2020-2021学年湖南省长沙市湘一芙蓉、一中双语学校九年级（上）期末数学试卷

2020-2021学年湖南省长沙市湘一芙蓉、一中双语学校九年级（上）期末数学试卷

1. 的倒数是

A. 2021 B.  C.  D.

2. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A. 线段 B. 正五边形 C. 等腰三角形 D. 平行四边形

3. 长沙市一年约产生垃圾重量为2555000吨，用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 分别观察下列几何体，其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是

A.      圆锥 B.      圆柱
C.    三棱柱 D.     正方体

6. 不等式的解集在数轴上表示正确的是

A.  B.
C.  D.

7. 如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，已知在和中，，，下列条件中不能判定≌的是

A.  B.
C. 且 D.

9. 如图，在中，，点D在线段BC上，且，，，则BD的长度为
    

A.  B.  C. 2 D.

10. 在同一平面直角坐标系中，函数与为常数，且的图象大致是

A.  B.
C.  D.

11. 如图，在中，，D是AB的中点，，交CD的延长线于点若，，则BE的长为
     

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且，点P在正方形的边上，则满足，则点P的个数是
     

A. 0 B. 4 C. 6 D. 8

13. 因式分解：______.
14. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______ .
15. 在中，，，，则的内切圆半径______.
16. 如图，双曲线经过矩形OABC的顶点B，双曲线交AB，BC于点E、F，且与矩形的对角线OB交于点D，连接若OD：：3，则的面积为______.

17. 计算：
    
    
    
    
    
    
     
18. 先化简，再求值：，其中
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，已知是锐角三角形
    请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与AB、BC分别交于点M、N，作一个圆，使得圆心O在线段MN上，且与边AB、BC相切；不写作法，保留作图痕迹
    在的条件下，若，，则的半径为______.
     

20. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作，分别交AB、DC于点E、F，连接AF、
    若，求EF的长；
    判断四边形AECF的形状，并说明理由．

21. 为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动.为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为x小时，将它分为4个等级：，，，，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：
    
    请你根据统计图的信息，解决下列问题：
    本次调查了______ 名学生；
    在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为______ ；
    请补全条形统计图；
    在等级D中3男2女表现最为优秀，现从5人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中一男一女的概率.
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，的外角的平分线与它的外接圆相交于点E，连接BE，
    求证：；
    若，，求的半径．

23. 2020年初，新冠疫情在武汉爆发．“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区．具体运输情况如表：

求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？
该市后续又筹集了吨生活物资，现已联系了6辆A种型号货车．试问至少还需联系多少辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？






 

24. 在平面直角坐标系xOy中，的半径为1，A，B为外两点，
    给出如下定义：平移线段AB，得到的弦分别为点A，B的对应点，线段长度的最小值称为线段AB到的“平移距离”．
    如图，平移线段AB得到的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是______；在点，，，中，连接点A与点______的线段的长度等于线段AB到的“平移距离”；
    若点A，B都在直线上，记线段AB到的“平移距离”为，求的最小值；
    若点A的坐标为，记线段AB到的“平移距离”为，直接写出的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，轴于点点A在点D的左侧，经过E、D两点的函数的图象记为，函数的图象记为，其中m是常数，图象、合起来得到的图象记为设矩形ABCD的周长为
    当点A的横坐标为时，求m的值；
    求L与m之间的函数关系式；
    当与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；
    设G在上最高点的纵坐标为，当时，直接写出L的取值范围.
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：的倒数是：
故选：
直接利用倒数的定义得出答案．
此题考查了倒数的定义，正确掌握相关定义是解题的关键．
 

2.【答案】A
 

【解析】解：A、线段既是中心对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、等腰三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：
根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
 

3.【答案】D
 

【解析】解：，
故选：
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
 

4.【答案】D
 

【解析】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：
根据合并同类项法则，同底数幂的除法，幂的乘方运算法则进行谋算，可得答案．
本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方运算，熟记它们的运算法则并根据法则计算是解题关键．
 

5.【答案】D
 

【解析】解：圆锥的主视图、左视图都是等腰三角形，而俯视图是圆加上一点，因此选项A不符合题意；
圆柱体的主视图、左视图都是矩形，而俯视图是圆形，因此选项B不符合题意；
三棱柱主视图、左视图都是矩形，而俯视图是三角形，因此选项C不符合题意；
正方体的三视图都是形状、大小相同的正方形，因此选项D符合题意；
故选：
分别得出圆锥体、圆柱体、三棱柱、正方体的三视图的形状，再判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，明确圆锥、圆柱、三棱柱、正方体的三视图的形状和大小是正确判断的前提．
 

6.【答案】C
 

【解析】解：不等式，
移项得：，
解得：
表示在数轴上，如图所示：
.
故选：
求出不等式的解集，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

7.【答案】B
 

【解析】解：由题意得，，
，，
，
，
故选：
根据平角的定义和平行线的性质即可得到结论．
本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

8.【答案】D
 

【解析】解：，，，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出≌，故本选项不符合题意；
B.，，，，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出≌，故本选项不符合题意；
C.，，
，
，，
符合判定两直角三角形全等的条件HL，能推出≌，故本选项不符合题意；
D.，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出≌，故本选项符合题意；
故选：
根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有
 

9.【答案】B
 

【解析】解：，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：
首先由直角三角形的性质证明，然后再由条件可得答案．
此题主要考查了含角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
 

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数和反比例函数的图象性质解答．
根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断哪个选项中图象是正确的，本题得以解决．
【解答】
解：函数与为常数，且，
当时，经过第一、二、四象限，经过第一、三象限，故选项A、B错误，
当时，经过第二、三、四象限，经过第二、四象限，故选项C正确，选项D错误，
故选：  

11.【答案】A
 

【解析】解：方法1：在中，，，，
由勾股定理得，
是AB的中点，
，
设，
由勾股定理得，
解得，
在中，
方法2：三角形ABC的面积，
是AB中点，
的面积面积，
中，，，，
由勾股定理得，
是AB的中点，
，

故选：
方法1：根据勾股定理可求AB，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出BD，CD的长，设，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程可求x，进一步求出BE的长．
方法2：由AC，BC易求三角形ABC的面积，由D是AB中点，从而得到的面积是面积的一半，从而得到
本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，正确的理解题意是解题的关键．
 

12.【答案】D
 

【解析】解：根据对称性，作点F关于BC的对称点Q，连接QE交BC于M，

点E、F将对称轴AC三等份，且，
，，
点Q与点F关于BC对称，
，，
，
，
在线段BC上存在点M使得为的最小值，即为，
当点P运动至点C时，，
当点P在CM之间时，，
故在CM上存在一个P点，使得；
当点P运动至点B时，由图可知，，为直角三角形，，，
，
；
当点P在BM之间时，
，
故在BM上存在一个P点，使得，
在线段BC上的存在两个点，使得；
同理可得，在AB、CD、DA上也都存在两个点，使得；
点P在正方形ABCD上运动时，共有8个点，使得；
故选：
作点F关于BC的对称点Q，连接QE交BC于M，当点P在点M时，的值最小，结合勾股定理即可求解．
本题考查正方形的性质，关键用正方形的对称性求解．
 

13.【答案】
 

【解析】解：


故答案为：
直接提取公因式ab，再利用公式法分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：式子在实数范围内有意义，
，
解得：
故答案为
根据二次根式中的被开方数是非负数，分母不能为0，可得：，据此判断出x的取值范围即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
 

15.【答案】2
 

【解析】解：如图，切AC于点E，切BC于F，切AB于G，连接OE，OF，
，，
正方形CEOF为正方形，
，，，
，
设的半径为r，则，
，，
，即，
解得：
故答案为：
设切AC于点E，切BC于F，切AB于G，连接OE，OF，由切线的性质易证四边形CEOF为正方形，得到，由切线长定理得，，利用可求出
本题考查了圆的切线的性质和切线长定理：圆的切线垂直于过切点的半径；从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等．证得四边形CEOF为正方形是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：如图，过点D作于点
在矩形OABC中，
，，，
，
∽，
：：：
设点D坐标为，其中m，n均为正数，
，
点D在双曲线上，
，则
：：3，
：：
DM：：：
，
，
点B在双曲线上，

，F在双曲线双曲线上，
，
，





故答案为：

根据点D的坐标去表达k的值及点B的坐标，进而求得BE，BF的长，再由求得的面积．
本题考查了反比例函数系数k的几何含义及反比例函数上点的坐标，涉及矩形的性质和相似三角形的判定与性质，是代数与几何的综合问题，解决问题要从点D的坐标开始入手．
 

17.【答案】解：原式


 

【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：原式



，
当时，
原式
 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

19.【答案】解：如图1，直线l，即为所求；


 

【解析】

【分析】
本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
作线段BC的垂直平分线交AB于M，交BC于N，作的角平分线交MN于点O，以O为圆心，ON为半径作即可；
过点O作于设，利用面积法构建方程求解即可．
【解答】
解：见答案；
如图2，过点O作于

设，
，，MN垂直平分线段BC，
，
，
，
，
解得
故答案为  

20.【答案】解：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
又，
≌，
，
；
四边形AECF是菱形，
理由：≌，
，
又，
四边形AECF是平行四边形，
又，
四边形AECF是菱形．
 

【解析】判定≌，即可得，进而得出EF的长；
先判定四边形AECF是平行四边形，再根据，即可得到四边形AECF是菱形．
本题主要考查了平行四边形的性质以及菱形的判定，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
 

21.【答案】50 108
 

【解析】解：本次调查的学生数是：名
故答案为：50；

扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为，
故答案为：108；

等级人数为名，补全图形如下：


画树状图为：

共有20种等可能的结果数，其中恰好选中一男一女的结果数为12，
所以恰好选中一男一女的概率是
由B等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数；
用乘以D等级人数所占比例即可得；
根据四个等级人数之和等于总人数求出C等级人数，从而补全图形；
画树状图展示所有20种等可能的结果数，找出恰好选中一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】证明：四边形ACBE是圆内接四边形，
，
平分，
，
，

解：如图，连接EO并延长交BC于点F，连接OB，

由圆的对称性及等腰三角形的对称性可知，，
点F是BC的中点，
，，
，，
，
设的半径的半径为r，
，，
，即，
解得，
 

【解析】根据圆内接四边形的性质得到，根据角平分线的定义得到，得到，于是得到；
连接EO并延长交BC于点F，连接OB，设出圆的半径，在中，利用勾股定理建立等式即可得出结论．
本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理，圆内接四边形等，根据对称性作出正确的辅助线是解题关键．
 

23.【答案】解：设A种型货车每辆满载能运x吨生活物资，B种型货车每辆满载能运y吨生活物资，
依题意得：，
解得：
答：A种型货车每辆满载能运10吨生活物资，B种型货车每辆满载能运12吨生活物资．
设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，
依题意得：，
解得：，
又为整数，
的最小值为
答：至少还需联系17辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．
 

【解析】设A种型货车每辆满载能运x吨生活物资，B种型货车每辆满载能运y吨生活物资，根据前两批的运输情况表中的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，根据要一次性将这批生活物资运往目的地，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

24.【答案】 
如图1中，作等边，点E在x轴上，，

设直线交x轴于M，交y轴于则，，
过点E作于H，
，，
，
，
，
观察图象可知，线段AB到的“平移距离”为的最小值为

如图2中，作直线OA交于M，N过点O作交，交于P，

以OA，AB为邻边构造平行四边形ABDO，以OD为边构造等边，等边，则，的长即为线段AB到的“平移距离”，
当点与M重合时，的值最小，最小值，
当点与P或Q重合时，的值最大最大值，

 

【解析】解：如图，平移线段AB得到的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是；在点，，，中，连接点A与点的线段的长度等于线段AB到的“平移距离”．
故答案为：，

见答案
见答案
根据平移的性质，以及线段AB到的“平移距离”的定义判断即可．
如图1中，作等边，点E在x轴上，，设直线交x轴于M，交y轴于则，，过点E作于H，解直角三角形求出EH即可判断．
如图2中，作直线OA交于M，N过点O作交，交于P，以OA，AB为邻边构造平行四边形ABDO，以OD为边构造等边，等边，则，的长即为线段AB到的“平移距离”，Q求出使得最小值和最大值即可解决问题．
本题属于圆综合题，考查了平移变换，一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，线段AB到的“平移距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．
 

25.【答案】解：由题意，，
把代入中，得到，


抛物线的对称轴，
，
矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，
，，


当与矩形ABCD恰好有两个公共点，
抛物线的顶点在线段AE上，
，
或舍弃，


的顶点，中，顶点，中
①当，最高点是抛物线的顶点时，
若，解得或舍弃，
若时，或舍弃，
又，
观察图象可知满足条件的m的值为，
②时，当是最高点时，，
解得，
③当时，，
解得，
综上所述，，

 

【解析】求出点B坐标利用待定系数法即可解决问题；
利用对称轴公式，求出BE的长即可解决问题；
由与矩形ABCD恰好有两个公共点，推出抛物线的顶点在线段AE上，利用待定系数法即可解决问题；
分三种情形讨论求解即可；
本题考查二次函数综合题、矩形的性质、待定系数法、不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．