数学九年级上册1 投影导学案

第五章  投影与视图

5.1 投影

5.1.1 投影的概念与中心投影

学习目标

1.了解投影和中心投影的含义,体会灯光下物体的影子在生活中的应用;.（重点）

2.通过观察、想象,能根据灯光来辨别物体的影子,初步进行中心投影条件下物体与其投影之间的相互转化.（难点）

知识框架

知识导学

情景导入

1、观察下面三组图片：

物体在太阳光或灯光等光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，可见影子与物体有密切的关系.

（1）思考：物体和它的影子如此密切，在数学中影子是物体的什么呢？

（2）影子在数学中的概念是什么？影子与物体有着怎样的关系？

2、看到投影你能想到什么或你对投影有什么认识？形成投影的条件是什么？

3、你能表示出形成投影的路径吗？

4、灯光与太阳光线有什么不同？  所形成的投影有何区别？

概念学习

1、投影的概念

概念：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的_________.照射光线叫做_________.投影所在的平面叫做_________.

投影可以分为_________和_________.

2、中心投影

2.1概念：由一点 (点光源) 发出的光线所形成的投影为___________．

手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点出发的.

例如：（1）物体在灯泡发出的光照射下形成影子就是________投影．

（2）皮影戏是利用灯光的照射，把影子的影态反映在银幕（投影面）上的表演艺术.

2.2中心投影的展示图:

2.3 中心投影的性质

一个广场中央有一站路灯.

问题：（1）高矮相同的两个人在这盏路灯下的影子一定一样长吗?如果不一定,那么什么情况下他们的影子一样长？

答：_______________________________________________________________

性质1：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子_________，离点光源远的物体它的影子___________.

问题：（2）高矮不同的两个人在这盏路灯下的影子有可能一样长吗?

答：______________________________________________________________

问题：（3）高矮不同的两个人平行站在这盏路灯下的影子一样长吗？

答：______________________________________________________________

总结：等长的物体平行于地面放置时，一般情况下，离点光源越近，影子越____；离点光源越远，影子越________，但不会比物体本身的长度还短.

2.4 中心投影的作图

原理：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上

（1）寻找光源

解：过一根木杆的顶端及其影子的顶端画一条直线，再过另一根木杆的顶端及其影子的顶端画一条直线，两线相交于点O，点O就是灯泡的位置.

（2）作投影

同一时刻，两根木棒的影子如图，请画出图中另一根木棒的影子.

练一练

【考点1 中心投影的性质】

1、如图,晚上小亮在路灯下散步,在小亮由A处径直走到B处这一过程中,他在地上的影子 （  ）                                                           

A.逐渐变短

B.先变短后变长

C.先变长后变短

D.逐渐变长

2、如图，小明夜晚从路灯下A处走到B处这一过程中，他在路上的影子（　　）

A．逐渐变长 B．逐渐变短 

C．长度不变 D．先变短后变长

3、如图，夜晚路灯下有一排同样高的旗杆，离路灯越近，旗杆的影子（　　）

A．越长 B．越短 

C．一样长 D．随时间变化而变化

4、我们常用“y随x的增大而增大（或减小）”来表示两个变量之间的变化关系．有这样一个情境：如图，小王从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他与路灯C的距离y随他与点A之间的距离x的变化而变化．下列函数中y与x之间的变化关系，最有可能与上述情境类似的是（　　）

A．y＝x B．y＝x+3 C．y＝ D．y＝（x﹣3）2+3

5、小阳和小明两人从远处沿直线走到路灯下，他们规定：小阳在前，小明在后，两人之间的距离始终与小阳的影长相等．在这种情况下，他们两人之间的距离（　　）

A．始终不变 B．越来越远 C．时近时远 D．越来越近

【考点2  中心投影的作图】

1、 一天晚上，小丽在路灯下玩，如图所示.你能画出小丽在路灯下的影子吗？（用线段表示）

2、在下列各图中，两根木棒的影子是在同一时刻、一盏灯下形成的中心投影吗？

3、确定图中路灯灯泡所在的位置.

5.1.2 平行投影与正投影

学习目标

1.知道平行投影和正投影的含义.（重点）

2.了解不同时刻物体在太阳光下形成的影子的特点.  （重点）

3.会利用平行投影的性质进行相关计算.（难点）

知识框架

知识导学

情景导入

1、做一做

下图是小明一天上学、放学时看到的一根电线杆的影子,你能将它们按时间先后顺序进行排列吗？

2、观察与思考

观察下列图片,你认为太阳光线有什么特征？

太阳离我们非常遥远，太阳光线可以看成_________光线.

概念学习

1、平行投影和正投影的概念

太阳光线可以看成平行光线,像这样的光线所形成的投影称为__________投影.

在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影称为__________投影.

正投影是特殊的________投影，它不可能是_________投影.

例如:（1）物体在太阳光的照射下形成的影子 (简称日影) 就是平行投影．日影的方向可以反映时间.

（2）我国古代的计时器日晷，就是根据日影来观测时间的．

2、正投影的规律

（1）线段正投影规律

问题1： 用一束平行光垂直于水平桌面照射一支铅笔，改变铅笔的位置，观察它在桌面上投影的形状，例能发现线段正投影的规律吗？

答：_________________________________________________________________

线段正投影的规律：平行长____________，倾斜长__________，垂直成________.

（2）平面图形的正投影规律

问题2：用一束平行光垂直于水平桌面照射一张矩形纸板ABCD，改变纸板的位置，观察它在桌面上投影的形状，你能发现矩形ABCD正投影的规律吗？

平面图形的正投影规律：平行形_________，倾斜形__________，垂直成__________.

（3）几何图形的正投影规律

问题3：根据平面图形正投影的规律，你能说出长方体在投影面H上的正投影是什么图形？

几何图形的正投影规律：一个几何体在一个平面上的投影是一个_________图形.

3、平行投影的性质

性质1：等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子______________.
　　　　　　　　

性质2：等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子____________，且影长___________物体本身的长度.

4、平行投影的作画

某一时刻甲木杆在阳光下的影子如下图所示，你能画出此时乙木杆的影子吗？

练一练

【考点1 正投影】

1、观察如图所示的物体，若投影的方向如箭头所示，图中物体的正投影是下列选项中的（　　）

【变式1-1】如图，箭头表示投影线的方向，则图中圆柱体的正投影是（　　）

A．圆       B．圆柱        C．梯形        D．矩形

【变式1-2】底面与投影面垂直的圆锥体的正投影是（　　）

A．圆    B．三角形           C．矩形            D．正方形

【变式1-3】（1）圆柱的轴截面平行于投影面S，它的正投影是长4，宽4的正方形，则这个圆柱的表面积是______.

（2）一根笔直的小木棒（记为线段AB），它的正投影为线段CD，则AB_____CD

(填“＝”“＜”“＞”“≥”或“≤”).

【变式1-4】下列说法正确的是（　　）

①线段a垂直于投影面P，则线段a在投影面P上的正投影是一个点；②长方形的对角线垂直于投影面，则长方形在投影面上的正投影是一条线段；③正方体的一侧面与投影面平行，则该正方体有4个面的正投影是线段；④圆锥的轴截面与投影面平行，则圆锥在投影面上的正投影是等腰三角形．

A．1个     B．2个         C．3个              D．4个

【考点2 平行投影】

1、一个长方形的正投影不可能是（　　）

A．正方形 B．矩形 C．线段 D．点

【变式2-1】下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是（　　）

A．③①④② B．③②①④ C．③④①② D．②④①③

【变式2-2】小亮同学在教学活动课中，用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验，通过观察，发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是（　　）

A．线段 B．三角形 C．平行四边形 D．正方形

【变式2-3】把一个正六棱柱如图水平放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（　　）

A． B． 

C． D．

【变式2-4】下列物体的影子中，不正确的是（　　）

【考点3  平行投影的作图】

1、如图，在某一时刻垂直于地面的物体AB在阳光下的投影是BC，请你画出此时同样垂直于地面的物体DE在阳光下的投影，并指出这一时刻是在上午、中午还是下午？

2、 明和小丽在操场上玩耍，小丽突然高兴地对小明说：“我踩到你的‘脑袋’了．”如图即表示此时小明和小丽的位置．

（1）请画出此时小丽在阳光下的影子；

（2）若已知小明身高为1.60m，小明和小丽之间的距离为2m，而小丽的影子长为1.75m，求小丽的身高．

【考点4  投影的有关计算】

1、如图，小王身高1.7m，他想测量一栋大楼的高度，他沿着阳光下的楼影BA由B向A走去，当他走到点C时，他的影子顶端正好与大楼的影子顶端重合，测得AC＝19.2m，BC＝0.8m，则大楼的高度为　　　　m.

2、如图所示上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲、乙同学相距1米，甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是________米．

3、一位同学想利用树影测树高，已知在某一时刻直立于地面的长1.5m的竹竿的影长为3m，但当他马上测量树影时，发现树的影子有一部分落在墙上（如图①）.经测量，留在墙上的影高CD＝1.2m，地面部分影长BD＝5.4m，求树高AB.

4、学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图所示，在同一时间，身高为1.6 m的小明(AB)的影子BC长是3m，而小颖(EH)刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB＝6m．

(1)请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；

    (2)求路灯灯泡的垂直高度GH；

    (3)如果小明沿线段BH向小颖(点H)走去，当小明走到BH中点B1处时，求其影子B1C1的长；当小明继续走剩下的路程的到B2处时，求其影子B2C2的长；当小明继续走剩下路程的到B3处时，……按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到处时，其影子的长为________m(直接用含n的代数式表示)．

【考点5  中心投影与相似】

1、如图，小欣站在灯光下，投在地面上的身影AB＝2.4m，蹲下来，则身影AC＝1.05m，已知小欣的身高AD＝1.6m，蹲下时的高度等于站立高度的一半，求灯离地面的高度PH．

【变式1-1】如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上．

（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．

（2）如果小明的身高AB＝1.6m，他的影子长AC＝1.4m，且他到路灯的距离AD＝2.1m，求灯泡的高．

【变式1-2】如图，路灯（P点）距地面9米，身高1.5米的小云从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？

【变式1-3】如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝0.8m，窗高CD＝1.2m，并测得OE＝0.8m，OF＝3m，求围墙AB的高度．

5.2  视图

5.2.1  简单图形的三视图

学习目标

1.理解视图及三视图的概念.

2.会辨别几何体的三种视图,能熟练画出几何体的三种视图.  （重点）

知识框架

知识导学

情景引入

1、问一问

问题1：观察下面图形,假如有一束平形光从正面、左面、上面照射到物体上，请分别画出不同方向的正投影图形?

问题2:怎样才能比较全面地了解物体的大小和形状，并把这些信息准确无误的进行书面表达呢？

概念学习

1、视图

从某一角度观察物体在这种正投影下的像就称为该物体的__________.

通常我们把从正面得到的视图叫做_________，从左面得到的视图叫做_________，从上面得到的视图叫做___________.

主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.
 

2.三视图之间的关系

（1）位置关系
　　一般地，把俯视图画在主视图下面，把左视图画在主视图右面，如图(1)所示.
　　　　　　　　　　　

(2)大小关系
　　主视图与俯视图的_______对正;

主视图与左视图的_______平齐;

左视图与俯视图的_______相等的原则.如图(2)所示.

2、画物体视图的方法(以图示几何体进行说明)：

从三个方面观察几何体，具体画法如下：

（1）确定主视图的位置，画出_________；
（2）在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“_________对正”；
（3）在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“_________平齐”，与俯视图“________相等”.

几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线要画成______线.
 

5.2.2  复杂的图形三视图

学习目标

1.会辨别复杂的几何体的三视图. （重点）

2.会画复杂的几何体的三视图.（重点）

3.明确三视图中实线和虚线的区别.（难点）

4.会根据物体的三视图描述出基本几何体的形状. (重点)

5. 会根据复杂的三视图判断实物原型. (难点)

知识框架

知识导学

情景引入

1、做一做

问题：请画出下面几何图形的三视图.

2、画一画

画出下图的四棱柱的三视图. 

3、连一连

下面是哪个几何体的三视图？

4、如图，分别根据三视图（1）、（2）说出立体图形的名称.

概念学习：

1、画物体视图的方法：

   在画视图时,看得见部分的轮廓要画成________，看不见部分的轮廓线要画成__________.

2、根据三视图确定几何体

由三视图想象立体图形时，要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的________、________和________，然后再综合起来考虑整体图形.

例:（1）从三个方向看立体图形，视图都是矩形，可以想象出：整体是______________，如图①所示；

（2）从正面、侧面看立体图形，视图都是等腰三角形；

     从上面看，视图是圆；可以想象出：整体是_____________，如图②所示.

练一练

【考点1 画几何体的三视图】

1、画出如图所示的几何体的三视图．

2、如图是由若干小正方体搭成的几何体，我们分别从正面看、从左面看和从上面看得到的平面图形分别是怎样的呢？请同学们尝试画一画．

3、请画出下面几何图形对应的三视图.

4、一个几何体的主视图和左视图如图所示,请补画这个几何体的俯视图.

5、一个直棱柱的主视图和俯视图如图所示.描述这个直棱柱的形状,并补画它的左视图.

6、如下图几何体，请画出这个物体的三视图.

（1）

（2）

【考点2 根据三视图确定几何体】

1、根据下面的三视图说出立体图形的名称

（1）

（2）

（3）

2、根据物体的三视图描述物体的形状.

3、根据下列物体的三视图，填出几何体的名称：

（1） 如图①所示的几何体是__________；

（2） 如图②所示的几何体是_________.

4、请根据下面提供的三视图，画出几何图形.

5、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是   (   )

A.四棱柱           B. 四棱锥         C.三棱柱      D.三棱锥

6、下列三视图所对应的实物图是                          (   )

7、    一个物体的俯视图是圆，则该物体有可能是______________.

8、    在一仓库里堆放着若干相同的正方体货箱，仓库管理员将这堆货箱的三视图     画了出来. 如下图所示，则这堆正方体货箱共有_____________箱.    

9、（1）一个几何体的主视图和左视图如图所示，请补画这个几何体的俯视图.

（2）一个直棱柱的主视图和俯视图如图所示.  描述这个直棱柱的形状,并补画它的左视图.

巩固练习

【考点1  简单几何体的三视图】

1、在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”（如图）．“阳马”的俯视图是（　　）

A． B． 

C． D．

【变式1-1】 如图所示的四棱柱的主视图为（　　）

A． B． C． D．

【变式1-2】 如图是一个空心圆柱体，它的主视图是（　　）

A． B． C． D．

【变式1-3】 在下面的四个几何体中，它们各自的主视图、左视图与俯视图都一样的是（　　）

A．圆柱 B．圆锥 C．三菱柱 D．正方体

【考点2  简单组合体的三视图】

2、如图，这个几何体的左视图正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

【变式2-1】 一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

【变式2-2】 如图所示，该物体的主视图为（　　）

A． B． 

C． D．

【变式2-3】 如图所示几何体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．

【考点3  由三视图判断几何体】

3、桌上摆放着一个由相同正方体组成的组合体，其俯视图如图所示，图中数字为该位置小正方体的个数，则这个组合体的左视图为（　　）

A． B． 

C． D．

【变式3-1】 如图所示的主视图和俯视图对应的几何体（阴影所示为右）是（　　）

A． B． C． D．

【变式3-2】 一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，其最下层放了9个小立方块，那么这个几何体的搭法共有（　　）种．

A．8种 B．9种 C．10种 D．11种

【变式5-3】（2019•齐齐哈尔）如图是由几个相同大小的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图，则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数至少为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8