2019-2020学年广东省广州市荔湾区高二上学期期末教学质量检测数学试题 pdf版

2019-2020学年第一学期期末教学质量监测

高二数学参考答案与评分标准

说明：

1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题，每小题5分,共60分.

部分小题解答

8. 解:由，得 ，所以，即，

  所以（舍去）．依题意得，即，所以．

  所以．故选B．

9. 解:若是等比数列，则是与的等比中项，所以原命题是真命题，

从而，逆否命题是真命题；

反之，若，则当时，，所以是等比数列，所以逆命题是真命题，从而，否命题是真命题．故选A．

10. 解:双曲线的渐近线方程为，无妨设，

因为，，所以得，

所以的面积为．故选D．

11. 解:设，则，所以

，

当且仅当，即时，取“=”号，

所以当时，最小．故选B．

12. 解:取中点，易证：.

如上图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.

由已知得

.

设，

则 .

设平面的法向量.

由得，

可取，

所以，

解得（舍去），，

所以．故选A．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

    13.       14.        15.          16.

14. 解:因为从第二排起每一排都比前一排多出相同的座位数，

所以座位数构成等差数列.

因为，所以.

15. 解法一: 如图,因为为正三角形，所以，

所以是直角三角形.

因为，，所以.

因为，所以

即，所以. 

解法二：如图，易得点，代入，得

，解得.

16. 解析: 因为，

所以

，

所以.

三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

记为公差不为零的等差数列的前项和，已知，．

（1）求的通项公式；

（2）求的最大值及对应的大小．

17. 解：（1）设的公差为，且．

由，得，                          ……………1分

由，得，                          ……………2分

于是．                                  ……………4分

所以的通项公式为 ．         ……………5分

（2）由（1）得                ……………6分

                          ……………7分

                     ……………8分

因为，

所以当或时,                               ……………9分

有最大值为．                                  ……………10分

18. (本小题满分12分)

已知抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，并且经过点，抛物线的焦点为

，准线为．

（1）求抛物线的方程；

（2）过且斜率为的直线与抛物线相交于两点、，过、分别作准

线的垂线，垂足分别为、，求四边形的面积．

18. 解：（1）根据题意，设抛物线为，           ……………1分

因为点在抛物线上，所以，即．       ……………2分

所以抛物线C的方程为．                             ……………3分

（2）由（1）可得焦点，准线为．             ……………4分

不妨设，

过且斜率为的直线的方程为．            ……………5分

由   得，                    ……………6分

所以，．代入，得，．

所以， …………………………………………………7分

． ……………………………………………………8分

(注：A、B两点，算对一个得1分)

所以，  …………………………………………9分

， ………………………………………………10分

． …………………………………………11分

(注：上面三条线段，算对一个得1分)

因为四边形是直角梯形，所以四边形的面积为

．……………………………………12分

19. (本小题满分12分)

如图，四棱锥中，底面是菱形，

．

（1）证明：平面平面；

（2）若，，，

求二面角的余弦值．

19. 解：（1）证明：记，连接．

因为底面是菱形，

所以，是的中点．   ……………………………………1分

因为，所以．     …………………………………………2分

因为，

所以平面．    ………………………………………………………3分

因为，所以平面平面．    ……………………4分

（2）因为底面是菱形，，，

所以是等边三角形，即．

因为，所以．     ……………………………………5分

又，，所以，

即．       ………………………………………………………………6分

方法一：因为是的中点，所以，

因为，所以，

所以和都是等腰三角形．    ………………………………………7分

取中点，连接，则，且，

所以是二面角的平面角．  ……………………………………8分

因为，且，

所以．…………………………………………………………9分

因为，    

，    ……………………………………………………………10分

所以．  …………………………………11分

所以二面角的余弦值为．     ……………………………………12分

方法二：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，………………………………………………………7分

则，，，，……………………7分

所以，，．……………………8分

设平面的法向量为

由，得，

令，得．                       ……………9分

同理，可求平面的法向量．         ……………10分

所以

  …………11分

．                 ………………………………12分

所以，二面角的余弦值为．   ………………………………12分

20.（本小题满分12分）

数列的前项和为，且()，数列满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：数列是等比数列；

（3）设数列满足，其前项和为，证明：．

20. 解：（1）当时，．         ………………………………………1分

当时，=． …………………………2分

检验，当时符合．            …………………………3分

所以．            ………………………………………4分

（2）当时，，    ……………5分

而，所以数列是等比数列，且首项为，公比为．………6分

（3）由（1）（2）得 = ，

，              …………………………7分

所以

            ①

   ②

由①②得

，…………8分

      ………………………………9分

，                     ………………………………10分

所以．                  ………………………………11分

因为，所以 ．         ………………………………12分

21.（本小题满分12分）

如图，已知圆：，点是圆内一个定点，点是圆上任意

一点，线段的垂直平分线和半径相交于点．

当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）设过点的直线与曲线相交于，两点

（点在，两点之间）．是否存在直线使得

？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．

21. 解：（1）因为圆的方程为，

所以，半径．                    ………………………………1分

因为是线段的垂直平分线，所以．

所以．     ………………………………2分

因为，

所以点Q的轨迹是以，为焦点，长轴长的椭圆．………3分

因为，， ………………………………………………4分

所以曲线的方程为．    ……………………………………………5分

（2）存在直线使得．   ……………………………………………6分

方法一：因为点在曲线外，直线与曲线相交，

所以直线的斜率存在，设直线的方程为．  ……………………7分

设，

由 得．  …………………8分

则，                    ①

，                    ②            ……………………9分

由题意知，解得．

因为，

所以，即．  ③             ……………………10分

把③代入①得 ，        ④

把④代入②得，得，满足． …………………11分

    所以直线的方程为：或． …………………12分

方法二：因为当直线的斜率为0时，，

此时．                      ……………………………………7分

因此设直线的方程为：．

设，

由  得 ． ……………………………8分

由题意知，解得或 ，

则，            ①  

，              ②                   …………………9分

因为，所以． ③                   …………………10分

把③代入①得，        ④

把④代入②得， ，满足或．  …………………11分

所以直线的方程为或．   …………………12分

22. (本小题满分12分)

已知函数．

（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；

（2）设，若不等式对都成立，求实数的取值范围；

（3）若且时，求函数的零点．

22. 解：（1）因为不等式的解集为，所以为方程的两个根，

由根与系数的关系得

，即，．………………………………………2分

    （2）当时，，

因为不等式对都成立，

所以不等式对任意实数都成立．

令，

所以．                             …………………………3分

当时，，                        …………………………4分

所以，即，得或，

所以实数的取值范围为．          …………………………5分

（3）当时，，

函数的图像是开口向上且对称轴为的抛物线，

．

①当，即时，恒成立，函数无零点． …………6分

②当，即或时，

（i）当时，，此时函数无零点． ……………7分

（ii）当时，，此时函数有零点． ……………8分

③当，即或时，令，得

，

．                           ………………………………………9分

（i）当时，得，此时，

所以当时，函数无零点．    ………………………………………10分

（ii）当时，得 ，此时，所以当时，函数有两个零点：． ……………………………11分

综上所述：当，时，函数无零点；当，时，函数有一个零点为；当，时，函数有两个零点：．             ……………………………12分