高中人教A版 (2019)第五章 三角函数5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）多媒体教学ppt课件

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1.“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0，ω>0)在一个周期上的简图的方法：(1)列表：
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点： (3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来.①本质：把ωx+φ看作一个整体，整体替换正弦曲线中的x.②应用：解决与y=Asin(ωx+φ)相关的单调性，值域，图象等问题.
【思考】作出函数y=Asin(ωx+φ)一个周期上的图象后，怎样推广到整个定义域？提示：作出一个周期上函数图象后，根据周期函数的性质，将图象左右平移，得到整个定义域上函数的图象.
2.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的性质
　 【思考】求函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0)的单调区间应注意什么？提示：对于y=Asin(ωx+φ)的单调性而言，A与ω的正负影响单调性，如果ω<0，可以利用诱导公式sin(-α)=-sin α将负号转化到函数符号外，再求相应单调区间.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y= sin(ωx+φ)(ω≠0)的值域为 .(　　)(2)函数y=Asin(ωx+φ)，ω>0，x∈R的最大值是A.(　　)(3)函数f(x)=sin 的对称轴方程是x= .(　　)提示：(1)√.因为A= ，定义域为R，所以值域为 (2)×.当A为负数时，函数的最大值为-A.(3)×.f(x)=sin 的对称轴方程是x= +kπ，k∈Z.
2.(教材二次开发：例题改编)利用“五点法”作函数y=sin x的图象时，所取的五个点的横坐标为(　　)【解析】选C.令 x=0， 2π得x=0，π，2π，3π，4π.
3.函数y=Asin(ωx+φ)+1(A>0，ω>0)的最大值为5，则A=(　　)A.5B.-5C.4D.-4【解析】选C.由已知得函数的最大值为A+1=5，故A=4.
类型一　求作函数y=Asin(ωx+φ)的图象(直观想象)【典例】用“五点法”画函数y=2sin 在一个周期内的简图.【思路导引】列表、描点、连线、成图是“五点法”作图的基本步骤，令3x+ 取0， ，2π即可找到五点.
【解析】先画函数在一个周期内的图象.令X=3x+ ，则x= ，列表如下：
　　【变式探究】本例中把“一个周期内”改为“ ”，又如何作图？
【解析】因为x∈ 所以3x+ 列表如下：
　【解题策略】“五点法”作图的实质利用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象.
类型二　根据图象求函数的解析式(直观想象、逻辑推理)【典例】1.函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin
2.已知函数y=Asin(ωx+φ) 的最小值是-5，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差 ，且图象经过点 ，则这个函数的解析式为_______. 【思路导引】(1)根据函数图象的最值，求A.(2)根据图象给出的函数的周期，求ω.(3)根据函数图象上的特殊点求φ.
【解析】1.选A.由题图可知，A=2，T=2 =π，所以ω=2.由函数经过点 可知2sin =2，所以2× +φ= ，所以φ=- ，所以函数的解析式为y=2sin .2.由题意知A=5， ，所以T= ，所以ω=4，所以y=5sin(4x+φ).又因为图象经过点 ，所以 =5sin φ，即sin φ= ，所以φ= +2kπ(k∈Z)或φ= +2kπ(k∈Z)，又因为0<φ< ，
所以φ= ，所以这个函数的解析式为y=5sin .答案：y=5sin
【解题策略】根据函数的部分图象求解析式的方法(1)直接从图象确定A和T，则可确定函数解析式y=Asin(ωx+φ)中的参数A和ω，再选取特殊点，结合φ的范围求出φ.(2)将若干特殊点代入函数解析式，通过解方程组求相关待定系数A，ω，φ.(3)运用逆向思维的方法，先确定函数的基本函数解析式y=Asin ωx，再根据图象平移规律确定相关的参数.
　【跟踪训练】1.已知函数y=Asin(ωx+φ)+B的一部分图象如图所示，如果A>0，ω>0，|φ|< ，则(　　) A.A=4B.ω=1C.φ= D.B=42.如图是函数y=Asin(ωx+φ) 的图象的一部分，则此函数的解析式为_______. 
【解析】1.选C.由图象可知，A+B=4，A-B=0，A=B=2， ，T=π，ω=2.因为2× +φ= ，所以φ= .2.由图象知A=3，T= =π，所以ω= =2，所以y=3sin(2x+φ).因为点 在函数图象上，所以由“五点法”作图得- ×2+φ=0，所以φ= .答案：y=3sin
类型三　函数y=Asin(ωx+φ)性质的应用(直观想象、数据分析) 　角度1　三角函数的对称性、对称中心 【典例】已知函数f(x)=sin (ω>0)的最小正周期为π，则该函数的对称轴为_______，单调减区间为_______. 【思路导引】根据函数的最小正周期求出ω的值，确定函数的解析式，再根据函数的解析式求出对称轴方程和单调减区间.
【解析】由T= =π，解得ω=2，则f(x)=sin ，令2x+ =kπ+ ，k∈Z，得x= ，k∈Z，即对称轴方程为x= ，k∈Z.又因为 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ，k∈Z，所以 +2kπ≤2x≤ +2kπ，k∈Z，所以 +kπ≤x≤ +kπ，k∈Z.答案：x= ，k∈Z　
【变式探究】1.(变问法)本例中函数不变，则函数的对称中心为_______. 【解析】令2x+ =kπ，得x= (k∈Z).所以该函数的对称中心为 (k∈Z).答案： k∈Z
2.(变条件)若本例中函数变为f(x)=cs ，则对称轴方程为_______. 【解析】令 =kπ，k∈Z，得x=2kπ- π，k∈Z.答案：x=2kπ- ，k∈Z
　角度2　三角函数性质的综合应用 【典例】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，0≤φ<π)是R上的偶函数，其图象关于点M 对称，且在区间 上是单调函数，求φ和ω的值.【思路导引】先由奇偶性求φ，再由图象的对称性和单调性求ω.
【解析】由f(x)是偶函数，得f(-x)=f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)在x=0时取得最值，即sin φ=1或-1.依题设0≤φ<π，所以φ= .由f(x)的图象关于点M对称，可知sin =0，即 =kπ，解得ω= ，k∈Z.又f(x)在 上是单调函数，所以T≥π，即 ≥π.
所以ω≤2，又ω>0，所以当k=1时，ω= ；当k=2时，ω=2.故φ= ，ω=2或 .
　【解题策略】1.正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法
2.确定函数y=Asin(ωx+φ)单调区间的方法(1)采用“换元”法整体代换，将ωx+φ看作一个整体，可令“z=ωx+φ”，即通过求y=Asin z的单调区间而求出函数的单调区间.(2)若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间.(3)解题方法是整体代入法.
【题组训练】 1.已知函数f(x)=2sin 的最小正周期为π，则函数y=f(x)在区间 上的最大值和最小值分别是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　A.2和-2B.2和0C.2和-1D. 和-
【解析】选C.由题知 =π，得ω=2，所以函数y=f(x)=2sin .又因为x∈ ，所以2x- 所以sin 所以2sin 故函数f(x)的最大值为2，最小值为-1.
2.函数f(x)=cs(2x+φ) 的图象向右平移 个单位后得到的函数是奇函数，则函数f(x)的图象(　　)A.关于点 对称B.关于直线x=- 对称C.关于点 对称D.关于直线x= 对称
【解析】选D.将函数f(x)=cs(2x+φ) 的图象向右平移 个单位后，可得y=cs 的图象，根据得到的函数是奇函数，可得- +φ=kπ+ ，k∈Z，又|φ|< ，所以φ=- ，所以f(x)= .令x=- ，求得f(x)=cs ，故排除A；令x=- ，求得f(x)=cs =0，故排除B；令x= ，求得f(x)=cs 0=1，为函数的最大值，排除C.
3.函数f(x)=3sin 的图象为C，则以下结论中正确的是_______.(写出所有正确结论的序号) ①图象C关于直线x= 对称；②图象C关于点 对称；③函数f(x)在区间 内单调递增；④由y=3sin 2x的图象向右平移 个单位长度可以得到图象C.
【解析】f f =0，故①错，②正确.令- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ，k∈Z，解得- +kπ≤x≤ π+kπ，k∈Z，故③正确.函数y=3sin 2x的图象向右平移 个单位长度，得到函数y=3sin2 =3sin 的图象，故④错.答案：②③
1.函数y=sin 的最小正周期是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A. B.πC.2πD.4π【解析】选B.T= =π.
2.若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意x都有f ，则有 =(　　)A.3或0B.-3或0C.0D.-3或3【解析】选D.由f 知，直线x= 是函数的对称轴，解得 =3或-3.
3.(教材二次开发：习题改编)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) 的部分图象如图所示，则φ的值为(　　) A.- B. C.- D. 【解析】选B.由题意，得 ，所以T=π，由T= ，得ω=2，由题图可知A=1，所以f(x)=sin(2x+φ).又f =0，- <φ< ，所以φ= .
4.若x1= ，x2= 是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的最值点，则ω=(　　)A.2B. C.1D. 【解析】选A.由于x1= ，x2= 是函数两个相邻的最值点，故 ，所以T=π，即ω= =2.
5.在函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)的一个周期上，当x= 时，有最大值2，当x= 时，有最小值-2，则ω=_______. 【解析】依题意知 所以T=π，又T= =π，得ω=2.答案：2