备战2022年高考数学压轴题专题2.7 欲证不等恒成立结论再造是利器

专题2.7 欲证不等恒成立结论再造是利器

【题型综述】

利用导数解决不等式恒成立问题的策略：

利用导数证明不等式，解决导数压轴题，谨记两点：

（Ⅰ）利用常见结论，如：，，等；

（Ⅱ）利用同题上一问结论或既得结论．

【典例指引】

例1．已知，直线与函数的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1．

（I）求直线的方程及m的值；

（II）若，求函数的最大值．

      （III）当时，求证：

，取最大值，其最大值为2．

（III）

证明，当时，

例2．设函数，，其中R，…为自然对数的底数．

（Ⅰ）当时， 恒成立，求的取值范围；

（Ⅱ）求证： (参考数据：)．

【思路引导】

（1）先构造函数，再对其求导得到然后分和两种情形分类讨论进行分析求解：（2）借助（1）的结论，当时，对恒成立， 再令，得到 即； 又由(Ⅰ)知，当时，则在递减，在递增，则，即，又，即，令，即，则，故有．

点评：解答本题的第一问时，先构造函数，再对其求导得到然后分和两种情形分类讨论进行分析求解；证明本题的第二问时，充分借助（1）的结论及当时， 对恒成立，令，得到 即； 进而由(Ⅰ)知，当时，则在递减，在递增，则，即，又，即，令，即，则，故有．从而使得问题巧妙获证．

例3．设．

（l）若对一切恒成立，求的最大值；

（2）是否存在正整数，使得对一切正整数都成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．

【思路引导】

（1）即在时，，从而求的参数的范围，，所以函数 ，所以．（2）由（1）可知当时，即，取，，得，即．累加可证到．所以．

（2）设，

则，令得．

在时，递减；在时，递增．

∴最小值为，故，

取，，

得，即．

累加得 ．

∴．

故存在正整数，使得．

当时，取，有，不符合．故．

【同步训练】

1．已知函数，，（其中，为自然对数的底数， ……）．

（1）令，若对任意的恒成立，求实数的值；

（2）在（1）的条件下，设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．

【思路引导】

（1）由对任意的恒成立，即，利用导数讨论函数的单调性，求出最小值，即可得到实数的值；（2）由（1）知，即，令（，）则，所以，令，求和后利用放缩法可得，从而可得的最小值．所以．

（2）由（1）知，即，

令（，）则，所以，

所以

，所以，又，所以的最小值为．

2．设函数．

（1）当时，求的单调区间；

（2）若的图象与轴交于两点，且，求的取值范围；

（3）令，，证明：．

【思路引导】

（1）当时，求出，由 可得增区间，由可得减区间；（2）求出函数的导数，由，得到函数的单调区间，根据函数的单调性可得，从而确定的范围；（3）当时，先证明即，，得，则叠加得化简即可得结果．

（3）令，

∵，∵，得

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，得．

当时，即．

令，得，则叠加得：

，

即．

3．已知函数．

（1）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围；

（2）当时，恒成立的的取值范围，并证明 ．

【思路引导】

 (1) 函数有两个不同的零点，等价于=在（，+）上有两实根，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象即可得结果；（2）结合(1)可得<，令，

，各式相加，化简即可得结果．

点评：不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明．

4．已知函数与．

（1）若曲线与直线恰好相切于点，求实数的值；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：

【思路引导】

（1）根据导数几何意义得，即得实数的值；（2）利用分参法将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题（x>1）最大值，再利用导数研究函数单调性：单调递减，最后根据洛必达法则求最大值，即得实数的取值范围(3)先根据和的关系转化为对应项的关系： ，再利用（2）的结论，令，则代入放缩得证

方法二：（先找必要条件）

注意到时，恰有

令

则

在恒成立的必要条件为

即

（3）不妨设为前项和，则

要证原不等式，只需证

而由（2）知：当时恒有

即当且仅当时取等号

取，则

即即

即成立，从而原不等式获证．

点评：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决．但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法．

5．已知函数，．

（Ⅰ）若函数与的图像在点处有相同的切线，求的值；

（Ⅱ）当时，恒成立，求整数的最大值；

（Ⅲ）证明： ．

【思路引导】

 (Ⅰ)求出与，由且解方程组可求的值；（Ⅱ）恒成立等价于恒成立，先证明当时恒成立，再证明时不恒成立，进而可得结果；（Ⅲ））由，令，即，即，令 ，各式相加即可得结果．

（Ⅲ）由，令，

即，即

由此可知，当时，，

当时，，

当时，，

……

当时，．

综上：

．

即．

6．已知函数（是自然对数的底数），

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求的单调区间；

（3）设，其中为的导函数，证明：对任意，

【思路引导】

（1）对函数f(x)求导，，代入x=1，可求得，切点坐标再点斜式可求切线方程．(2)定义域因为又得，可得单调区间．（3）， 等价于在时恒成立，由（2）知，当时， 的最大值，即证．

（Ⅲ）证明：因为，所以， 等价于在时恒成立，

由（Ⅱ）知，当时， 的最大值， 

故，

因为时，       

所以，

因此任意， ．    

7．设函数，其中．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性；

（3）当，且时证明不等式：

【思路引导】

（Ⅰ）代入时，求得，求得切线的斜率，即可求解切线的方程；（Ⅱ）求得的表达式，分和和三种情况分类讨论，即可求解函数的单调区间； （Ⅲ）先由时，证得，再取得，进而可证明上述不等式．

（Ⅲ）证明：当-1时， ，

令，则在上恒正，

所以， 在上单调递增，当时，恒有，

即当时， ，

对任意正整数，取得，

所以，

=

=

=

点评：本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到导数的几何意义求解在某点的切线方程的求解、利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间，不等关系的证明等知识点的综合考查，试题有一定的难度，属于中档试题，其中解得中对导数的合理分类讨论和根据题设合理变换和换元是解答的难点．

8．已知函数．

（1）当时，讨论的单调性；

（2）当时，若，证明：当时，的图象恒在的图象上方；

（3）证明：．

【思路引导】

（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）时， ， ，设，求出函数的导数，利用导数性质推导出恒成立，由此能证明的图象恒在图象的上方；（3）由，设，求出函数的导数，从而，令，得，从而证明结论成立即可．

（3）由（2）知，即，

令，则，即，

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由，得函数单调递增，得函数单调递减；考查将问题转化为恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解，此题最大的难点在于构造法证明不等式．

9．已知函数 ．

（1）若函数在区间上递增，求实数的取值范围；

（2）求证：．

【思路引导】

对函数求导，可知其导数在大于，利用分离变量转化为函数求恒成立问题，可得的取值范围； 利用中结论可得，则有，利用累加和裂项可证不等式．

所以，，，．．．．，，，

所以，

即，得证．

10．已知函数 (其中，)．

(1)若函数在上为增函数，求实数的取值范围；

(2)当时，求函数在上的最大值和最小值；

(3)当时，求证：对于任意大于1的正整数，都有．

【思路引导】

（1）先求出函数的导数，由题意可知：当时，恒成立，解出的取值范围即可；（2）求导函数，确定函数的单调性，比较端点的函数值，即可求得结论；（3）利用（2）的结论，只要令，利用放缩法证明即可．

在上有唯一的极小值点，也是最小值点，

又因为，，

，

所以在上有的最大值是

综上所述，在上有的最大值是，最小值是0

11．已知函数

(Ⅰ)若有唯一解，求实数的值；

（Ⅱ）证明：当时，

（附： ）

【思路引导】

(Ⅰ）使有唯一解,只需满足,且的解唯一，求导研究函数，注意分类讨论利用极值求函数最大值；（Ⅱ）只需证即证，构造函数，利用单调性，极值求其最小值，证明其大于零即可．

②当，且时， 单调递增；当时， 单调递减，所以有唯一的一个最大值为,

令，则,

当时， ,故单调递减；当时，故单调递增，

所以，故令,解得，

此时有唯一的一个最大值为，且，故的解集是，符合题意；

综上，可得

（Ⅱ）要证当时，

即证当时， ,

即证

由（Ⅰ）得，当时， ,即，又，从而,

故只需证，当时成立；

令，则,

令，则，令，得

因为单调递增，所以当时， 单调递减，即单调递减，当时， 单调递增，即单调递增，

且,

由零点存在定理，可知，使得，

故当或时， 单调递增；当时， 单调递减，所以的最小值是或

由，得，

,

因为，所以,

故当时，所以,原不等式成立．

点评：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题．处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会．

12． 已知函数．

（Ⅰ）若函数有极值，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当有两个极值点（记为和）时，求证： ．

【思路引导】

（Ⅰ）由已知得x>0，且有，，由此利用导数性质能求出当函数f（x）存在极值时，实数a的取值范围是a>4．
（Ⅱ）x1，x2是x2+（2-a）x+1=0的两个解，从而x1x2=1，欲证原不等式成立，只需证明f（x）-lnx≥f（x）-x+1成立，即证lnx-x+1≤0成立，由此利用构造法和导数性质能证．

（Ⅱ）∵， 是的两个极值点，故满足方程

即， 是的两个解，∴

∵

而在中，

欲证原不等式成立，只需证明

∵，只需证明成立

即证成立

令，则

当时， ，函数在上单调递增；

当时， ，函数在上单调递减；

因此，故，即成立得证．

13．已知

（1）求函数在区间上的最小值；

（2）对一切实数恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：对一切，恒成立．

【思路引导】

（1）求出，分三种情况讨论，分别令 得增区间，得减区间，从而可得函数在区间上的最小值；（2）等价于，只需以即可；（3）问题等价于证明，由的最小值是，最大值为．

（2），则，

设，则，

，，单调递增，，，

单调递减，所以，因为对一切，恒成立，

所以；

（3）问题等价于证明，

由⑴可知的最小值是，当且仅当时取到，

设，则，易得，当且仅当时取到，从而对一切，都有成立．

14．已知函数， ．

（I）求的单调区间；

（II）若对任意的，都有，求实数的取值范围．

【思路引导】

对函数求导，针对参数进行讨论，研究函数得单调性；第二步为恒成立问题，当时，由于不满足题意要求，当 时，求出函数 的最大值，要使在上恒成立，只需 ，从而求出 的范围．

方法2： ， 等价于．令，则．