高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.2 导数的运算课时练习

课后素养落实(三十四)　简单复合函数的导数

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若f(x)＝exln 2x，则f′(x)＝(　　)

A．exln 2x＋　　　 B．exln 2x－

C．exln 2x＋ D．2ex·

C　[f′(x)＝exln 2x＋ex×＝exln 2x＋．]

2．已知函数f(x)＝2ln(3x)＋8x，则 的值为(　　)

A．10 B．－10

C．－20 D．20

C　[∵f(x)＝2ln(3x)＋8x，∴f′(x)＝＋8＝8＋．根据导数定义知 ＝－2 ＝－2f′(1)＝－20．故应选C．]

3．已知f(x)＝，则f′＝(　　)

A．－2－ln 2 B．－2＋ln 2

C．2－ln 2 D．2＋ln 2

D　[依题意有f′(x)＝，

故f′＝＝2＋ln 2，所以选D．]

4．已知函数f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝xln x＋1，则曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线方程为(　　)

A．y＝－x B．y＝－x＋2

C．y＝x D．y＝x－2

A　[因为x＜0，f(x)＝f(－x)＝－xln(－x)＋1，f(－1)＝1，

f′(x)＝－ln(－x)－1，f′(－1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线方程为y－1＝－(x＋1)，即y＝－x．故选A．]

5．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为(　　)

A．1　　　　B．2　　　　C．－1　　　　D．－2

B　[设切点坐标是(x0，x0＋1)，

依题意有

由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2．]

二、填空题

6．若函数f(x)＝，则f′(x)＝________．

　[∵f(x)＝，∴f′(x)＝＝．]

7．若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．

(e，e)　[设P(x0，y0)．∵y＝xln x，

∴y′＝ln x＋x·＝1＋ln x．

∴k＝1＋ln x0．又k＝2，

∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e．

∴y0＝eln e＝e．

∴点P的坐标是(e，e)．]

8．已知P为指数函数f(x)＝ex图象上一点，Q为直线y＝x－1上一点，则线段PQ长度的最小值是________．

　[设f(x)图象上斜率为1的切线的切点是P(x0，y0)，由f′(x)＝ex，f′(x0)＝ex0＝1，x0＝0，f(0)＝1，即P(0，1)．P到直线y＝x－1的距离是d＝＝．]

三、解答题

9．求下列函数的导数：

(1)y＝a2x－3；(2)y＝x2cos；

(3)y＝e－xln x；(4)y＝．

[解]　(1)因为y＝a2x－3，

所以y′＝a2x－3ln a·(2x－3)′＝2a2x－3ln a．

(2)因为y＝x2cos，

所以y′＝2xcos＋x2

＝2xcos－x2sin

＝2xcos－2x2sin．

(3)因为y＝e－xln x，

所以y′＝(e－x)′ln x＋e－x·＝－e－xln x＋＝．

(4)因为y＝＝(1－2x)，

所以y′＝－(1－2x)×(－2)＝．

10．曲线y＝esin x在(0，1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．

[解]　∵y＝esin x，∴y′＝esin xcos x，

∴y′|x＝0＝1．

∴曲线y＝esin x在(0，1)处的切线方程为

y－1＝x，即x－y＋1＝0．

又直线l与x－y＋1＝0平行，故可设直线l为x－y＋m＝0．

由＝得m＝－1或3．

∴直线l的方程为x－y－1＝0或x－y＋3＝0．

11．(多选题)下列结论中不正确的是(　　)

A．若y＝cos，则y′＝－sin

B．若y＝sin x2，则y′＝2xcos x2

C．若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5x

D．若y＝xsin 2x，则y′＝xsin 2x

ACD　[对于A，y＝cos，则y′＝sin，故错误；

对于B，y＝sin x2，则y′＝2xcos x2，故正确；

对于C，y＝cos 5x，则y′＝－5sin 5x，故错误；对于D，y＝xsin 2x，则y′＝sin 2x＋xcos 2x，故错误．故选ACD．]

12．曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　　)

A．  B．  C．  D．1

A　[依题意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2．

曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2．在坐标系中作出直线y＝－2x＋2、y＝0与y＝x的图象，因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是，直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1，0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于×1×＝．]

13．设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0＜φ＜π)，若f′＝，则φ＝________；若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________．

或　　[f′(x)＝－sin(x＋φ)．

由条件知，f′＝－sin(π＋φ)＝sin φ＝，

∴sin φ＝，∵0＜φ＜π，∴φ＝或．

又f(x)＋f′(x)

＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)

＝2sin．

若f(x)＋f′(x)为奇函数，

则f(0)＋f′(0)＝0，

即0＝2sin，

∴φ＋＝kπ(k∈Z)．

又∵φ∈(0，π)，∴φ＝．]

14．设P是曲线y＝x－x2－ln x上的一个动点，记此曲线在P点处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．

　[由y＝x－x2－ln x，得y′＝1－x－(x＞0)，

∵1－x－＝1－≤1－2＝－1，

当且仅当x＝1时等号成立．

∴y′≤－1，即曲线在P点处的切线的斜率小于或等于－1，

∴tan θ≤－1，又θ∈[0，π)，

∴θ∈．]

15．设函数f(x)＝aexln x＋．

(1)求导函数f′(x)；

(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2，求a，b的值．

[解]　(1)由f(x)＝aexln x＋，

得f′(x)＝(aexln x)′＋′＝aexln x＋＋．

(2)由于切点既在曲线y＝f(x)上，又在切线y＝e(x－1)＋2上，

将x＝1代入切线方程得y＝2，将x＝1代入函数f(x)得f(1)＝b，∴b＝2．

将x＝1代入导函数f′(x)中，

得f′(1)＝ae＝e，∴a＝1．∴a＝1，b＝2．