高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数第1课时习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数第1课时习题，共7页。

1．下列各式中错误的是( )
A．30.8>30.7
B．lg0.50.4>lg0.50.6
C．0.75－0.1<0.750.1
D．lg 1.6>lg 1.4
解析：选C．由指数函数的性质可知，函数y＝0.75x为单调递减函数．又因为－0.1<0.1，所以0.75－0.1>
2．函数f(x)＝lg2(1－x)的图象为( )
解析：选A．函数的定义域为(－∞，1)，排除B，D项，函数f(x)＝lg2(1－x)在定义域内为减函数，排除C项，故A项正确．
3．函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数的图象过点( eq \r(a)，a)，则a的值为( )
A．2 B． eq \f(1,2)
C．2或 eq \f(1,2) D．3
解析：选B．方法一：函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数为y＝lgax(a＞0，且a≠1)，故y＝lgax的图象过点( eq \r(a)，a)，则a＝lga eq \r(a)＝ eq \f(1,2).
方法二：因为函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数的图象过点( eq \r(a)，a)，所以函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象过点(a， eq \r(a))，所以aa＝ eq \r(a)＝a eq \s\up6(\f(1,2))，即a＝ eq \f(1,2).
4．若y＝lga(3a－1)恒为正值，则a的取值范围为( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞)) B． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))
C．(1，＋∞)D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))∪(1，＋∞)
解析：选D．因为y＝lga(3a－1)恒为正值，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(01，,3a－1>1，))
解得 eq \f(1,3)1.
故选D．
5．(2020·高考全国卷Ⅲ)设a＝lg32，b＝lg53，c＝ eq \f(2,3)，则( )
A．aC．b解析：选A．因为23<32，所以2<3 eq \s\up6(\f(2,3))，所以lg3252，所以3>5 eq \s\up6(\f(2,3))，所以lg53>lg55 eq \s\up6(\f(2,3))＝ eq \f(2,3)，所以b>c，所以a6．对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)的大致图象如图所示，已知a的取值为 eq \r(3)， eq \f(4,3)， eq \f(3,5)， eq \f(1,10)，则曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次是________．
解析：当a＞1时，对数函数y＝lgax的图象是上升的；当0＜a＜1时，对数函数y＝lgax的图象是下降的．对数的底数越大，对数函数的图象在x轴上方的部分越远离y轴的正方向．故曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次是 eq \r(3)， eq \f(4,3)， eq \f(3,5)， eq \f(1,10).
答案： eq \r(3)， eq \f(4,3)， eq \f(3,5)， eq \f(1,10)
7．不等式lg2(2x＋3)＞lg2(5x－6)的解集为________．
解析：由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3＞0，,5x－6＞0，,2x＋3＞5x－6，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＞－\f(3,2)，,x＞\f(6,5)，,x＜3，))
即 eq \f(6,5)＜x＜3，故不等式的解集为{x| eq \f(6,5)＜x＜3}．
答案：{x| eq \f(6,5)＜x＜3}
8．函数y＝lga(x＋k)(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(0，0)，则函数y＝lg eq \s\d9(\f(1,a))(x－k)的图象恒过点________．
解析：由题意，得lgak＝0，所以k＝1，所以y＝lg eq \s\d9(\f(1,a))(x－k)＝lg eq \s\d9(\f(1,a))(x－1)的图象恒过点(2，0).
答案：(2，0)
9．比较下列各组数的大小．
(1)lg0.13与lg0.1π；
(2)lg45与lg65；
(3)3lg45与2lg23；
(4)lga(a＋2)与lga(a＋3)(a＞0，且a≠1).
解：(1)因为函数y＝lg0.1x是减函数，π＞3，所以lg0.13＞lg0.1π.
(2)方法一：因为函数y＝lg4x和y＝lg6x都是增函数，
所以lg45＞lg44＝1，lg65＜lg66＝1.
所以lg45＞lg65.
方法二：画出y＝lg4x和y＝lg6x在同一坐标系中的图象如图所示，由图可知lg45＞lg65.
(3)因为3lg45＝lg453＝lg4125＝ eq \f(lg2125,lg24)＝ eq \f(1,2)lg2125＝lg2 eq \r(125)，2lg23＝lg232＝lg29，
又因为函数y＝lg2x是增函数， eq \r(125)＞9，所以lg2 eq \r(125)＞lg29，即3lg45＞2lg23.
(4)因为a＋2＜a＋3，
故①当a＞1时，lga(a＋2)＜lga(a＋3)；
②当0＜a＜1时，lga(a＋2)＞lga(a＋3).
10．(1)函数y＝lg2(x－1)的图象是如何由y＝lg2x的图象变化得到的？
(2)如图，在直角坐标系中作出y＝|lg2(x－1)|的图象(不要求写作法)；
(3)设函数y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)与函数y＝|lg2(x－1)|的图象的两个交点的横坐标分别为x1，x2，设M＝(x1－2)(x2－2)，请判断M的符号．
解：(1)函数y＝lg2(x－1)的图象是由y＝lg2x的图象向右平移1个单位得到的．
(2)在直角坐标系中作出y＝|lg2(x－1)|的图象，如图所示．
(3)不妨设x1＜x2，作出y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)的图象，如图，由图知1＜x1＜2，2＜x2＜3.所以M＝(x1－2)(x2－2)＜0，故M的符号为负．
[B 能力提升]
11．(2020·高考全国卷Ⅰ)若2a＋lg2a＝4b＋2lg4b，则( )
A．a>2b B．a<2b
C．a>b2 D．a解析：选B．方法一：令f(x)＝2x＋lg2x，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝lg2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝2x＋lg2x在(0，＋∞)上单调递增．又2a＋lg2a＝4b＋2lg4b＝22b＋lg2b<22b＋lg2(2b)，所以f(a)方法二：(取特值法)由2a＋lg2a＝4b＋2lg4b＝4b＋lg2b，取b＝1，得2a＋lg2a＝4，令f(x)＝2x＋lg2x－4，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)<0，f(2)>0，所以f(1)f(2)<0，f(x)＝2x＋lg2x－4在(0，＋∞)上存在唯一的零点，所以12b＝2，a0，所以g(3)g(4)<0，g(x)＝2x＋lg2x－17在(0，＋∞)上存在唯一的零点，所以3b2＝4不成立，排除C．故选B．
12．若两个函数的图象经过平移后能够重合，则称两个函数为“同形函数”．给出下列四个函数：f1(x)＝2lg2(x＋1)，f2(x)＝lg2(x＋2)，f3(x)＝lg2x2，f4(x)＝lg2(2x)，则是“同形函数”的是( )
A．f2(x)与f4(x)
B．f1(x)与f3(x)
C．f1(x)与f4(x)
D．f3(x)与f4(x)
解析：选A．因为f4(x)＝lg2(2x)＝1＋lg2x，所以f2(x)＝lg2(x＋2)的图象沿着x轴先向右平移2个单位长度，得到y＝lg2x的图象，然后再沿y轴向上平移1个单位长度，得到f4(x)＝lg2(2x)＝1＋lg2x的图象，根据“同形函数”的定义，可知选A．
13．已知对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则不等式f(x－1)－f(x＋1)>3的解集为________．
解析：设对数函数f(x)的解析式为f(x)＝lgax(a>0，a≠1).
由对数函数的图象过点(4，－2)可得－2＝lga4，
即a－2＝4，则a＝ eq \f(1,2)或a＝－ eq \f(1,2)(舍去)，所以f(x)＝lg eq \s\d9(\f(1,2))x.
由f(x－1)－f(x＋1)>3可得f(x－1)>3＋f(x＋1)，
即lg eq \s\d9(\f(1,2))(x－1)>lg eq \s\d9(\f(1,2)) eq \f(1,8)＋lg eq \s\d9(\f(1,2))(x＋1)＝lg eq \s\d9(\f(1,2)) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,8)(x＋1))).
所以原不等式等价于 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－1>0，,x－1<\f(1,8)(x＋1)，,x＋1>0，))
解得1答案： eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(114．已知函数f(x)＝lga(x＋1)＋lga(4－x)(0＜a＜1).
(1)求f(x)的定义域；
(2)若f(t)≤lga(3t)，求实数t的取值范围．
解：(1)根据题意，函数f(x)＝lga(x＋1)＋lga(4－x)(0＜a＜1)有意义，
则满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1＞0，,4－x＞0，))
解得－1＜x＜4，所以函数f(x)的定义域为(－1，4).
(2)由(1)知，函数f(x)的定义域为(－1，4)，
且函数f(x)＝lga[(x＋1)(4－x)](0＜a＜1)，
所以由f(t)≤lga(3t)，可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1＜t＜4，,3t＞0，,(t＋1)(4－t)≥3t，))
解得0＜t≤2，所以实数t的取值范围为(0，2].
[C 拓展探究]
15．已知f(x)＝lga eq \f(2＋x,2－x)(a＞0，且a≠1).
(1)求f(x)的定义域；
(2)求使f(x)＞0成立的x的取值范围．
解：(1)由 eq \f(2＋x,2－x)＞0，得－2＜x＜2，
故f(x)的定义域为(－2，2).
(2)①当a＞1时，由lga eq \f(2＋x,2－x)＞0，得 eq \f(2＋x,2－x)＞1，所以0＜x＜2.
②当0＜a＜1时，由lga eq \f(2＋x,2－x)＞0，得0＜ eq \f(2＋x,2－x)＜1，所以－2＜x＜0.
故当a＞1时，所求x的取值范围为(0，2)；
当0＜a＜1时，所求x的取值范围为(－2，0).