考点26 空间向量求空间角的（练习）（解析版）

考点26  空间向量求空间角

【题组一 线线角】

1．如图，在等腰三角形与中，，平面平面，，分别为，的中点，则异面直线与所成的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由于在等腰三角形与中，，平面平面，根据面面垂直的性质定理可知平面，平面，所以.依题意设，由于是等腰直角三角形斜边的中点，所以.设异面直线与所成的角为，则，由于，所以.故选：B

2．直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，E为BB′的中点，异面直线CE与所成角的余弦值是（    ）

A． B． C．- D．

【答案】D

【解析】直三棱柱中，，，为的中点．

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

设，则，0，，，2，，，0，，，0，，

，2，，，0，，

设异面直线与所成角为，

则．

异面直线与所成角的余弦值为．

故选：．

3．已知直三棱柱，，，和的中点分别为、，则与夹角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如图所示：分别以为轴建立空间直角坐标系.

故，，，，故，.

，即与夹角的余弦值为.

故选：.

4．如图所示，四棱锥中，，，，，点分别为的中点．

（1）证明：平面∥平面；

（2）若，求异面直线与所成角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）如图，因为分别为的中点，所以，平面，∴平面；

又，，所以为正三角形，

又，，所以，，

又，所以，∴平面

因为，

所以平面平面．

（2）如图，取中点，连结，

因为，，

所以为正三角形，所以，

又因为为等腰三角形，所以，

所以三点共线，所以，

因为，所以，，，

所以，所以，，

又，所以，

所以，又，所以平面．

以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

，，，，

，，

设异面直线与所成角为，

所以．

所以异面直线与所成角的余弦值为．

【题组二 线面角】

1．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB=AC=2，BC=4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE平面BCED，如下图．

（Ⅰ）求证：A1OBD；

（Ⅱ）求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；

【答案】（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）因为，分别为中点，

故可得，故为等腰三角形，又为中点，

故可得，又因为平面A1DE平面BCED，且交线为，

又平面，故平面，又平面，

故.即证.

（Ⅱ）过作，由（Ⅰ）可知平面，

又平面，故可得，

又因为//，故可得.

综上所述：两两垂直，

故以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

如下图所示：

故可得，

则

设平面的法向量为，

故可得，即，

取，可得.故.

又，

故可得.

设直线A1C和平面A1BD所成角为，

故可得.

则直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值为.

2．如图1，在中， ， 分别为， 的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2.

（1）求证：；

（2）求直线和平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）连接.图1中，，， 分别为， 的中点，，

即，又为的中点，.

又平面平面，且平面平面，平面，

平面，又平面，

.

（2）取中点，连接，则.

由（1）可知平面，平面.

以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示

，，.

，

.

设平面的法向量为，

则，即，令，则，.

设直线和平面所成的角为，则

，

所以直线和平面所成角的正弦值为.

3．在矩形中，，，点是线段上靠近点的一个三等分点，点是线段上的一个动点，且.如图，将沿折起至，使得平面平面.

（1）当时，求证：；

（2）是否存在，使得与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)见解析(2)

【解析】（1）当时，点是的中点.

∴，.

∵，∴.

∵，，，

∴.

∴.

又平面平面，平面平面，平面，

∴平面.

∵平面，∴.

（2）以为原点，的方向为轴，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系.

则，，.

取的中点，

∵，∴，

∴ 易证得平面，

∵，∴，∴.

∴，，.

设平面的一个法向量为，

则

令，则.

设与平面所成的角为，

则

，

解得或（舍去）

∴存在实数，使得与平面所成的角的正弦值为，此时.

4．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为6的等边三角形，D，E分别为AA1，BC的中点．

（1）证明：AE//平面BDC1；

（2）若异面直线BC1与AC所成角的余弦值为．求DE与平面BDC1所成角的正弦值．

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】（1）证明：取BC1的中点F，连接DF，EF，

∵E为BC中点，

∴∥，

又∵D为AA1的中点，

∥，，

∴∥，

∴四边形ADFE为平行四边形，

∴AE∥DF，

∵AE平面BDC1，DF平面BDC1，

∴AE∥平面BDC1；

（2）由（1）及题设可知，BC，EA，EF两两互相垂直，则以点E为坐标原点，EC，EA，

EF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设AA1＝2t（t＞0），则，

所以，

故

解得，

设平面BDC1的法向量为

由，得，

令，则，

又，

所以，

设DE与平面BDC1所成角为，

则，

∴DE与平面BDC1所成角的正弦值为.

5．如图，四棱锥中，平面，，，，为的中点，与相交于点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】Ⅰ）

由已知平面，可得，，

由题意得，为直角梯形，如图所示，

，所以为平行四边形，

所以，所以.

又因为，且，

所以面，

故.

在直角梯形中，，

因为面，所以，

所以为等腰直角三角形，为斜边上的中点，

所以.且，

所以平面

（Ⅱ）法一：以为原点，分别以为轴，轴，轴的建立直角坐标系.

不妨设

，，，，

设是平面的法向量.

满足 ，

所以 ，

则令 ，解得

法二：（等体积法求到平面的距离）

设，计算可得

， ， ，

，

解得

【题组三 二面角】

1．如图，平行四边形所在平面与直角梯形所在平面互相垂直，且，为中点．

（1）求异面直线与所成的角；

（2）求平面与平面所成的二面角（锐角）的余弦值．

【答案】（1）（2）

【解析】

在中，，

所以

所以，所以

又因为平面平面，平面平面，

平面，所以平面

如图，建立空间直角坐标系，则

（1）

设异面直线与所成的角为，则

所以异面直线与所成的角为；

（2）是平面的一个法向量，

设平面的一个法向量，

则，

得，取，则，

故是平面的一个法向量，

设平面与平面所成的二面角（锐角）为，

则．

2．如图，梯形中，，，，、分别是，的中点，现将沿翻折到位置，使

（1）证明：面；

（2）求二面角的平面角的正切值；

（3）求与平面所成的角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】（1）梯形中，，，，、分别是，的中点，

，四边形为平行四边形，，，，

所以四边形为正方形，，折叠后，，

，，在三角形中，，

所以，

是平面内两条相交直线，

所以面；

（2）两两互相垂直，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则

，设平面的法向量为

则，解得，令，取

由（1）可知，面，取平面的法向量

，

根据图形，二面角的平面角的余弦值为

所以二面角的平面角的正切值为；

（3），由（2）可得平面的法向量

设直线与平面所成的角为，

.

所以与平面所成的角的正弦值.

3．如图四棱柱中，，，，M为的中点.

（1）证明：平面；

（2）若四边形是菱形，且面面，，求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）取的中点N，连接，，

∵M为的中点，∴且

又， ，所以且，

所以四边形是平行四边形，

从而，又平面，平面，

所以平面.

（2）取的中点P，连接，，

∵四边形为菱形，又，易知.

又面面，面面，

∴平面，

故，，两两垂直 

以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图所示），不妨设.

则，，，，，，

，，

设平面的法向量为，

由，得，

可得平面的一个法向量，

设平面的法向量为，

由，得，

可得平面的一个法向量. 

∴ 

所以二面角的余弦值为.

4．已知平行四边形中，，平面平面，三角形为等边三角形，．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若平面

①求异面直线与所成角的余弦值；

②求二面角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）①；②.

【解析】（Ⅰ）

平行四边形中

∵，，

由余弦定理可得，

由勾股定理可得，

如图，以为原点建立空间直角坐标系

 ∴，，，，

∴，，

∴，，∴，．

又，∴平面．

又∵平面，∴平面平面．

（Ⅱ）∵，∴设

∴，．

∵平面，∴，∴，∴．

∴．

①，

∴

∴异面直线与所成角的余弦值为．

②设为平面的法向量，则

可得，

设为平面的法向量，则

可得，

∴，

∴二面角的正弦值为．

5．如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.

（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；

（2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长.

【答案】(1) (2)

【解析】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为．

（1） 因为平面，所以是平面的一个法向量，．

因为．

设平面的法向量为，则，

即，令，解得．

所以是平面的一个法向量，从而，

所以平面与平面所成二面角的余弦值为．

（2） 因为，设，

又，则，

又，

从而，

设，

则，

当且仅当，即时，的最大值为．

因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值．

又因为，所以．

6．如图，在三棱锥S一ABC中，SA＝AB＝AC＝BC＝SB＝SC，O为BC的中点

（1）求证：SO⊥平面ABC

（2）在线段AB上是否存在一点E，使二面角B—SC－E的平面角的余弦值为？若存在，求的值，若不存在，试说明理由

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）∵，O为BC的中点，∴，

设，则，，，

∴，∴，

又∵，∴平面ABC．

（2）以O为原点，以OA所在射线为x轴正半轴，以OB所在射线为y轴正半轴，

以OS所在射线为z轴正半轴建立空间直角坐标系．

则有，，，，．

假设存在点E满足条件，设，

则，

则．

设平面SCE的法向量为，

由，得，故可取．

易得平面SBC的一个法向量为．

所以，，解得或（舍）．

所以，当时，二面角的余弦值为．

7．在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，∥，，平面平面，且.

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】（1）平面平面，

平面平面 ，

，，

直线平面. 

由题意，以点为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正向建立如图空间直角坐标系，

则可得：，

. 

依题意，易证：是平面的一个法向量，

又， ，

又直线平面， .

（2） .

设为平面的法向量，

则，即.

不妨设，可得.

设为平面的法向量，

又 ，

则，即.

不妨设，可得， 

，

又二面角为钝二面角，

二面角的大小为. 

（3）设，则，又，

又，即， 

，解得或（舍去）.

故所求线段的长为.

8．已知在四棱锥中，平面，，是边长为2的等边三角形，，为的中点．

（1）求证：；

（2）若直线与平面所成角的正切值为2，求二面角的大小．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）证明：为等边三角形，为的中点，

，

又平面，平面，，

，，平面，平面，

又平面，.

（2）过点作，易知、、两两垂直；

以为原点，分别以、、作为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图；

平面，直线与平面所成角，

，，

，，，，

，，，

设平面的一个法向量为，

则即，令，则，

设平面的一个法向量为，

则即，令，则，

，

二面角的大小为.