2ωx﹣2cos2ωx 1
=﹣2〔cos2ωx sin2ωx〕 1
=﹣2sin〔2ωx 〕 1，
∴T==π，故ω=1，
∴f〔x〕=﹣2sin〔2x 〕 1，
由2x =kπ，解得x=﹣，
故f〔x〕的对称中心是〔﹣，1〕；
〔Ⅱ〕∵f〔A〕=0，
∴﹣2sin〔2A 〕 1=0，解得A=，
∴B C=π，而△ABC是锐角三角形，
∴45°＜C＜90°，
∴tanC＞1，
∴====〔1 〕，
∵tanC＞1，∴∈〔，〕．
18．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质m的严重问题，为了了解强度D〔单位：分贝〕与声音能量I〔单位：W/cm2〕之间的关系，将测量得到的声音强度Di和声音能量Ii〔i=1.2．…，10〕数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
〔Ii﹣〕2
〔Wi﹣〕2
〔Ii﹣〕〔Di﹣〕
〔Wi﹣〕〔Di﹣〕
1.04×10﹣11
45.7
﹣11.5
1.56×10﹣21
0.51
6.88×10﹣11
5.1
表中Wi=lgIi， =Wi
〔Ⅰ〕根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的回归方程D=a blgI；
〔Ⅱ〕当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点P共受到两个
声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2，且．点P的声音
能量等于声音能量Il与I2之和．请根据〔I〕中的回归方程，判断P点是否受到噪声污染的干
扰，并说明理由．
附：对于一组数据〔μl，ν1〕，〔μ2，ν2〕，…〔μn，νn〕，其回归直线ν=α βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β=， =﹣β．
【考点】线性回归方程．
【分析】〔I〕根据回归系数公式得出D关于w的线性回归方程，再得出D关于I的回归方程；
〔II〕适用根本不等式求出I1 I2的范围，利用回归方程计算噪音强度．
【解答】解：〔I〕==， ==160.7．
∴求声音强度D关于声音能量I的回归方程是=10lgI 160.7．
〔II〕P点的声音能量I=I1 I2=10﹣10〔〕〔I1 I2〕=10﹣10〔2 〕≥4×10﹣10．
∴P点的声音强度D=10lg〔4×10﹣10〕 160.7=10lg4 60.7＞60．
∴点P会受到噪声污染的干扰．
19．四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上下底面分别是边长为2和4的正方形，AA1=4且AA1⊥底面ABCD，点P为DD1的中点．
2021年湖北省黄冈市高考数学模拟试卷〔文科〕〔3月份〕
一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．
1．假设复数z满足〔i为虚数单位〕，那么复数z=〔 〕
A．1 B．2 C．i D．2i
2．设集合A={x|x＞﹣1}，B={x|x≥1}，那么“x∈A且x∉B〞成立的充要条件是〔 〕
A．﹣1＜x≤1 B．x≤1 C．x＞﹣1 D．﹣1＜x＜1
3．以下命题中假命题的是〔 〕
A．∃x0∈R，lnx0＜0 B．∀x∈〔﹣∞，0〕，ex＞x 1
C．∀x＞0，5x＞3x D．∃x0∈〔0， ∞〕，x0＜sinx0
4．双曲线=1的渐近线方程为y=，那么此双曲线的离心率为〔 〕
A． B． C．3 D．
5．函数y=f〔x﹣l〕 x2是定义在R上的奇函数，假设f〔﹣2〕=1，那么f〔0〕=〔 〕
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
6．正项数列{an}中，a1=l，a2=2，〔n≥2〕，那么a6=〔 〕
A．16 B．4 C．2 D．45
7．假设点M是△ABC所在平面内的一点，且满足|3﹣﹣|=0，那么△ABM与△ABC面积之比等于〔 〕
A． B． C． D．
8．图是某算法的程序框图，那么程序运行后输出的T是〔 〕
A．1 B．2 C．3 D．4
9．f〔x〕=Asin〔ωx φ〕〔A＞0，ω＞0，0＜φ＜π〕，函数f〔x〕的图象如下图，那么f的值为〔 〕
A． B．﹣ C． D．﹣
10．如下图是一个几何体的三视图，那么这个几何体外接球的外表积为〔 〕
A．8π B．16π C．32π D．64π
11．不等式组表示区域D，过区域D中任意一点P作圆x2 y2=1的两条切线且切点分别为A，B，当∠PAB最小时，cos∠PAB=〔 〕
A． B． C．﹣ D．﹣
12．将向量=〔x1，y1〕，=〔x2，y2〕，…=〔xn，yn〕组成的系列称为向量列{}，并定义向量列{}的前n项和．如果一个向量列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等差向量列．假设向量列{}是等差向量列，那么下述四个向量中，与一定平行的向量是〔 〕
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每题5分．
13．两位女生和两位男生站成一排照相，那么两位男生不相邻的概率是．
14．函数f〔x〕=excosx在点〔0，f〔0〕〕处的切线方程为．
15．抛物线y2=2px〔p＞0〕的焦点为F，过点F且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A、B两点〔A点位于x轴上方〕，假设△AOF的面积为3，那么p=．
16．x∈R时，如果函数f〔x〕＞g〔x〕恒成立，那么称函数f〔x〕是函数g〔x〕的“优越函数〞．假设函数f〔x〕=2x2 x 2﹣|2x 1|是函数g〔x〕=|x﹣m|的“优越函数〞，那么实数m的取值范围是．
三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．函数f〔x〕=2cos〔2ωx 〕﹣2cos2ωx 1〔ω＞0〕的最小正周期为π．
〔Ⅰ〕求f〔x〕的对称中心；
〔Ⅱ〕在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，假设△ABC为锐角三角形且f〔A〕=0，求的取值范围．
18．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质m的严重问题，为了了解强度D〔单位：分贝〕与声音能量I〔单位：W/cm2〕之间的关系，将测量得到的声音强度Di和声音能量Ii〔i=1.2．…，10〕数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
〔Ii﹣〕2
〔Wi﹣〕2
〔Ii﹣〕〔Di﹣〕
〔Wi﹣〕〔Di﹣〕
1.04×10﹣11
45.7
﹣11.5
1.56×10﹣21
0.51
6.88×10﹣11
5.1
表中Wi=lgIi， =Wi
〔Ⅰ〕根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的回归方程D=a blgI；
〔Ⅱ〕当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点P共受到两个
声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2，且．点P的声音
能量等于声音能量Il与I2之和．请根据〔I〕中的回归方程，判断P点是否受到噪声污染的干
扰，并说明理由．
附：对于一组数据〔μl，ν1〕，〔μ2，ν2〕，…〔μn，νn〕，其回归直线ν=α βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β=
， =﹣β．
19．四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上下底面分别是边长为2和4的正方形，AA1=4且AA1⊥底面ABCD，点P为DD1的中点．
〔Ⅰ〕求证：AB1⊥面PBC；
〔Ⅱ〕在BC边上找一点Q，使PQ∥面A1ABB1，并求三棱锥Q﹣PBB1的体积．
20．函数f〔x〕=lnx﹣mx m．
〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的单调区间；
〔Ⅱ〕假设f〔x〕≤0在x∈〔0， ∞〕上恒成立，求实数m的取值范围．
21．椭圆C：
的离心率为，点在椭圆C上．
〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；
〔Ⅱ〕设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与l相交两点P1，P2〔两点均不在坐标轴上〕，且使得直线OP1，OP2的斜率之积为定值？假设存在，求此圆的方程；假设不存在，说明理由．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分．【选修4-1：平面几何选讲】
22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：
〔1〕∠DEA=∠DFA；
〔2〕AB2=BE•BD﹣AE•AC．
选修4--4：坐标系与参数方程
23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C的极坐标方程为ρ=．
〔Ⅰ〕将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
〔Ⅱ〕过点P〔0，2〕作斜率为1直线l与曲线C交于A，B两点，试求 的值．
选修4-5：不等式选讲
24．函数f〔x〕=|x 1|，g〔x〕=2|x| a．
〔Ⅰ〕当a=0时，解不等式f〔x〕≥g〔x〕；
〔Ⅱ〕假设存在x∈R，使得f〔x〕≥g〔x〕成立，求实数a的取值范围．
2021年湖北省黄冈市高考数学模拟试卷〔文科〕〔3月份〕
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．
1．假设复数z满足〔i为虚数单位〕，那么复数z=〔 〕
A．1 B．2 C．i D．2i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用虚数单位i的运算性质化简，再由复数代数形式的乘法运算化简得答案．
【解答】解：由=〔i4〕503•i3 〔i4〕504=1﹣i，
得z=〔1﹣i〕〔1 i〕=2．
应选：B．
2．设集合A={x|x＞﹣1}，B={x|x≥1}，那么“x∈A且x∉B〞成立的充要条件是〔 〕
A．﹣1＜x≤1 B．x≤1 C．x＞﹣1 D．﹣1＜x＜1
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】判断“x∈A且x∉B〞成立的充要条件要分别说明必要性与充分性．
【解答】解：∵集合A={x|x＞﹣1}，B={x|x≥1}，
又∵“x∈A且x∉B〞，
∴﹣1＜x＜1；
又由﹣1＜x＜1时，
满足x∈A且x∉B．
应选D．
3．以下命题中假命题的是〔 〕
A．∃x0∈R，lnx0＜0 B．∀x∈〔﹣∞，0〕，ex＞x 1
C．∀x＞0，5x＞3x D．∃x0∈〔0， ∞〕，x0＜sinx0
【考点】全称命题；特称命题．
【分析】根据对数函数以及指数函数的性质分别判断各个选项即可．
【解答】解：对于A：比方x0=时，ln=﹣1，是真命题；
对于B：令f〔x〕=ex﹣x﹣1，f′〔x〕=ex﹣1＜0，f〔x〕递减，
∴f〔x〕＞f〔0〕=0，是真命题；
对于C：函数y=ax〔a＞1〕时是增函数，是真命题，
对于D：令g〔x〕=x﹣sinx，g′〔x〕=1﹣cosx≥0，g〔x〕递增，
∴g〔x〕＞g〔0〕=0，是假命题；
应选：D．
4．双曲线=1的渐近线方程为y=，那么此双曲线的离心率为〔 〕
A． B． C．3 D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求得双曲线的渐近线方程为y=±x，由题意可得b=a，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：双曲线=1的渐近线方程为y=±x，
由题意可得=，即b=a，
c===a，
可得e==．
应选：B．
5．函数y=f〔x﹣l〕 x2是定义在R上的奇函数，假设f〔﹣2〕=1，那么f〔0〕=〔 〕
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．
【解答】解：设g〔x〕=f〔x﹣l〕 x2，
∵函数y=f〔x﹣l〕 x2是定义在R上的奇函数，f〔﹣2〕=1
∴g〔﹣1〕=f〔﹣2〕 1=1 1=2，
即g〔﹣1〕=﹣g〔1〕=2，那么g〔1〕=﹣2，
即g〔1〕=f〔0〕 1=﹣2，
那么f〔0〕=﹣3，
应选：A．
6．正项数列{an}中，a1=l，a2=2，〔n≥2〕，那么a6=〔 〕
A．16 B．4 C．2 D．45
【考点】数列递推式．
【分析】由题设知an 12﹣an2=an2﹣an﹣12，且数列{an2}为等差数列，首项为1，公差d=a22﹣a12=3，故an2=1 3〔n﹣1〕=3n﹣2，由此能求出a6．
【解答】解：∵正项数列{an}中，a1=1，a2=2，2an2=an 12 an﹣12〔n≥2〕，
∴an 12﹣an2=an2﹣an﹣12，
∴数列{an2}为等差数列，首项为1，公差d=a22﹣a12=3，
∴an2=1 3〔n﹣1〕=3n﹣2，
∴an=
∴a6==4，
应选：B
7．假设点M是△ABC所在平面内的一点，且满足|3﹣﹣|=0，那么△ABM与△ABC面积之比等于〔 〕
A． B． C． D．
【考点】向量的模．
【分析】点M是△ABC所在平面内的一点，且满足|3﹣﹣|=0，
根据向量的概念，运算求解；3﹣﹣=， =2，
3=2，，根据△ABG和△ABC面积的关系，△ABM与△ABC面积之比，求出面积之比．
【解答】解：如图G为BC的中点，
点M是△ABC所在平面内的一点，且满足|3﹣﹣|=0，
3﹣﹣=， =2，
3=2， =，
∵△ABG和△ABC的底相等，
∴S△ABG=S△ABC，
=，
即△ABM与△ABC面积之比：×=，
应选；C
8．图是某算法的程序框图，那么程序运行后输出的T是〔 〕
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】程序框图．
【分析】直接计算循环后的结果，当k=6时不满足判断框的条件，推出循环输出结果即可．
【解答】解：第一次循环有a=1，T=1，K=2，第二次循环有a=0，T=1，k=3，
第三次循环有a=0，T=1，k=4，第四次循环有a=1，T=2，k=5，第五次循环有a=1，T=3，k=6，
此时不满足条件，输出T=3，
应选C．
9．f〔x〕=Asin〔ωx φ〕〔A＞0，ω＞0，0＜φ＜π〕，函数f〔x〕的图象如下图，那么f的值为〔 〕
A． B．﹣ C． D．﹣
【考点】由y=Asin〔ωx φ〕的局部图象确定其解析式．
【分析】由图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，通过图象经过〔，0〕，求出φ，从而得到f〔x〕的解析式，利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可计算求值．
【解答】解：由函数的图象可得A=2，T==4×〔﹣〕=4π，解得ω=．
又图象经过〔，0〕，0=2sin〔× φ〕，0＜φ＜π，
φ=，
故f〔x〕的解析式为f〔x〕=2sin〔x 〕，
所以：f=2sin〔×2021π 〕=．
应选：A．
10．如下图是一个几何体的三视图，那么这个几何体外接球的外表积为〔 〕
A．8π B．16π C．32π D．64π
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，进而可得该几何体外接球的外表积．
【解答】解：由中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，
其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，
如下图：
由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，
可得底面外接圆的半径为：r=2，
由棱柱高为4，可得球心距为2，
故外接球半径为：R==2，
故外接球的外表积S=4πR2=32π，
应选：C
11．不等式组表示区域D，过区域D中任意一点P作圆x2 y2=1的两条切线且切点分别为A，B，当∠PAB最小时，cos∠PAB=〔 〕
A． B． C．﹣ D．﹣
【考点】二元一次不等式〔组〕与平面区域．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当∠PAB最小时点P的位置，利用余弦函数的倍角公式，即可求出结论．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域D，如下图，
要使∠APB最大，那么∠OPB最大，
∵sin∠OPB==，
∴只要OP最小即可，
即点P到圆心O的距离最小即可；
由图象可知当OP垂直于直线3x 4y﹣10=0，
此时|OP|==2，|OA|=1，
设∠APB=α，那么∠APO=，即sin==，
此时cosα=1﹣2sin2=1﹣2×〔〕2=1﹣=，
即cos∠APB=，∴∠APB=60°，
∴△PAB为等边三角形，此时对应的∠PAB=60°为最小，
且cos∠PAB=．
应选：B．
12．将向量=〔x1，y1〕，=〔x2，y2〕，…=〔xn，yn〕组成的系列称为向量列{}，并定义向量列{}的前n项和．如果一个向量列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等差向量列．假设向量列{}是等差向量列，那么下述四个向量中，与一定平行的向量是〔 〕
A． B． C． D．
【考点】数列与向量的综合．
【分析】可设每一项与前一项的差都等于向量，运用类似等差数列的通项和求和公式，计算可得， = … =21〔 10〕=21，再由向量共线定理，即可得到所求结论．
【解答】解：由新定义可设每一项与前一项的差都等于向量，
= … = 〔 〕 … 〔 20〕
=21 〔1 20〕•20=21〔 10〕=21，
即有与平行的向量是．
应选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每题5分．
13．两位女生和两位男生站成一排照相，那么两位男生不相邻的概率是 ．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】先求出根本领件总数，再求出两位男生不相邻包含的根本领件个数，由此能求出两位男生不相邻的概率．
【解答】解：两位女生和两位男生站成一排照相，
根本领件总数n==24，
两位男生不相邻包含的根本领件个数m==12，
∴两位男生不相邻的概率P===．
故答案为：．
14．函数f〔x〕=excosx在点〔0，f〔0〕〕处的切线方程为 x﹣y 1=0 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．
【解答】解：∵f〔x〕=excosx，
∴f〔0〕=1，
函数的导数f′〔x〕=excosx﹣exsinx，
那么f′〔0〕=1，
即函数f〔x〕在点〔0，1〕处的切线斜率k=f′〔0〕=1，
那么对应的切线方程为y﹣1=x﹣0，
即x﹣y 1=0，
故答案为：x﹣y 1=0
15．抛物线y2=2px〔p＞0〕的焦点为F，过点F且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A、B两点〔A点位于x轴上方〕，假设△AOF的面积为3，那么p= 2 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】写出直线AB的方程，联立方程组解出A点坐标，根据面积列方程解出p．
【解答】解：抛物线的焦点F〔，0〕，∴直线AB的方程为y=〔x﹣〕．
联立方程组，消元得：3x2﹣5px =0，
解得x1=，x2=．
∵A点在x轴上方，∴A〔，〕．
∴S△AOF==3，解得p=2．
故答案为：2．
16．x∈R时，如果函数f〔x〕＞g〔x〕恒成立，那么称函数f〔x〕是函数g〔x〕的“优越函数〞．假设函数f〔x〕=2x2 x 2﹣|2x 1|是函数g〔x〕=|x﹣m|的“优越函数〞，那么实数m的取值范围是 ．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】根据“优越函数〞的定义转化为不等式恒成立问题，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：假设函数f〔x〕=2x2 x 2﹣|2x﹣1|是函数g〔x〕=|x﹣m|的“优越函数〞，
那么等价于2x2 x 2﹣|2x 1|＞|x﹣m|对x∈R恒成立．
f〔x〕=2x2 x 2﹣|2x 1|=，
分别作出函数f〔x〕=2x2 x 2﹣|2x﹣1|和G〔x〕=|x﹣m|．
当x≥m时，G〔x〕=x﹣m，
当x＜m时，G〔x〕=﹣x m，
由图象知，当G〔x〕=x﹣m与f〔x〕=2x2﹣x 1相切时，
由2x2﹣x 1=x﹣m，即2x2﹣2x 1 m=0，
由判别式△=4﹣4×2〔1 m〕=4﹣8〔1 m〕=0得m=﹣，
当G〔x〕=﹣x m与f〔x〕=2x2 3x 3相切时，
由2x2 3x 3=﹣x m，即2x2 4x 3﹣m=0，
由判别式△=16﹣4×2〔3﹣m〕=0得m=1，
当G〔x〕=﹣x m与f〔x〕=2x2﹣x 1相切时，
由2x2﹣x 1=﹣x m，即2x2 1﹣m=0，
由判别式△=0﹣4×2〔1﹣m〕=0得m=1，
综上假设函数f〔x〕=2x2 x 2﹣|2x 1|是函数g〔x〕=|x﹣m|的“优越函数〞，
那么
故答案为：
三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．函数f〔x〕=2cos〔2ωx 〕﹣2cos2ωx 1〔ω＞0〕的最小正周期为π．
〔Ⅰ〕求f〔x〕的对称中心；
〔Ⅱ〕在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，假设△ABC为锐角三角形且f〔A〕=0，求的取值范围．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；正弦定理．
【分析】〔Ⅰ〕求出f〔x〕的表达式，根据2x =kπ，求出f〔x〕的对称中心即可；〔Ⅱ〕先求出A的值，得到B，C的范围，由正弦定理得到=〔1 〕，从而求出其范围即可．
【解答】解：〔Ⅰ〕f〔x〕=2cos〔2ωx 〕﹣2cos2ωx 1
=2〔cos2ωx﹣sin2ωx〕﹣2cos2ωx 1
=cos2ωx﹣sin2ωx﹣2cos2ωx 1
=﹣2〔cos2ωx sin2ωx〕 1
=﹣2sin〔2ωx 〕 1，
∴T==π，故ω=1，
∴f〔x〕=﹣2sin〔2x 〕 1，
由2x =kπ，解得x=﹣，
故f〔x〕的对称中心是〔﹣，1〕；
〔Ⅱ〕∵f〔A〕=0，
∴﹣2sin〔2A 〕 1=0，解得A=，
∴B C=π，而△ABC是锐角三角形，
∴45°＜C＜90°，
∴tanC＞1，
∴====〔1 〕，
∵tanC＞1，∴∈〔，〕．
18．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质m的严重问题，为了了解强度D〔单位：分贝〕与声音能量I〔单位：W/cm2〕之间的关系，将测量得到的声音强度Di和声音能量Ii〔i=1.2．…，10〕数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
〔Ii﹣〕2
〔Wi﹣〕2
〔Ii﹣〕〔Di﹣〕
〔Wi﹣〕〔Di﹣〕
1.04×10﹣11
45.7
﹣11.5
1.56×10﹣21
0.51
6.88×10﹣11
5.1
表中Wi=lgIi， =Wi
〔Ⅰ〕根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的回归方程D=a blgI；
〔Ⅱ〕当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点P共受到两个
声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2，且．点P的声音
能量等于声音能量Il与I2之和．请根据〔I〕中的回归方程，判断P点是否受到噪声污染的干
扰，并说明理由．
附：对于一组数据〔μl，ν1〕，〔μ2，ν2〕，…〔μn，νn〕，其回归直线ν=α βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β=， =﹣β．
【考点】线性回归方程．
【分析】〔I〕根据回归系数公式得出D关于w的线性回归方程，再得出D关于I的回归方程；
〔II〕适用根本不等式求出I1 I2的范围，利用回归方程计算噪音强度．
【解答】解：〔I〕==， ==160.7．
∴求声音强度D关于声音能量I的回归方程是=10lgI 160.7．
〔II〕P点的声音能量I=I1 I2=10﹣10〔〕〔I1 I2〕=10﹣10〔2 〕≥4×10﹣10．
∴P点的声音强度D=10lg〔4×10﹣10〕 160.7=10lg4 60.7＞60．
∴点P会受到噪声污染的干扰．
19．四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上下底面分别是边长为2和4的正方形，AA1=4且AA1⊥底面ABCD，点P为DD1的中点．
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