2021学年3. 切线教案

3　切　线

第3课时　切线的判定和性质

教学目标

一、基本目标

1．掌握切线的概念，能判断一条直线是否为圆的切线．

2．理解并掌握切线的判定定理及性质定理．

二、重难点目标

【教学重点】

切线的判定定理与性质定理．

【教学难点】

能正确运用切线的判定定理和性质定理解决问题．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P51～P52的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．切线的判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

2．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．

3．如图，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，AB＝3 cm，PB＝4 cm，则BC＝ cm.

4．当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连结圆心和切点，得到半径，那么该半径垂直于切线．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生对学)

【例1】如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于P，E是BC边上的中点，连结PE，则PE与⊙O相切吗？若相切，请加以证明；若不相切，请说明理由．

【互动探索】(引发学生思考)要证PE是圆的切线，结合图形，已知圆心和直线PE与圆的交点P，应该作辅助线：连结OP、BP，再用切线的判定定理进行证明．

【解答】相切．证明：连结OP、BP，则OP＝OB.

∴∠OBP＝∠OPB.

∵AB为直径，∴BP⊥PC.

在Rt△BCP中，E为斜边BC的中点，

∴PE＝BC＝BE，

∴∠EBP＝∠EPB，

∴∠OBP＋∠PBE＝∠OPB＋∠EPB，

即∠OBE＝∠OPE.

∵BE为切线，

∴AB⊥BC，∴OP⊥PE，

即PE是⊙O的切线．

【互动总结】(学生总结，老师点评)根据切线的判定定理，要判定是否相切，关键是要连结直线与圆的交点和圆心，再借助题目条件判定连线是否与直线相垂直．

【例2】如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B.如果∠A＝34°，那么∠C等于________.

【互动探索】(引发学生思考)连结OB，如图．

∵AB与⊙O相切，

∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，

∴∠AOB＝90°－∠A＝90°－34°＝56°.

∵∠AOB＝∠C＋∠OBC，

∴∠C＋∠OBC＝56°.

∵OB＝OC，∴∠C＝∠OBC，

∴∠C＝×56°＝28°.

【答案】28°

【互动总结】(学生总结，老师点评)运用切线的性质定理来进行计算或论证，常通过作辅助线连结圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．如图，点A、B、D在⊙O上，∠A＝20°，BC是⊙O的切线， OD的延长线交BC于点C，则∠OCB＝50度．

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，以3 cm为半径作⊙A，当AB＝6 cm时，BC与⊙A相切．

3．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1 cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6 cm，如果⊙P以1 cm/s的速度沿A向B的方向移动，则经过4或8秒后，⊙P与直线CD相切．

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】如图，⊙O是梯形ABCD的内切圆，AB∥DC，E、M、F、N分别是边AB、BC、CD、DA上的切点．

(1)求证：AB＋CD＝AD＋BC；

(2)求∠AOD的度数．

【互动探索】(1)根据切线长定理可证得AE＝AN，BE＝BM，DF＝DN，CF＝CM，进而证明AB＋DC＝AD＋BC；(2)连结OE、ON、OM、OF，通过证明△OAE≌△OAN，得到∠OAE＝∠OAN.同理，∠ODN＝∠ODF，再利用平行线的性质：同旁内角互补即可求出∠AOD的度数．

【解答】(1)证明：∵⊙O切梯形ABCD于点E、M、F、N，

∴AE＝AN，BE＝BM，DF＝DN，CF＝CM，

∴AE＋BE＋DF＋CF＝AN＋BM＋DN＋CM，

∴AB＋DC＝AD＋BC.

(2)解：如图，连结OE、ON、OM、OF.

∵OE＝ON，AE＝AN，OA＝OA，

∴△OAE≌△OAN，∴∠OAE＝∠OAN.

同理，∠ODN＝∠ODF.

∴∠OAN＋∠ODN＝∠OAE＋∠ODF.

又∵AB∥DC，∴∠EAN＋∠CDN＝180°，

∴∠OAN＋∠ODN＝×180°＝90°，

∴∠AOD＝180°－90°＝90°.

【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)圆的外切四边形的两条对边的和相等；(2)过圆外一点画圆的两条切线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

切线的判定和性质

练习设计

请完成本课时对应训练！

第4课时　*切线长定理

教学目标

一、基本目标

1．了解切线长的概念，并理解切线长定理．

2．了解三角形的内切圆及内心的定义，会画三角形的内切圆．

3．理解并灵活运用切线长定理以及应用内切圆知识发展解决实际问题能力．

二、重难点目标

【教学重点】

切线长定理及应用．

【教学难点】

三角形的内切圆、内心．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P52～P54的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．

2．切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．

3．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，若PA＝4，则PB＝4.

4．与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆．三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.这个三角形叫做这个圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生对学)

【例1】如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝5，AC＝3，则BD的长是________.

【互动探索】∵AC、AP为⊙O的切线，

∴AC＝AP.

∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP＝BD，

∴BD＝PB＝AB－AP＝5－3＝2.

【答案】2

【互动总结】(学生总结，老师点评)切线长定理提供了另一种证明线段相等的方法，注意在解题过程中的等量代换．

【例2】如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E是切点，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠DOE＝________.

【互动探索】∵∠A＝50°，∠C＝60°，∴∠B＝180°－50°－60°＝70°.∵D、E是切点，∴∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠DOE＝180°－∠B＝110°.

【答案】110°

【互动总结】(学生总结，老师点评)三角形内切圆问题中，连结各边的切点与圆心，由切线的性质能产生直角，进而根据问题选择利用内角和或勾股定理求解．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径r＝2.

2．如图，AD、DC、BC都与⊙O相切，且AD∥BC，则∠DOC＝90°.

3．如图，AB、AC与⊙O相切于B、C两点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC＝65°.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】如图，PA、PB切⊙O于A、B，若∠APB＝60°，⊙O半径为3，求阴影部分的面积．

【互动探索】割补法求面积：阴影部分是不规则图形，要求阴影部分的面积，可以通过“割补”法来求解．作辅助线可得S阴影＝2(S△PAO－S扇形AOC)．

【解答】连结PO、AO，PD交⊙O于点C.

∵PA、PB切⊙O于A、B两点，∠APB＝60°，

∴OA⊥PA，∠APO＝∠APB＝30°，

∴∠AOP＝60°.

∵⊙O半径为3，∴OA＝3，PO＝6，

∴PA＝＝3，

∴S△PAO＝AO·PA＝×3×3＝.

∵S扇形AOC＝＝π，阴影部分关于直线PO对称，

∴S阴影＝2(S△PAO－S扇形AOC)＝2×＝9－3π.

【互动总结】(学生总结，老师点评)由切线，作辅助线易得直角三角形，求不规则图形面积时，常通过规则图形“割补”求得，注意其中数形结合思想的运用．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

切线长定理

练习设计

请完成本课时对应训练！