人教A版高中数学必修2-本册综合学业质量标准检测

这是一份数学必修2本册综合测试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本册综合学业质量标准检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线y＝kx与直线y＝2x＋1垂直，则k等于(　C　)
A．－2　　　 B．2　　　
C．－　　　 D．
[解析]　由题意，得2k＝－1，∴k＝－．
2．空间中到A，B两点距离相等的点构成的集合是(　B　)
A．线段AB的中垂线 B．线段AB的中垂面
C．过AB中点的一条直线 D．一个圆
[解析]　空间中线段AB的中垂面上的任意一点到A，B两点距离相等．
3．若一个三角形的平行投影仍是三角形，则下列命题：
①三角形的高线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的高线；
②三角形的中线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中线；
③三角形的角平分线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的角平分线；
④三角形的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线．
其中正确的命题有(　D　)
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
[解析]　垂直线段的平行投影不一定垂直，故①错；线段的中点的平行投影仍是线段的中点，故②正确；三角形的角平分线的平行投影，不一定是角平分线，故③错；因为线段的中点的平行投影仍然是线段的中点，所以中位线的平行投影仍然是中位线，故④正确．选D．
4．如图，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是(　C　)

[解析]　当a>0时，直线y＝ax的斜率k＝a>0，直线y＝x＋a在y轴上的截距等于a>0，此时，选项A，B，C，D都不符合；当a<0时，直线y＝ax的斜率k＝a<0，直线y＝x＋a在y轴上的截距等于a<0，只有选项C符合，故选C．
5．已知圆x2＋y2＋4x－4y＋m＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为2，则实数m的值是(　C　)
A．3 B．4
C．5 D．7
[解析]　圆x2＋y2＋4x－4y＋m＝0的圆心(－2，2)，半径r＝(m<8)．圆心(－2，2)到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝，
由题意，得m＝5．
6．在圆柱内有一个内接正三棱锥，过一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是(　D　)

[解析]　如图所示，由图可知选D．

7．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是(　C　)
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
[解析]　圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心C1(2，－3)，圆x2＋y2－6x＝0的圆心C2(3，0)，AB的垂直平分线过圆心C1，C2，∴所求直线的斜率k＝＝3，所求直线方程为y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0．
8．已知直线l与直线2x－3y＋4＝0关于直线x＝1对称，则直线l的方程为(　A　)
A．2x＋3y－8＝0 B．3x－2y＋1＝0
C．x＋2y－5＝0 D．3x＋2y－7＝0
[解析]　由，得．
由题意可知直线l的斜率k与直线2x－3y＋4＝0的斜率互为相反数，
∴k＝－，故直线l的方程为y－2＝－(x－1)，
即2x＋3y－8＝0．
9．某几何体的三视图如下所示，则该几何体的体积是(　B　)

A． B．
C． D．
[解析]　该几何体是一个正三棱柱和一个三棱锥的组合体，故体积V＝×22×＋××22×2＝．
10．曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是(　D　)
A．(，＋∞) B．(，]
C．(0，) D．(，]
[解析]　根据题意画出图形，如图所示：
由题意可得：直线l过A(2，4)，
又曲线y＝1＋图象为以(0，1)为圆心，2为半径的半圆，
当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d＝r，即＝2，解得k＝．
当直线l过B(－2，1)时，直线l的斜率为＝，
则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为(，]．故答案选D．

11．若圆C：x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：x－y＋c＝0的距离为2，则c的取值范围是(　C　)
A．[－2，2] B．(－2，2)
C．[－2，2] D．(－2，2)
[解析]　圆C：x2＋y2－4x－4y－10＝0整理为(x－2)2＋(y－2)2＝(3)2，∴圆心坐标为C(2，2)，半径长为3，要使圆上至少有三个不同的点到直线l：x－y＋c＝0的距离为2，如图可知圆心到直线l的距离应小于等于，∴d＝＝≤，解得|c|≤2，即－2≤c≤2．

12．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　A　)
A．5－4 B．－1
C．6－2 D．
[解析]　两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min＝|C1′C2|＝5，所以(|PM|＋|PN|)min＝5－(1＋3)＝5－4．
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．△ABC中，已知点A(2，1)，B(－2，3)，C(0，1)，则BC边上的中线所在直线的一般方程为__x＋3y－5＝0__．
[解析]　BC边的中点D的坐标为(－1，2)，
∴BC边上的中线AD所在直线的方程为＝，即x＋3y－5＝0．
14．已知直线y＝kx＋2k＋1，则直线恒经过的定点__(－2，1)__．
[解析]　解法一：直线y＝kx＋2k＋1，即
k(x＋2)＋1－y＝0，
由，得．
∴直线恒经过定点(－2，1)．
解法二：原方程可化为y－1＝k(x＋2)，
∴直线恒经过定点(－2，1)．
15．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝__2__．
[解析]　根据题意，圆的方程可化为x2＋(y＋1)2＝4，
所以圆的圆心为(0，－1)，且半径是2，
根据点到直线的距离公式可以求得d＝＝，结合圆中的特殊三角形，可知|AB|＝2＝2，故答案为2．
16．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点P在面对角线BC1上运动，则下列四个命题：

①三棱锥A－D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1．
其中正确命题的序号是__①②④__．
[解析]　①因为BC1∥AD1，所以BC1∥平面AD1C，所以直线BC1上任一点到平面AD1C的距离都相等，
所以VA－D1PC＝VP－AD1C＝VB－AD1C为定值，正确；
②因为AC∥A1C1，AD1∥BC1，AC∩AD1＝A，A1C1∩BC1＝C1，所以平面ACD1∥平面A1BC1，因为A1P⊂平面A1BC1，所以A1P∥平面ACD1，正确；
③假设DP⊥BC1，因为DC⊥BC1，DC∩DP＝D，所以BC1⊥平面DPC，所以BC1⊥CP，因为P是BC1上任一点，所以BC1⊥CP不一定成立，错误；
④因为B1B⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以B1B⊥AC，又AC⊥BD，BD∩B1B＝B，所以AC⊥平面BB1D，所以AC⊥DB1，同理可知AD1⊥DB1，因为AC∩AD1＝A，所以DB1⊥平面ACD1，因为DB1⊂平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面ACD1，正确．
故填①②④．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知直线l1：ax－by－1＝0(a，b不同时为0)，l2：(a＋2)x＋y＋a＝0．
(1)若b＝0且l1⊥l2，求实数a的值；
(2)当b＝2，且l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．
[解析]　(1)若b＝0，则l1：ax－1＝0，
l2：(a＋2)x＋y＋a＝0．
∵l1⊥l2，∴a(a＋2)＝0，∴a＝－2或0(舍去)，即a＝－2．
(2)当b＝2时，l1：ax－2y－1＝0，
l2：(a＋2)x＋y＋a＝0，
∵l1∥l2，∴a＝－2(a＋2)，∴a＝－．
∴l1：4x＋6y＋3＝0，l2：2x＋3y－4＝0，
∴l1与l2之间的距离d＝＝．
18．(本小题满分12分)自A(4，0)引圆x2＋y2＝4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程．
[解析]　连接OP，则OP⊥BC，设P(x，y)，当x≠0时，kOP·kAP＝－1，
即·＝－1．
即x2＋y2－4x＝0．①
当x＝0时，P点坐标为(0，0)是方程①的解，所以BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(在已知圆内)．
19．(本小题满分12分)已知半径为2，圆心在直线y＝x＋2上的圆C．
(1)当圆C经过点A(2，2)且与y轴相切时，求圆C的方程；
(2)已知E(1，1)，F(1，3)，若圆C上存在点Q，使|QF|2－|QE|2＝32，求圆心横坐标a的取值范围．
[解析]　(1)设圆心坐标为(a，－a＋2)，
∵圆经过点A(2，2)且与y轴相切，
∴，
解得a＝2．
∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4．
(2)设Q(x，y)，由已知，得
(x－1)2＋(y＋3)2－[(x－1)2＋(y－1)2]＝32，
即y＝3.∴点Q在直径y＝3上．
又∵Q在圆C上，∴圆C与直线y＝3相交，
∴1≤－a＋2≤5，∴－3≤a≤1．
∴圆心横坐标a的取值范围为－3≤a≤1．
20．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，斜率为1的直线l与圆C交于A，B两点．
(1)化圆的方程为标准形式，并指出圆心和半径；
(2)是否存在直线l，使以线段AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由；
(3)当直线l平行移动时，求△CAB面积的最大值．
[解析]　(1)(x－1)2＋(y＋2)2＝9.圆心C(1，－2)，r＝3．
(2)假设存在直线l，设方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵以AB为直径的圆过圆心O，
∴OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0．
，
消去y得2x2＋2(m＋1)x＋m2＋4m－4＝0．
Δ＞0得－3－3＜m＜3－3．
由根与系数关系得：
x1＋x2＝－(m＋1)，x1x2＝，
y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2，
∴x1x2＋y1y2＝2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0．
解得m＝1或－4．
直线l方程为y＝x＋1或y＝x－4．
(3)设圆心C到直线l：y＝x＋m的距离为d，
|AB|＝2，
S△CAB＝×2×d＝＝≤，此时d＝，l的方程为y＝x或y＝x－6．
21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．

(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P－ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．
[解析]　(1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD．
因为AB∥CD，所以AB⊥PD．
又AP∩DP＝P，且AP，DP⊂平面PAD，
所以AB⊥平面PAD．
因为AB⊂平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAD．

(2)解：如图，在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为点E．
由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，AB⊥AD，又∵AD∩AB＝A．
可得PE⊥平面ABCD．
设AB＝x，则由已知可得AD＝x，PE＝x．
故四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝AB·AD·PE＝x3．
由题设得x3＝，故x＝2．
从而结合已知可得PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2，PB＝PC＝2．
可得四棱锥P－ABCD的侧面积为
PA·PD＋PA·AB＋PD·DC＋BC2sin 60°＝6＋2．
22．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2＝9，点A(－5，0)，直线l：x－2y＝0．
(1)求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；
(2)在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点B(不同于点A)，满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标．

[解析]　(1)设所求直线方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，
∵直线与圆相切，∴＝3，得b＝±3．
∴所求直线方程为y＝－2x±3．
(2)假设存在这样的点B(t，0)，
当P为圆C与x轴左交点(－3，0)时，＝；
当P为圆C与x轴右交点(3，0)时，＝，
依题意，＝，解得，t＝－5(舍去)，或t＝－．
下面证明点B(－，0)，对于圆C上任一点P，都有为一常数．
设P(x，y)，则y2＝9－x2，
∴＝＝＝＝，
从而＝为常数．
∴满足条件的点B的坐标为(－，0)．