第七节　函数的图象学案

这是一份第七节　函数的图象学案，共18页。

第七节　函数的图象
学习要求:
1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.


　　1.利用描点法作函数图象的步骤
(1)确定函数的定义域.
(2)化简函数的解析式.
(3)讨论函数的性质(奇偶性、周期性、单调性、最值等).
(4)描点连线.
2.图象变换
(1)平移变换:

(2)伸缩变换:
y=f(x)y=⑤ f(ωx) ; 
y=f(x)y=⑥ Af(x) . 
(3)对称变换:
y=f(x)y=⑦ -f(x) ; 
y=f(x)y=⑧ f(-x) ; 
y=f(x)y=⑨ -f(-x) . 
(4)翻折变换:
y=f(x)y=⑩ f(|x|) ; 
y=f(x)y= |f(x)| . 
知识拓展
　　关于对称的四个重要结论:
(1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称.
(2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)中心对称.
(3)若函数y=f(x)的定义域内任意自变量x均满足f(a+x)=f(a-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(4)y=f(x)的图象关于直线y=n对称的图象是函数y=2n-f(x)的图象.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).
(1)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.(　　)
(2)函数y=af(x)与y=f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同. (　　)
(3)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于原点对称.(　　)
(4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称. (　　)
(5)将函数y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度得到函数y=f(-x-1)的图象. (　　)
答案　(1)✕　(2)✕　(3)✕　(4)√　(5)✕
2.(新教材人教A版必修第一册P68例5改编)下列图象是函数y=x2,x<0,x-1,x≥0的图象的是(　　)


答案　C
3.(新教材人教A版必修第一册P95综合运用T1改编)小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶,与以上事件吻合得最好的图象是(　　)


答案　C
4.将二次函数y=x2+bx+c的图象向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,所得图象的函数解析式为y=x2-2x-3,则(　　)
A.b=2,c=2　　　　B.b=-2,c=-1
C.b=2,c=0　　　　D.b=-3,c=2
答案　C


作函数的图象
　　典例1　作出下列函数的大致图象.　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
(1)y=2-xx+1;
(2)y=12|x+1|;
(3)y=|log2x-1|;
(4)y=x2-2|x|-1.
解析　(1)易知函数y=2-xx+1的定义域为{x|x∈R且x≠-1},y=2-xx+1=−1+3x+1.
由y=3x的图象向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度即可得到函数y=2-xx+1的图象,如图①所示.

(2)先作出y=12x,x∈[0,+∞)的图象,然后作其关于y轴的对称图象,再将整个图象向左平移1个单位长度,即得到y=12|x+1|的图象,如图②所示.

(3)先作出y=log2x的图象,再将图象向下平移1个单位长度,保留x轴上方的部分,将x轴下方的图象翻折到x轴上方,即得到y=|log2x-1|的图象,如图③所示.

(4)y=x2-2|x|-1=x2-2x-1(x≥0),x2+2x-1(x<0)的图象如图④所示.



名师点评
作函数图象的一般方法
(1)直接法:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的函数时,就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出;
(2)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,则可利用图象变换作出,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.

　作出下列函数的大致图象,并写出函数的单调区间和值域.
(1)y=x-1x-2;
(2)y=x2-4|x|.
解析　(1)y=x-1x-2=1+1x-2的图象如图所示:

由图象知函数在(-∞,2)和(2,+∞)上为减函数.
因为1x-2≠0,所以1+1x-2≠1,故值域为(-∞,1)∪(1,+∞).
(2)y=x2-4|x|=x2+4x=(x+2)2-4,x<0,x2-4x=(x-2)2-4,x≥0,作出图象如图所示:

由图象可知函数在(-∞,-2]和[0,2]上为减函数,在[-2,0]和[2,+∞)上为增函数,
当x=±2时,y取得最小值-4,故值域为[-4,+∞).
函数图象的识别
角度一　由式识图或由图辨式
典例2　(多选题)(2020山东潍坊模拟)函数f(x)=xx2+a的图象可能是 (　　)

答案　ABC　函数f(x)=xx2+a,
若a=0,则f(x)=xx2=1x,故C中图象可能;
若a>0,则函数f(x)的定义域为R,且f(0)=0,故B中图象可能;
若a<0,则x≠±-a,
故A中图象可能,
故选ABC.
角度二　借助动点研究函数的图象
典例3　如图,点P在边长为1的正方形的边上运动,M是CD的中点,当P沿A-B-C-M运动时,设点P经过的路程为x,△APM的面积为y,则函数y=f(x)的图象大致是 (　　)


答案　A　当点P在AB上时,y=12×x×1=12x,0≤x≤1;
当点P在BC上时,y=S正方形ABCD-S△ADM-S△ABP-S△PCM=-14x+34,1 当点P在CM上时,y=12×52-x×1=−12x+54,2 所以y=12x,0≤x≤1,-x4+34,1 名师点评
1.抓住函数的性质,定性分析:
(1)由函数的定义域判断图象的左右位置;由函数的值域判断图象的上下位置;(2)由函数的单调性判断图象的变化趋势;(3)由函数的周期性判断图象的循环往复;(4)由函数的奇偶性判断图象的对称性.
2.抓住函数的特征,定量计算:
从函数的特征点出发,利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.

1.(2020河南郑州模拟)函数f(x)=(1-4x)sinx2x的部分图象大致为 (　　)


答案　B　因为f(x)的定义域为R,关于原点对称,且
f(-x)=(1-4-x)sin(-x)2-x=−(4x-1)sinx2x=(1-4x)sinx2x=f(x),
所以f(x)为偶函数,图象关于y轴对称,排除选项A、C,
f(2)=(1-42)sin222=−154sin 2,因为π2<2<π,所以sin 2>0,所以f(2)<0,排除选项D.故选B.
2.(2020河北衡水中学三模)如图所示的是函数f(x)的部分图象,则f(x)的解析式可能是 (　　)

A.f(x)=|sin x+cos x|　　　　
B.f(x)=sin x2+cos x2
C.f(x)=|sin x|+|cos x|　　　　
D.f(x)=sin|x|+cos|x|
答案　B　由题图可知,函数f(x)的图象关于y轴对称,所以f(x)应为偶函数,排除A选项;
由题图可知函数f(x)能取到小于0的值,所以排除C选项;
对于D选项,当x∈(0,1)时,f(x)=sin x+cos x=2sinx+π4,
而当x∈0,π4时,x+π4∈π4,π2,根据正弦函数的图象可知D选项不正确,故选B.




函数图象的应用
角度一　研究函数的性质
典例4　(2020山东淄博二模)已知方程x|x|+y|y|=-1表示的曲线为y=f(x)的图象,对于函数y=f(x)有如下结论:①f(x)在(-∞,+∞)上单调递减;②函数F(x)=f(x)+x至少存在一个零点;③y=f(|x|)的最大值为1;④若函数g(x)和f(x)的图象关于原点对称,则y=g(x)由方程y|y|+x|x|=1所确定,其中正确结论的序号为 (　　)
A.①③　　　　B.②③
C.①④　　　　D.②④
答案　C　当x≥0,y≥0时,x2+y2=-1,此方程不存在;
当x≥0,y<0时,x2-y2=-1,此时图象为实轴在y轴上的双曲线的一部分;
当x<0,y≥0时,y2-x2=-1,此时图象为实轴在x轴上的双曲线的一部分;
当x<0,y<0时,x2+y2=1,此时图象为以原点为圆心,1为半径的圆的一部分.画出y=f(x)的图象,如图所示:

由图象可得f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,所以①中结论正确;函数y=f(x)的图象与直线y=-x没有交点,即f(x)=f(x)+x没有零点,所以②中结论错误;由函数图象的对称性可知③中结论错误;若函数g(x)和f(x)的图象关于原点对称,则在x|x|+y|y|=-1中,用-x代替x,用-y代替y,可得y|y|+x|x|=1,所以④中结论正确.故选C.
角度二　求不等式的解集
典例5　(2020河南郑州一模)已知定义在R上的函数f(x)在(-∞,-2)上是减函数,若g(x)=f(x-2)是奇函数,且g(2)=g(0)=0,则不等式xf(x)≤0的解集是 (　　)
A.(-∞,-2]∪[2,+∞)　　　　
B.[-4,-2]∪[0,+∞)
C.(-∞,-4]∪[-2,+∞)　　　　
D.(-∞,-4]∪[0,+∞)
答案　C　g(x)=f(x-2)的图象是由函数f(x)的图象向右平移2个单位长度得到的,且g(2)=g(0)=0,所以f(-4)=g(-2)=-g(2)=0,f(-2)=g(0)=0,f(0)=g(2)=0,画出f(x)的大致图象,如图所示:

结合函数的图象可知,当x≤-4或x≥-2时,xf(x)≤0,故选C.
角度三　求参数的取值范围
典例6　(2020广东深圳模拟)已知函数f(x)=x2,x≤0,ln(x+1),x>0,若不等式f(x)-kx+k+1<0的解集为空集,则实数k的取值范围是 (　　)
A.(2-22,0]　　　　B.(2-32,0]
C.[2-22,0]　　　　D.[-1,0]
答案　C　因为不等式f(x)-kx+k+1<0的解集为空集,所以不等式f(x)-kx+k+1≥0恒成立,即f(x)≥k(x-1)-1恒成立.
在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x),y=k(x-1)-1的图象,如图所示:


　　直线y=k(x-1)-1过定点A(1,-1),
当直线y=k(x-1)-1与y=x2(x≤0)的图象相切时,方程f(x)-kx+k+1=0有一个实数解,可得x2=k(x-1)-1,即x2-kx+k+1=0,由Δ=k2-4(k+1)=0,可得k=2-22或k=2+22(舍去),由函数图象可知使不等式恒成立的实数k的取值范围是[2-22,0].
名师点评
1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数是常用的,函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)也常借助于图象研究,但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
2.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标;不等式f(x)
1.已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是 (　　)
A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞)
B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1)
C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1)
D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0)
答案　C　将函数f(x)=x|x|-2x去掉绝对值得f(x)=x2-2x,x≥0,-x2-2x,x<0,
画出函数f(x)的图象,如图所示,

观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上是单调递减的.
2.(2020四川宜宾二模)若函数f(x)为定义在R上的奇函数,且在(0,+∞)上为减函数,若f(2)=0,则不等式(x-1)f(x-1)>0的解集为 (　　)
A.(-3,-1)　　　　 B.(-1,1)∪(1,3)
C.(-3,0)∪(1,3)　　　　D.(-3,-1)∪(2,+∞)
答案　B　根据题意画出函数y=f(x)的大致图象,如图所示:

结合图象可知,①当x-1>0,即x>1时,由f(x-1)>0,得0 ②当x-1<0,即x<1时,由f(x-1)<0,得-22,解得-1 综上,x的取值范围是(-1,1)∪(1,3).


A组　基础达标

1.函数y=lg(x+1)-1的图象可以由函数y=lg x的图象 (　　)
A.上移1个单位长度再左移1个单位长度得到
B.下移1个单位长度再左移1个单位长度得到
C.上移1个单位长度再右移1个单位长度得到
D.下移1个单位长度再右移1个单位长度得到
答案　B
2.(2020浙江杭州高三月考)函数f(x)=xln|x-1||x|的图象是 (　　)

答案　A
3.已知图①中的图象对应的函数为y=f(x),则图②中的图象对应的函数为 (　　)

A.y=f(|x|)　　　　B.y=f(-|x|)　　　　C.y=|f(x)|　　　　D.y=-f(|x|)
答案　B
4.已知函数f(2x+1)是奇函数,则函数y=f(2x)的图象的中心对称点为 (　　)
A.(1,0)　　　　B.(-1,0)　　　　C.12,0　　　　D.-12,0
答案　C
5.(2020陕西汉中高三模拟)已知函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能是(　　)

A.f(x)=e|x|·cos x　　　　B.f(x)=ln|x|·cos x
C.f(x)=e|x|+cos x　　　　D.f(x)=ln|x|+cos x
答案　D
6.(2020浙江杭州高级中学高三模拟)若函数f(x)=(4mx-n)2的大致图象如图所示,则 (　　)

A.m>0,00,n>1
C.m<0,01
答案　B　令f(x)=0,即4mx=n,则mx=log4n,即x=1mlog4n,
由题图可知,1mlog4n>0,
故当m>0时n>1,当m<0时0 当m<0时,易知y=4mx是减函数,且当x→+∞时,y→0,f(x)→n2,C明显不符合题意,排除C,故选B.
7.若函数y=f(x)的图象过点(1,1),则函数y=f(4-x)的图象一定经过点　　　　. 
答案　(3,1)
解析　函数y=f(4-x)的图象可以看作是由y=f(x)的图象先关于y轴对称,再向右平移4个单位长度得到的.点(1,1)关于y轴对称的点为(-1,1),再将此点向右平移4个单位长度得到点(3,1),所以函数y=f(4-x)的图象过定点(3,1).
8.使log2(-x) 答案　(-1,0)
解析　在同一平面直角坐标系内作出y=log2(-x),y=x+1的图象,由图象可知满足条件的x的取值范围是(-1,0).


B组　能力拔高

9.(2020陕西咸阳高三一模)定义N{f(x)?g(x)}表示f(x) A.(-3,-1]　　　　 B.(-∞,-1]
C.(-∞,-3]　　　　D.[-1,0)
答案　B　易知N{f(x)?g(x)}可转换为满足|log2x| 当a>0时,数形结合可得f(x) 所以a>0不符合题意;
当a=0时,g(x)=2,
由f(x)=2,解得x=4或x=14,
所以f(x) 当a<0时,作出函数f(x)=|log2x|和g(x)=a(x-1)2+2的大致图象,如图所示:

若N{f(x)?g(x)}=1,即f(x)=|log2x|≤a(x-1)2+2的整数解只有一个,则只需满足f(2)≥g(2),f(1) 即|log22|≥a+2,0<2,解得a≤-1.
所以N{f(x)?g(x)}=1时,实数a的取值范围为(-∞,-1].
10.(多选题)(2020山东济南高三二模)已知实数a,b,c满足ln a=eb=1c,则下列关系式中可能成立的是 (　　)
A.a>b>c　　　　B.a>c>b
C.c>a>b　　　　D.c>b>a
答案　ABC　设ln a=eb=1c=x,x>0,则a=ex,b=ln x,c=1x,画出函数y1=ex,y2=ln x,y3=1x的图象,如图所示:

由图象可知,当x=x1时,y3>y1>y2,即c>a>b;
当x=x2时,y1>y3>y2,即a>c>b;
当x=x3时,y1>y2>y3,即a>b>c,故选ABC.
11.(多选题)(2020山东聊城二模)函数f(x)=|x|-ax(a∈R)的大致图象可能是 (　　)

答案　ABD　当a=0时, f(x)=|x|(x≠0),图象为A中图象;当a<0时,f(x)=|x|-ax=x+-ax,x>0,-x+-ax,x<0,在x>0时,由对勾函数的知识得f(x)在(0,−a]上递减,在[−a,+∞)上递增,在x<0时,f(x)是减函数,图象为B中图象;当a>0时,在x>0时,f(x)=x−ax是增函数,在x<0时,f(x)=−x−ax=−x+ax,结合对勾函数的性质知图象为D中图象.




C组　思维拓展

12.若平面直角坐标系内的A,B两点满足:(1)点A,B都在f(x)的图象上;(2)点A,B关于原点对称,则称(A,B)与(B,A)是函数f(x)的一个“和谐点对”.已知函数f(x)=x2+2x(x<0),2ex(x≥0),则函数f(x)的“和谐点对”有 (　　)
A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.4个
答案　B　作出函数y=x2+2x(x<0)的图象及其关于原点对称的图象(如图中的虚线部分所示),观察它与函数y=2ex(x≥0)的图象的交点个数即可,观察图象可得交点个数为2,即函数f(x)的“和谐点对”有2个.

13.已知函数f(x)=x+1x−x-1x.
(1)指出函数f(x)的基本性质:定义域、奇偶性、单调性、值域(结论不需要证明),并作出函数f(x)的图象;
(2)若关于x的不等式k·[f(x)]2-2kf(x)+6(k-7)>0恒成立,求实数k的取值范围;
(3)若关于x的方程[f(x)]2+m·|f(x)|+n=0(m,n∈R)恰有6个不同的实数解,求实数n的取值范围.
解析　(1)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), f(x)=-2x,x∈(-∞,-1),-2x,x∈[-1,0),2x,x∈(0,1],2x,x∈(1,+∞),
函数y=f(x)是偶函数,在区间(-∞,-1)和(0,1]上单调递增,在区间[-1,0)和(1,+∞)上单调递减,函数y=f(x)的最大值是2,无最小值,值域为(0,2].作图如下:

(2)令f(x)=t,则t∈(0,2],
因为关于x的不等式k·[f(x)]2-2kf(x)+6(k-7)>0恒成立,
所以不等式k(t2-2t+6)>42在t∈(0,2]时恒成立.
当t∈(0,2]时,t2-2t+6∈[5,6],
所以k>42t2-2t+6,
又42t2-2t+6∈7,425,
所以k>425.
(3)关于x的方程[f(x)]2+m·|f(x)|+n=0(m,n∈R)恰有6个不同的实数解,即[f(x)]2+mf(x)+n=0有6个不同的解,如图所示:

令f(x)=t,则t∈(0,2],当0 当t=2时,方程t=f(x)有两个根;
当t≤0或t>2时,方程t=f(x)无解.
设方程t2+mt+n=0的两根分别为t1,t2(t1 则t1∈(0,2),t2=2.
令g(t)=t2+mt+n,
则g(2)=2m+n+4=0,g(0)=n>0,-m2∈(0,2),m2-4n>0⇒n∈(0,4).
因此实数n的取值范围是(0,4).