2022届山东省师范大学附属中学高三上学期开学考试数学试题含答案

这是一份2022届山东省师范大学附属中学高三上学期开学考试数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了已知为的导函数，则的图象是等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页满分为150分考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液、胶带纸、修正带和其它笔．
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共8小题每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，若有且仅有1个元素，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．命题“任意”的否定是（ ）
A．存在 B．不存在
C．对任意 D．对任意
3．已知复数，则复数的虚部为（ ）
A．2 B． C． D．
4．已知为的导函数，则的图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．甲乙两个物理兴趣小组在实验室研究某粒子运动轨迹．共同记录到粒子的13个位置的坐标信息如下表：
甲小组根据表中数据，直接对作线性回归分析，得到：
回归方程为，相关指数；
乙小组先将数据依变换进行整理，再对作线性回归分析，得到：
回归方程为，相关指数
根据统计学知识，下列方程中最有可能是该粒子运动轨迹方程的是
A． B．
C． D．
6．已知函数满足，当，若在区间内，函数有两个不同零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，满足为球O的直径且，则点P到底面的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则m的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共4小题每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．在上有2个零点 D．在上单调递增
10．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事件是（ ）
A．2张卡片不都是红色 B．2张卡片恰有一张红色
C．2张卡片至少有一张红色 D．2张卡片都为绿色
11．过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点，M为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．以线段为直径的圆与直线相交 B．以线段为直径的圆与y轴相切
C．当时， D．的最小值为4
12．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共4小题每小题5分，共20分）
13．在的展开式中，的系数是________．
14．数列满足，则_______．
15．已知函数，则不等式的解集为__________．
16．如图，中点是线段上两个动点，且，则的最小值为______．
四、解答题（本题共6小题共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）设数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和．
18．（12分）在锐角中角所对的边分别为，且．
（1）求角B；
（2）求的取值范围．
19．（12分）一个盒子内装有6张卡片，每张卡片上面写着1个数字，这6个数字各不相同，且奇数有3个，偶数有3个．每张卡片被取出的概率相等．
（1）如果从盒子中一次随机取出2张卡片，并且将取出的2张卡片上的数字相加得到一个新数，求所得新数是奇数的概率；
（2）现从盒子中一次随机取出1张卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上写着的数是偶数，则停止取出卡片，否则继续取出卡片设取出了次才停止取出卡片，求的分布列和数学期望．
20．（12分）已知四棱锥中，平面，且，底面是边长为b的菱形，．
（1）求证：平面平面；
（2）设与交于点为中点，若二面角的正切值是，求的值．
21．（2分）已知椭圆，离心率为，短轴长为．为椭圆的左右顶点，P为椭圆上任一点（不同于），直线分别与直线交于两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若F为椭圆右焦点，试判断是否为定值，若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由．
22．（12分）已知函数．
（1）若函数在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）如果函数“恰有两个不同的极值点，证明：．
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参考答案
1.C；2.A；3.A；4. A；5.C；6.A；7.D；8. C；9.BCD；10.BD；11.ACD；12. ABD；
13.； 14. ；15.； 16. 8；
17. 解：（1）




，经检验，也满足
（2）


18. 解：（1）方法一：使用余弦定理

由余弦定理得：
方法二：使用正弦定理


（2）


为锐角三角形

19 解：设为“所得新数为奇数”
（2）可取的值为


的分布列为：
20. 解：法一
T
（1）平面，平面
因为为菱形，所以
又因为，所以平面
因为平面 平面平面
（2）过作交于，连接
因为平面，所以由三垂线定理可得，
所以是的平面角
又，且，
从而

法二：
（1）过作，平面 平面
因为为菱形，所以
以为轴建立空间直角坐标系，
，
（1）设平面的法向量为

设平面的法向量为 因为平面即为平面
平面平面
（2）平面的一个法向量为
设平面的法向量为

设二面角的平面角为，则，可得

21.解：（1）
椭圆方程为：
（2）由（1）可得：,设，
设，联立方程解得：
同理：设，联立方程可得：

在椭圆上，所以
所以为定值
22. 解： （1）是上是增函数

设
令解得 故在单调递减，在单调递增


（2）依题意可得：
，
是极值点
两式相减可得：
所证不等式等价于：，不妨设
两边同除以可得：，
令
所证不等式只需证明：，
设
由（1）证明可得：
在单调递减， 证明完毕
原不等式成立即x
0.10
0.42
0.58
0.64
0.67
0.76
y
0.45
0.64
0.55
0.55
0.53
0.46