人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算优秀练习

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5.2导数的运算同步练习

人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 下列各式正确的是

A.  B.
C.   D.

2. 函数的导数为

A.  B.
C.  D.

3. 设，则的导数是

A.  B.  C.  D.

4. 下列求导运算正确的是

A.
B.
C.
D.

5. 函数的导函数是   

A.  B.
C.  D.

6. 函数的导数是   

A.  B.  C.  D.

7. 若函数，则 

A.  B.  C.  D.

8. 函数为上的可导函数，其导函数为，且，在中，，则的形状为     

A. 等腰锐角三角形 B. 直角三角形
C. 等边三角形 D. 等腰钝角三角形

9. 下列导数运算正确的是

A.  B.
C.  D.

10. 函数的导函数为   

A.  B.  C.  D.

11. 已知的导函数为，若且，则   

A.  B.  C.  D.

12. 下列求导运算正确的是

A.  B.
C.  D.

二、多空题（本大题共6小题，共30.0分）

13. 定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”．
    设，则在上的“新驻点”为      ．
    如果函数与的“新驻点”分别为、，那么和的大小关系是      ．
14. 记分别为函数的导函数若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．

以下函数与存在“点”的是          

函数与；

函数与；

函数与．

已知：，若函数与存在“点”，则实数的取值范围为          ．

15. 已知函数，，若直线与函数，的图象均相切，则的值为          ；若总存在直线与函数，图象均相切，则的取值范围是          ．
16. 设函数有两个不同极值点，，则的取值范围是          ，若，则的取值范围是          ．
17. 若函数的导数存在导数，记的导数为如果对任意，都有成立，则有如下性质：
    其中，，，，若，则      ；根据上述性质推断：当且，，时，根据上述性质推断：的最大值为      ．
18. 若函数的导函数存在导数，记的导数为如果对，都有，则有如下性质：，其中，，，，若，则          ；在锐角中，根据上述性质推断：的最大值为          ．

三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）

19. 已知二次函数，其图象过点，且．
    求，的值；
    设函数，求曲线在处的切线方程．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知函数．

讨论函数的单调性；

若在上恒成立，求整数的最大值．






 

21. 设函数，，，其中是的导函数，令，，，

Ⅰ求，，，并猜想；

Ⅱ证明：猜想的表达式成立．






 

22. 已知函数，是的导函数．

求函数的最大值和最小正周期；

若，求的值．






 

23. 已知．
    作出函数的图象；
    求函数的单调区间，并指出单调性；
    求集合使方程有四个不相等的实根．
    
    
    
    
    
    
     
24. 已知函数，求．
    
    
    
    
    
    
     
25. 已知函数有两个零点，且，

求的取值范围；

证明：．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查导数的运算，属于基础题．
根据题意，逐项计算即可．

【解答】

解：根据导数公式有， A错误；
，B错误；
，C正确；
，D错误；
故选C．

2.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查导数的运算公式，以及复合函数求导，属基础题目．
运用复合函数的求导法则运算即可．

【解答】

解：对函数求导，
即令，，求导得
．
故选A．

3.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了导数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用导数的运算法则即可得出．

【解答】

解：，
．
故选：．

4.【答案】
 

【解析】

【分析】

对每个选项的函数求导即可．
本题考查了基本初等函数、积的导数和复合函数的求导公式，本题考查了计算能力，属于中档题．

【解答】

解：，A错误；
，B错误；
，C正确；
，D错误．
故选：．

5.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数的求导，直接由求导法则计算即可，属于中档题．

【解答】

解：函数，
．
故选D．

6.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数的导数的求法，考查计算能力．
直接利用求导法则，求出函数的导数即可．

【解答】

解：函数的导数是：．
故选B．
 

7.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于容易题．
根据题意，求出函数的导数，令计算即可得答案．

【解答】

解：根据题意，函数 ，则，
则；
故选：．

8.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数和的解析式是解决本题的关键，属于拔高题．
求函数的导数，先求出，然后利用辅助角公式进行化简，求出，的大小即可判断三角形的形状．

【解答】

解：函数的导数，
则，
则，则，
则，
，
，
，即，
则，得，
，即，
则，则，
则，
则，
即是等腰钝角三角形，
故选：．

9.【答案】
 

【解析】

【分析】

考查基本初等函数的求导公式．
判断每个选项函数的求导是否正确即可．

【解答】

解：，；
选项B正确．
故选：．

10.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查导数的计算，属于基础题．
直接利用导数的运算法则计算即可．

【解答】

解：由题意得，，
故选B．

11.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查复合函数的导数公式，属于基础题．

利用导数的公式，求得，代入即可求解．

【解答】

解：由，可得，

又由，可得．

故选：．

12.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查导数的基本运算，要求熟练掌握常见函数的导数公式，属基础题．
根据导数的运算公式和运算法则进行判断即可． 

【解答】

解：．，A错误．
B.，B错误．
C.，C错误．
D.，D正确．
故选D．

13.【答案】

【解析】解：根据题意，，其导数，
若，即，则有，
又由，则，
即在上的“新驻点”为，
函数，其导数，
若，即，
函数的“新驻点”为，则有，
，则，
若，即，
的“新驻点”为，则有，
令，则为单调增函数，且，
所以函数存在唯一零点，且，
即，解得，
则有；
故答案为：，．
根据题意，求出函数的导数，由“新驻点”的定义可得，变形可得，结合的范围分析可的值，即得答案；
根据题意，求出与的导数，由“新驻点”的定义可得的值以及，分析范围，比较即可得答案．
本题考查导数的计算，是新定义的题型，关键是理解“新驻点”的定义．
 

14.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查新定义，考查利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．
对于，紧扣定义“满足且，则称为函数与的一个“点””即可得到答案；对于，根据定义，问题转化为有解，设，利用研究的单调性和极值，即可得到答案．
【解答】
解：对于，由且，得
，，两方程为公共解，故错误；
对于，由且，得
，，解得，
所以为函数与的一个“点”，故正确；
对于，由且，得
，，
所以，无解，故错误；
由且，得
，且，
消去得，，
设，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
所以当时，与有交点，此时方程有解，满足题意，
故．  

15.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查导数的几何意义、导数中的存在问题、利用导数研究函数的单调性以及利用导数研究函数的最值，属于中档题．
空一：设切点为，求出函数的导数，即可求出在点处的切线，即直线，代入，即可求解；空二：利用切线方程为：，代入，可得，令，对其求导，可得其单调性，从而可求出最值，即可求解．
【解答】
解：，，设切点为，则，
，切点为，，，
把直线代入得，
即，，．
由上面可知切线方程为：，代入，
得，，
，
令，
则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，在时，取得最小值，
因此，．
即实数的取值范围是  

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值，属于难题．
求出函数的导数，结合已知条件的得到在区间上有两个不等实数根，求出的范围；
结合可得，利益导数结合函数的单调性即可求解．
【解答】
解：，
由题意得有两个不同的正根，即方程有两个不同的正根，
即有两个不同的正根，
所以
可得的取值范围为
于是有：，由得，
代入得，
令，，则，，
当时，，单调递减，
，即．
故的取值范围是
故答案为  

17.【答案】

【解析】解：设，，则，则，，
有如下性质：．
则，
的最大值为，
故答案为：，
构造函数，，求导，则，由正弦函数的图象可知成立，根据函数的性质，即可求得的最大值．
本题考查函数的性质，考查正弦函数的性质，考查转化思想，属于中档题．
 

18.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查导数的运算和新定义，属于中档题．
构造函数，，求导，则，由正弦函数的图象可知成立，根据函数的性质，即可求得的最大值．
【解答】
解：设，，则，则，，
由正弦函数的图象可知成立，
有如下性质：．
则，
的最大值为，
故答案为；．  

19.【答案】解：由题意可得，即为，
又，可得，
解得；
函数，
导数，
即曲线在处的切线斜率为，
切点为，
则曲线在处的切线方程为，即．
 

【解析】本题主要考查导数的几何意义，利用导数求曲线的切线方程．
由题意可得，代入的解析式，求出的导数，结合，解方程可得；
写出的解析式，求得导数，可得切线的斜率，再由点斜式方程可得切线的方程．
 

20.【答案】解：函数的定义域为．
因为，所以 
当时，对恒成立； 
当时，由得，得 
综上，当时，在上单调递增； 
当时，在上单调递减，在上单调递增．
由得，所以， 
即对恒成立． 
令，则， 
令 ，则，
因为，所以，  所以在上单调递增，
因为，， 
所以存在满足 ，
当时，，， 
当时，，， 
所以在上单调递减，在上单调递增， 
所以， 
所以，因为，， 
所以的最大值为．
 

【解析】本题主要考查了利用导数求函数的单调性，最值，考查了不等式恒成立问题，属于难题．
Ⅰ求出，对分类讨论，令和，求出的取值范围可得的单调性．
Ⅱ利用不等式恒成立问题等价转化为对恒成立，
构造函数，利用导数研究函数的单调性以及求出最大值，得到整数的最大值．
 

21.【答案】解：Ⅰ因为，所以，则，
所以，，，可猜想．

Ⅱ下面用数学归纳法证明：

当时，，结论成立．

假设时结论成立，即那么，当时，

，即结论成立．

由可知，结论对成立．

【解析】本题考查数学归纳法，考查学生的计算能力，考查猜想与证明，正确理解数学归纳法的证明步骤是关键．

Ⅰ利用导数的运算法则可得，可得，，， 猜想出；
Ⅱ利用数学归纳法的证明步骤进行证明． 

22.【答案】解：已知函数，
则，
代入，
可得，
当，
即时，，
则的最小正周期．
由，
得，
易知，解得．
故
．
 

【解析】本题考查了导数的运算，同角三角函数的基本关系，三角函数的化简求值和函数的图象与性质．
求函数的最大值和最小正周期，必须先求的导数，再进行化简，再决定如何求最值和周期． 
根据，易得，得到，再求的值，可以采用“齐次化切法”．
 

23.【答案】解：作的图象如下，

由图象可知，
在，上单调递减，
在，上单调递增；
作与的图象如下，
，
可知直线与曲线相切，
当时，，
，
故，
即，
故直线的斜率，
故集合使方程有四个不相等的实根
 

【解析】本题考查了学生的作图与应用图象的能力，同时考查了导数的综合应用，属于较易题．
借助对称性作的图象即可，
由图象写出函数的单调区间即可；
作与的图象，求导确定当时，相切时直线的斜率，从而求集合．
 

24.【答案】解：，
．
 

【解析】可以求出导函数，然后即可求出和的值，从而得出答案．
本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，分段函数的求导方法，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．
 

25.【答案】解：令，，令， ，

当与相切时，如图所示：设切点为，则，
 

，，即切点坐标是，把代，

解得：，若有两个零点，即，有个交点，
只需即可，即，的范围是；

由题意知：，，即，，

，即，
要证成立，即证成立，

即证，由知：即证，即证，
又由知：即证，

即证，即证，
令，则，即证，
设，，
，在上单调递减，
，即成立，
故得证．

【解析】本题考查在研究函数的零点，函数单调性的应用，属于较难题．
令，，求导后，做出函数图象，数形结合，结合切点坐标即可求解；
由题意及得，由得，用换元法利用导数研究函数的单调性证明即可求证。