广东省深圳市南头中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题含解析

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高一数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.下列关系正确的是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据空集是任何集合的子集即可判断出选项正确．

【详解】空集是任何集合的子集；

正确

本题正确选项：

【点睛】考查集合元素的概念，元素与集合的关系，空集是任何集合的子集．

2.函数的定义域是（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

试题分析：，解得或，表示为区间为：，故选C.

考点：函数的定义域

3.设全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

由图象可知阴影部分对应的集合为∁U(A∪B)，

由x2−2x−3<0得−1<x<3，

即A=(−1,3)，

∵B={x|x⩾1}，

∴A∪B=(−1,+∞)，

则∁U(A∪B)=(−∞,−1]，

故选D.

点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．

2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．

3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．

4.已知函数，则的值为（ ）

A. 1 B. 2

C. 4 D. 5

【答案】D

【解析】

试题分析：，，故选D.

考点：分段函数求值.

5.已知函数为定义在上的奇函数，则下列结论中不正确的是（   ）

A. 在和上的单调性相反

B. 图象过原点，且关于原点对称

C.

D. 如果时，有成立，那么时，也成立

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，结合函数奇偶性的定义和性质依次分析选项，综合即可得答案．

【详解】根据题意，依次分析选项：

对于，若为奇函数，则在和上的单调性相同，错误；

对于，若为定义在上奇函数，则其图象过原点，且关于原点对称，正确；

对于，若为奇函数，则

即，正确；

对于，若时，有成立，那么时，，正确；

本题正确选项：

【点睛】本题考查函数的奇偶性的定义以及性质，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．

6.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

试题分析：A中函数不是减函数；B中函数在定义域内不是减函数；C中函数既是奇函数又是减函数；D中函数不是奇函数

考点：函数奇偶性单调性

7.命题“”的否定形式是（ ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

试题分析：命题的否定是把结论否定，同时存在量词与全称量词要互换，命题“”的否定形式“”．故选C．

考点：命题的否定．

8.函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（　　）

【答案】选C．

【解析】

注意的图象是由的图象右移1而得．本题考查函数图象的平移法则．

9.如果不等式|x－a|＜1成立的充分不必要条件是，则实数a的取值范围是(　　)

A.  B.  C. 或 D. 或

【答案】B

【解析】

【分析】

解不等式|x-a|＜1得其解集，进而结合充分、必要条件与集合间包含关系的对应关系可得不等式组，解这个不等式组可得答案．

【详解】根据题意，不等式|x-a|＜1的解集是a-1＜x＜a+1，设此命题为p，
命题，为q；则p的充分不必要条件是q，
即q表示的集合是p表示集合的真子集；则有，（等号不同时成立）；

解得．
故选B.

【点睛】本题考查充分、必要条件判断及运用，注意与集合间关系的对应即可，对于本题应注意得到的不等式的等号不同时成立，需要验证分析．

10.已知，且，，若，则（ ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

试题分析：若，则由得即，此时，即，若，则由得即，此时，即，综上，故选D.

考点：不等关系与不等式.

11.一个玩具厂一年中12月份的产量是1月份产量的倍，那么该玩具厂这一年中产量的月平均增长率是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

设月平均增长率为，建立方程关系，进行求解即可．

【详解】设月平均增长率为，一月份的产量为

一年中月份的产量是月份产量的倍   

即   

本题正确选项：

【点睛】本题主要考查指数幂的求解，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．

12.已知正实数，满足，则能使得不等式恒成立的整数的最小值为（   ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】A

【解析】

【分析】

利用，可得．利用基本不等式的性质可得：．不等式恒成立化为：，即可得出结果．

【详解】正实数满足   

，化为：，当且仅当时取等号

则不等式恒成立，化为：   

能使得不等式恒成立的整数的最小值为

本题正确选项：

【点睛】本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知函数（，且，常数为自然对数的底数）的图象恒过定点，则______．

【答案】

【解析】

【分析】

令幂指数等于零，求得的值，可得函数的象恒过定点的坐标，从而得出结论．

【详解】对于已知函数（且，常数为自然对数的底数）

令求得，可得函数的图象恒过定点

函数的图象经过定点

，，则

本题正确结果：

【点睛】本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，属于基础题．

14.已知函数为奇函数，且当时，，则______．

【答案】12

【解析】

【分析】

根据题意，由函数的解析式求出的值，结合函数的奇偶性可得的值，即可得答案．

【详解】根据题意，当时，

则

又由函数为奇函数，则

本题正确结果：

【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．

15.设，，，将，，从小到大依次排列______．

【答案】

【解析】

【分析】

，，从而得出的大小关系．

【详解】，

本题正确结果：

【点睛】考查对数函数和指数函数的单调性，减函数的定义，属于基础题.

16.若函数在上的最大值比最小值大，则的值为____________.

【答案】

【解析】

∵，∴函数在区间上单调递减，所以，由题意得，又，故。答案：

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.计算下列各式的值：

（1）；

（2）.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）利用指数运算性质即可得出；（2）利用指数与对数运算性质即可得出．

【详解】（1）原式

（2）原式

【点睛】本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

18.已知集合，.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1） ；（2）

【解析】

试题分析：集合的运算注意交集并集的端点是否取等号，根据交幷关系得出包含关系后，写出条件即可求解.

试题解析：

（1）要使，则需满足下列不等式组， 解此不等式组得， 则实数的取值范围为

（2）要使，即是的子集，则需满足，

解得，即的取值范围是

19.已知函数的图象过点.

（1）求实数的值，并证明函数为奇函数；

（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明你的结论．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）将坐标代入函数的解析式，可得的值，即可得函数的解析式，求出函数的定义域，结合函数奇偶性的定义分析可得结论；（2）设，由作差法分析可得结论．

【详解】（1）根据题意，函数的图象过点

则有，解可得，则

其定义域为，且

则函数为奇函数

（2）根据题意，由（1）的结论，，则上为增函数

证明：设

则

又由，则，则

则函数在上为增函数

【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的判断，关键是求出的值，属于基础题．

20.某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台．每批都购入台，且每批均需付运费400元．贮存购入所有的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，比例系数为，若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元．

（1）求的值；

（2）现在全年只有24000元资金用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由．

【答案】（1）；（2）只需每批购入台，可以使资金够用

【解析】

【分析】

根据若每批购入台，则全年需用去运费和保管费共元，求出比例；再求出运费和保管费的总费用关于每批购入台数的函数解析式，然后利用基本不等式进行解答.

【详解】（1）设全年需用去的运费和保管费的总费用为元

题中的比例系数设为，每批购入台，则共需分批，每批费用元

由题意知：

当时，

解得：

（2）由（1）可得：（元）

当且仅当，即时等号成立

故只需每批购入台，可以使资金够用

【点睛】本题考查函数的实际应用，解决问题我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．

21.已知函数，集合.

（1）求函数的定义域；

（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）可看出，要使得函数有意义，则需满足，从而得出结论；（2）根据“”是“”的必要条件即可得出，从而分别讨论是空集和不是空集两种情况，得到不等式组，求得结果.

【详解】（1）要使有意义，则：

解得或

的定义域或

（2）“”是“”的必要条件    

①当时，   

②当时，或

解得：

实数的取值范围为

【点睛】考查函数定义域的概念及求法，必要条件和子集的概念，空集的定义，易错点是求解时，忽略了为空集的情况.

22.已知，函数

（1）当时，解不等式；

（2）若命题“，”为真命题，求实数的取值范围；

（3）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）或或

【解析】

【分析】

（1）运用对数的单调性和分式不等式的解法可得所求解集；（2）由，函数在递减，可得在恒成立，由恒成立思想可得所求范围；（3）由对数方程的解法和分类讨论思想方法，可得所求范围．

【详解】（1）当时，，即为

可得，即

解得或

即原不等式解集为

（2），函数在递减

“，”为真命题，即有在恒成立

可得，解得：

（3）由得：

即

即……①

则，即……②

当时，方程②的解为，代入①，成立；

当时，方程②的解为，代入①，成立；

当且时，方程②的解为或

若是方程①的解，则，即

若是方程①的解，则，即

则要使方程①有且仅有一个解，则

综上，若方程的解集中恰好有一个元素，

则的取值范围是或或

【点睛】本题考查不等式的解法和不等式恒成立问题解法，以及函数方程的转化思想，考查分类讨论思想方法，以及运算求解能力，属于中档题．