湖南省三湘名校、五市十校教研教改共同体2021-2022学年高二上学期期中考试（11月）数学含答案

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三湘名校教育联盟·五市十校教研教改共同体·2021年下学期高二期中考试试题

数学

本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复平面内向量(O为坐标原点)的坐标为(－2，1)，则向量对应的复数为

A.－2＋i     B.2＋i     C.1－2i     D.1＋2i

2.直线4x＋y＋2＝0在y轴上的截距为

A.－2     B.－     C.     D.2

3.有5个条件类似的大学毕业生A，B，C，D，E应聘某两个相同的工作岗位，每个岗位只招聘1人，如果每个人被录用的机会相等，则学生A被录用的概率为

A.     .     C.     D.

4.设直线l：x＋2y－1＝0的倾斜角为α，则

A.     B.     C.     D.

5.下列向量关系式中，能确定空间四点P，Q，R，S共面的是

A.       B.

C.     D.

6.若直线l：2x－y＋1＝0被圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)截得的弦长为2，则r＝

A.8     B.2     C.2     D.

7.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AD，E为侧棱DD1上一点，若直线BD1//平面AEC，则二面角E－AC－B的正切值为

A.     B.－     C.     D.－

8.已知点M(1，1)，N(－3，5)，则满足条件|PM|＝|PN|的点P不可能在下列哪个方程表示的曲线上

A.2x－y＋1＝0     B.x2＋y2＝8     C.     D.x2＋y2－2x－4y－1＝0

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知一组数据：7，7，8，9，5，4，9，10，7，4，则

A.这组数据的平均数为8     B.这组数据的众数为7

C.这组数据的极差为6       D.这组数据的第75百分位数为9

10.已知直线l的方程为x＋3y－2＝0，则下列向量中，可以作为直线l的方向向量的有

A.a＝(3，1)     B.b＝(3，－1)     C.c＝(－1，)     D.d＝(1，)

11.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC。请添加一个条件，使该三棱锥的四个面均为直角三角形，则这个添加的条件可以是

A.AB⊥AC     B.PB⊥BC     C.AB⊥BC     D.AC⊥BC

12.已知椭圆C：的左，右焦点为F1，F2，点P为椭圆C上的动点(P不在x轴上)，则

A.椭圆C的焦点在x轴上        B.△PF1F2的周长为8＋2

C.|PF1|的取值范围为[，4)      D.tan∠F1PF2的最大值为3

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.过两条直线l1：x＋y－2＝0与l2：3x－y－4＝0的交点，且斜率为－2的直线l的方程为            。

14.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若A＝45°，a＝，b＝，则c＝           。

15.已知从点A(3，2)发出一条光线，经过x轴反射到点B(－1，3)，则光线经过的路程的长度为           。

16.在三棱锥P－ABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，PA⊥底面ABC，且PA＝2，以A为球心，为半径作球，则球A与三棱锥P－ABC的表面的交线长之和为         。

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

17.(本小题满分10分)

已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(－2，3)，C(－1，－2)，求：

(1)AC边，上的中线所在直线的方程；

(2)△ABC的外接圆的方程。

18.(本小题满分12分)

如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求：

(1)D1C1的中点E到直线AC的距离；

(2)点C1到平面AB1C的距离。

19.(本小题满分12分)

某城市一入城交通路段限速50公里/小时，现对某时段通过该交通路段的n辆小汽车车速进行统计，并绘制成频率分布直方图(如图)。若这n辆小汽车中，速度在40～50公里/小时之间的车辆有150辆。

(1)求n的值；

(2)估计这n辆小汽车车速的中位数；

(3)根据交通法规定，小车超速在规定时速10%以内(含10%)不罚款，超过时速规定10%以上，需要罚款。试根据频率分布直方图，估计某辆小汽车在该路段被罚款的概率。

20.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧棱PD_L底面ABCD，PD＝DA＝DB，PB⊥BC，E为PB中点，F为PC上一点，且PC＝3PF。

(1)求证：PC⊥DE；

(2)求平面DEF与平面ABCD夹角的余弦值。

21.(本小题满分12分)

据中央气象台报道：2021年第16号台风“蒲公英”已于9月29日凌晨再次加强为超强台风，早晨5点钟其中心位于日本东京南偏西方向大约1490公里的西北太平洋洋面上，中心附近最大风力有16级(52米/秒)，中心最低气压为935百帕，七级风圈半径300～350公里，十级风圈半径120～150公里，十二级风圈半径70～80公里。预计，“蒲公英”将以每小时15公里左右的速度向偏北方向移动，强度变化不大，29日晚上开始逐渐转向东北方向移动，并逐渐向日本岛东南部海面靠近，未来“蒲公英”对我国海域没有影响。

虽然台风“蒲公英”对我国没有产生影响，但我国沿海地区经常有台风登陆，并造成人员伤亡和经济损失。因此，研究台风的形成及移动路线，对于防灾减灾工作十分重要。

如图，假设在我国某海滨城市O的附近海面上有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O的东偏南α(cosα＝)方向300公里的海面A处，并以20公里/小时的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60公里，并以10公里/小时的速度不断增大。求：

(1)经过t小时后，求台风侵袭范围的半径r(t)和台风中心B与城市O的距离d(t)；

(2)经过多少小时后该城市开始受到台风的侵袭。(参考数据：≈9)

22.(本小题满分12分)

已知椭圆C的左，右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，离心率为。

(1)求椭圆C的方程；

(2)过F1作不与x轴重合的直线l交椭圆C于A，B两点，求△ABF2面积S的取值范围。