高中数学人教A版 (2019)必修第一册5.7 三角函数的应用达标测试

展开

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修第一册5.7 三角函数的应用达标测试，共8页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 在两个弹簧上分别挂一个质量为M1和M2的小球，它们做上下自由振动，已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：s1＝sin(2t+），s2＝5cs(2t−），则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是（）
A.s1>s2B.s1
2. 如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(−π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin(2t+），则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是（）

A.，B.2，C.，πD.2，π

3. 已知简谐振动的振幅是，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是（）
A.，B.，C.，D.，

4. 商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50+4sint2(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的（）
A.[0, 5]B.[5, 10]C.[10, 15]D.[15, 20]

5. 在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12ℎ，低潮时水深为9m，高潮时水深为15m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y(m)关于时间t(ℎ)的函数图象可以近似地看成函数y＝Asin(ωt+φ)+k的图象，其中0≤t≤24，且t＝3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（）
A.B.
C.D.

6. 动点A(x, y)在圆x2+y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是(12,32)，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是（）
A.[0, 1]B.[1, 7]C.[7, 12]D.[0, 1]和[7, 12]

7. 一半径为4.8米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2.4米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，则（）

A.点P第一次到达最高点需要10秒
B.在水轮转动的一圈内，有20秒的时间，点P距离水面的高度不低于4.8米
C.点P距离水面的高度ℎ（米）与t（秒）的函数解析式为ℎ=4.8sin(π30t−π6)+2.4
D.当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面12米

8. 如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（）

A.该质点的运动周期为0.7s
B.该质点的振幅为5
C.该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零
D.该质点的运动周期为0.8s
E.该质点在0.3s和0.7s时运动速度为零
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

函数y=−3sin(−2x+π3)(x≥0)的初相是________．

某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d=________，其中t∈[0, 60]．

国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：________＝________sin(ωπ________+π4)+60（美元）[________(天), ________>0, ω>0]，现采集到下列信息：最高油价80美元，当________＝150（天）时达到最低油价，则ω的最小值＝________1120 ．

据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0，|φ|<）的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．则7月份的出厂价格为________元．
三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

健康成年人的收缩压和舒张压一般为120∼140mmHg和60∼90mmHg，心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值．
设某人的血压满足函数式p(t)＝115+25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)．
（1）求函数p(t)的周期；

（2）求此人每分钟心跳的次数；

（3）求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较．

如果某地夏天从8∼14ℎ的用电量变化曲线近似满足y＝Asin(ωx+φ)+b(A>0，ω>0，|φ|<），如图所示．

（1）求这一段时间的最大用电量和最小用电量；

（2）写出这段曲线的函数解析式．

某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y（米）随着时间t（0≤t≤24，单位：小时）而周期性变化．每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：

（1）试在图中描出所给点；

（2）观察图，从y=at+b，y=Asin(ωt+φ)+b，y=Acs(ωt+φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；

（3）如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．

如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD是函数y＝kx(k>0)的图象的一部分，后一段DBC是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2,x∈[4,8])的图象，图象的最高点为B(5,833)，且DF⊥OC，垂足为点F．

（1）求函数y＝Asin(ωx+φ)的解析式；

（2）若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上，其横坐标为43，点E在OC上，求儿童乐园的面积．
参考答案与试题解析
人教A版（2019）必修第一册《5.7 三角函数的应用》2021年同步练习卷（3）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】
A
【考点】
三角函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
A
【考点】
三角函数模型的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
C
【考点】
y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
C
【考点】
正弦函数的单调性
【解析】
根据条件求出函数的递增区间即可得到结论．
【解答】
∵ F(t)＝50+4sint2(t≥0)，
∴ 由2kπ−π2≤t2≤2kπ+π2，k∈Z．
得4kπ−π≤t≤4kπ+π，k∈Z．
∵ t≥0，
∴ 当k＝0时，递增区间为[0, π]，
当k＝1时，递增区间为[3π, 5π]，
∵ [10, 15]⊆[3π, 5π]，
∴ 此时函数单调递增，
5.
【答案】
A
【考点】
三角函数模型的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
D
【考点】
函数单调性的性质与判断
【解析】
由动点A(x, y)在圆x2+y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，可知与三角函数的定义类似，由12秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度，画出单位圆，很容易看出，当t在[0, 12]变化时，点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调性的变化，从而得单调递增区间．
【解答】
设动点A与x轴正方向夹角为α，则t＝0时α=π3，每秒钟旋转π6，在t∈[0, 1]上α∈[π3,π2]，在[7, 12]上α∈[3π2,7π3]，动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的．
7.
【答案】
B,C
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
设点P距离水面的高度ℎ（米）与t（秒）的函数解析式为f(t)＝Asin(ωt+φ)+B(A>0, ω>0, |φ|<π2)
依题意可知f(t)的最大值为7.2，最小为−2.4，可得A+B＝7.2，−A+B＝−2.4，解得A，B．60=2πω，解得ω．当t＝0时，f(t)＝0，得sinφ求出φ，可得所求的函数关系式为f(t)．进而对各个选项依次判断即可．
【解答】
设点P距离水面的高度ℎ（米）与t（秒）的函数解析式为f(t)＝Asin(ωt+φ)+B(A>0, ω>0, |φ|<π2)
依题意可知f(t)的最大值为7.2，最小为−2.4，
∴ A+B＝7.2，−A+B＝−2，解得A＝4.8，B＝2.4．
2πω=60，解得ω=π30．
∴ f(t)＝4.8sin(π30t+φ)+2.4，
当t＝0时，f(t)＝0，得sinφ=−12，|φ|<π2，φ=−π6，
故所求的函数关系式为f(t)＝4.8sin(π30t−π6 )+2.4，C对，
令4.8sin(π30t−π6 )+2.4＝7.2，
可得：sin(π30t−π6)＝1，
∴ π30t−π6=π2，解得t＝20．
点P第一次到达最高点要20s时间．A错，
4.8sin(π30t−π6 )+2.4≥4.8⇒sin(π30t−π6 )≥12⇒π6≤π30t−π6≤5π6⇒10≤t≤30；
∴ 在水轮转动的一圈内，有20秒的时间，点P距离水面的高度不低于4.8米；B对，
t＝50时，f(t)＝4.8sin(π30t−π6 )+2.4＝4.8sin(π30×50−π6 )+2.4＝4.8sin3π2+2.4＝−2.4，D错．
8.
【答案】
B,C,D
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
【答案】
−π3
【考点】
y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义
【解析】
根据初相的定义进行求解即可．
【解答】
解：y=−3sin(−2x+π3)=3sin(2x−π3)，(x≥0)
则函数的初相是−π3，
故答案为：−π3．
【答案】
10sinπt60
【考点】
在实际问题中建立三角函数模型
【解析】
由题意知可以先写出秒针转过的角度，整个圆周对应的圆心角是360∘，可以算出一秒转过的角度，再乘以时间，连接AB，过圆心向它做垂线，把要求的线段分成两部分，用直角三角形得到结果．
【解答】
解：∵ ∠AOB=t60×2π=πt30rad，
∴ 根据直角三角形的边长求法得到d=2×5×sin12∠AOB=10sinπt60，
故答案为：10sinπt60．
【答案】
P,A,t,t,A,t,
【考点】
三角函数模型的应用
【解析】
通过三角函数的最大值，利用最高油价80美元，求出A，通过当t＝150（天）时达到最低油价，求出ω．
【解答】
因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin(ωπt+π4)+60（美元）[t(天), A>0, ω>0]，最高油价80美元，所以80＝Asin(ωπt+π4)+60，因为sin(ωπt+π4)≤1，所以A＝20，
当t＝150（天）时达到最低油价，即sin(150ωπ+π4)＝−1，
此时150ωπ+π4=2kπ−π2，k∈Z，
因为ω>0，所以令k＝1，150ωπ+π4=2π−π2，
解得ω=1120．
【答案】
7000
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
【答案】
T＝＝＝(min)；
f＝＝80；
p(t)max＝115+25＝140(mmHg)，
p(t)min＝115−25＝90(mmHg)，
即收缩压为140mmHg，舒张压为90mmHg，在正常范围内．
【考点】
三角函数模型的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
根据y＝Asin(ωx+φ)+b(A>0，ω>0）的图象，最小用电量30万度．
由图象可得A＝(50−30)＝10，
•＝14−4．
再根据五点法作图，可得，∴ φ＝，
∴ 函数的解析式为y＝10sin（x+．
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
解：（1）散点图如图所示
（2）由散点图可知，选择y=Asin(ωt+φ)+b函数模型较为合适．
由图可知，A=1,4−0.62=25，T=12，b=1．
则ω=2π12=π6，
∴ y=25sin(π6t+φ)+1．
把t=0代入，得φ=0．
所以y=25sin(π6t)+1(0≤t≤24)．
（3）由y=25sin(π6t)+1≥45(0≤t≤24)，
则−π6+2kπ≤π6t≤7π6+2kπ，得−1+12k≤t≤7+12k，k∈Z，
从而 0≤t≤7或11≤t≤19或23≤t≤24．
所以，应在白天11时∼19时进行训练．
【考点】
散点图
在实际问题中建立三角函数模型
正弦函数的定义域和值域
【解析】
（1）根据图表，直接画出散点图；
（2）观察散点图，y=Asin(ωt+φ)+b的函数模型，求出A，T，求出b，推出ω，利用t=0函数值为1，求出φ，即可求出拟合模型的解析式；
（3）通过函数值大于等于0.8，解出时间t的范围，即可推知安排白天内进行训练的具体时间段．
【解答】
解：（1）散点图如图所示
（2）由散点图可知，选择y=Asin(ωt+φ)+b函数模型较为合适．
由图可知，A=1,4−0.62=25，T=12，b=1．
则ω=2π12=π6，
∴ y=25sin(π6t+φ)+1．
把t=0代入，得φ=0．
所以y=25sin(π6t)+1(0≤t≤24)．
（3）由y=25sin(π6t)+1≥45(0≤t≤24)，
则−π6+2kπ≤π6t≤7π6+2kπ，得−1+12k≤t≤7+12k，k∈Z，
从而 0≤t≤7或11≤t≤19或23≤t≤24．
所以，应在白天11时∼19时进行训练．
【答案】
由图知，A=833，T4=8−5＝3，所以最小正周期T＝12，
因为T=2πω，所以ω=π6，
因为图象的最高点为B(5,833)，所以5×π6+φ＝2kπ+π2(k∈Z)，解得φ＝2kπ−π3，(k∈Z)，
又|φ|<π2，所以k＝0，φ=−π3，
故函数的解析式为y=833sin(π6x−π3)．
在y=833sin(π6x−π3)中，令x＝4，得D(4, 4)，
从而曲线OD的方程为y＝2x(0≤x≤4)，
把x=43代入y＝2x中，y=433，所以点P的坐标为(43,433)，
所以EP=433，EF=4−43=83．
故儿童乐园的面积S＝EP⋅EF=433×83=3239．
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
(Ⅰ)由图易知，A=833，T=2πω=12⇒ω=π6，又5×π6+φ＝2kπ+π2，(k∈Z)⇒φ＝2kπ−π3，(k∈Z)，又|φ|<π2，可求得φ=−π3，即可求得函数的解析式；
(Ⅱ)在y=833sin(π6x−π3)中，令x＝4，可得D(4, 4)，从而曲线OD的方程为y＝2x(0≤x≤4)，进而可得EP和EF的长度以及儿童乐园的面积．
【解答】
由图知，A=833，T4=8−5＝3，所以最小正周期T＝12，
因为T=2πω，所以ω=π6，
因为图象的最高点为B(5,833)，所以5×π6+φ＝2kπ+π2(k∈Z)，解得φ＝2kπ−π3，(k∈Z)，
又|φ|<π2，所以k＝0，φ=−π3，
故函数的解析式为y=833sin(π6x−π3)．
在y=833sin(π6x−π3)中，令x＝4，得D(4, 4)，
从而曲线OD的方程为y＝2x(0≤x≤4)，
把x=43代入y＝2x中，y=433，所以点P的坐标为(43,433)，
所以EP=433，EF=4−43=83．
故儿童乐园的面积S＝EP⋅EF=433×83=3239．t（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（米）
1.0
1.4
1.0
0.6
1.0
1.4
0.9
0.4
1.0