数学选择性必修第一册3.3 抛物线练习

课后素养落实(十九)　抛物线的几何性质

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(　　)

A．   B．

C．   D．

B　[设点P的坐标为(a2，a)，依题意可知抛物线的准线方程为x＝－，则a2＋＝，解得a＝±，故点P的坐标为．]

2．抛物线y2＝2px过点A(2，4)，F是其焦点，又定点B(8，－8)，那么|AF|∶|BF|＝(　　)

A．1∶4   B．1∶2

C．2∶5   D．3∶8

C　[将点A(2，4)的坐标代入y2＝2px，得p＝4，

∴抛物线方程为y2＝8x， 焦点F(2，0)，已知，B(8，－8)，

∴＝＝＝．]

3．过点(2，4)的直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有(　　)

A．1条　　B．2条　　C．3条　　D．4条

B　[点(2，4)在抛物线y2＝8x上，则过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点，故选B．]

4．过点(1，0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为(　　)

A．2 B．2

C．2 D．2

B　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由题意知AB的方程为y＝－2(x－1)，

即y＝－2x＋2．

由得x2－4x＋1＝0，

∴x1＋x2＝4，x1·x2＝1．

∴|AB|＝

＝＝＝2．]

5．若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，抛物线的焦点为F，且|AF|，|BF|满足|AF|＋|BF|＝8，则k＝(　　)

A．2或－1　　B．－1　　C．2　　D．1±

C　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，

故Δ＝16(k＋2)2－16k2＝64(1＋k)＞0，解得k＞－1，且x1＋x2＝．

由|AF|＝x1＋＝x1＋2，|BF|＝x2＋＝x2＋2，且|AF|＋|BF|＝8，即x1＋2＋x2＋2＝8，得x1＋x2＝4，

所以＝4，解得k＝－1或k＝2，又k＞－1，故k＝2．]

二、填空题

6．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．

6　[因为抛物线x2＝2py的准线y＝－和双曲线－＝1相交交点横坐标为x＝±，∴由等边三角形得2×＝p，解得p＝6．]

7．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________．

(3，2)　[将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0．由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3，

∴＝＝＝2．

∴所求点的坐标为(3，2)．]

8．抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为________．

　[设与直线x－y＋4＝0平行且与抛物线y2＝4x相切的直线方程为x－y＋m＝0．

由得x2＋(2m－4)x＋m2＝0，

则Δ＝(2m－4)2－4m2＝0，解得m＝1，

即直线方程为x－y＋1＝0，

直线x－y＋4＝0与直线x－y＋1＝0的距离为d＝＝．

即抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为．]

三、解答题

9．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(2，－4)．

(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；

(2)若点B(0，2)，求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．

[解]　(1)由抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(2，－4)，

可得16＝4p，解得p＝4．

所以抛物线C的方程为y2＝8x，

其准线方程为x＝－2．

(2)①当直线l的斜率不存在时，x＝0符合题意．

②当直线l的斜率为0时，y＝2符合题意．

③当直线l的斜率存在且不为0时，

设直线l的方程为y＝kx＋2．

由得ky2－8y＋16＝0．

由Δ＝64－64k＝0，得k＝1，

故直线l的方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0．

综上直线l的方程为x＝0或y＝2或x－y＋2＝0．

10．已知抛物线C：y2＝4x，过点(－1，0)的直线与抛物线C相切，设第一象限的切点为P．

(1)求点P的坐标；

(2)若过点(2，0)的直线l与抛物线C相交于两点A，B，圆M是以线段AB为直径的圆过点P，求直线l的方程．

[解]　(1)由题意知可设过点(－1，0)的直线方程为x＝ty－1．

联立得：y2－4ty＋4＝0，

又因为直线与抛物线相切，则Δ＝0，即t＝±1．

当t＝1时，直线方程为y＝x＋1，则点P坐标为(1，2)．

(2)设直线l的方程为：x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立得：y2－4my－8＝0，则Δ＞0恒成立，

y1y2＝－8，y1＋y2＝4m，

则x1x2＝＝4，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝4m2＋4．

由于圆M是以线段AB为直径的圆过点P，则·＝0，

x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0，

4m2＋8m＋3＝0，则m＝－或m＝－．

则直线l的方程为y＝－2x＋4或y＝－x＋．

11．(多选题)经过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列说法中正确的是(　　)

A．当AB与x轴垂直时，|AB|最小

B．＋＝

C．以弦AB为直径的圆与直线x＝－相离

D．y1y2＝－p2

ABD　[过抛物线焦点的直线与抛物线相交，其主要结论有：当AB与x轴垂直时，|AB|最小，∴A正确；＋＝，∴B正确；y1y2＝－p2，∴D正确；以AB为直径的圆与准线x＝－相切，∴C错误，故选ABD．]

12．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为(　　)

A．－　　B．　　C．±　　D．

A　[将y＝1代入y2＝4x，得x＝，即A，由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点F(1，0)，所以直线AB的斜率为＝－，故选A．]

13．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6．则抛物线C的方程为________；若抛物线C与直线y＝kx－2相交于不同的两点A，B，且AB中点横坐标为2，则k＝________．

y2＝8x　2　[由题意设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，其准线方程为x＝－，根据定义可得4＋＝6，所以p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x．由消去y，得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0．

由k≠0，Δ＝64(k＋1)>0，解得k>－1且k≠0．

又＝＝2，

解得k＝2或k＝－1(舍去)，所以k的值为2．]

14．设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC＝120°，则圆的方程为________．

(x＋1)2＋(y－)2＝1　[由y2＝4x可得点F的坐标为(1，0)，准线l的方程为x＝－1．

由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，可得点C的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO＝90°．又因为∠FAC＝120°，所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝，所以点C的纵坐标为．

所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1．]

15．如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3．

(1)求抛物线E的方程；

(2)已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．

[解]　(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋．

由已知|AF|＝3，得2＋＝3，解得p＝2．

所以抛物线E的方程为y2＝4x．

(2)证明：法一：因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2，

由抛物线的对称性，不妨设A(2，2)．

由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．

由

得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝，

从而B．又G(－1，0)，

所以kGA＝＝，kGB＝＝－，

所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，

故以F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．

法二：设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r．

因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2)．

由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．

由

得2x2－5x＋2＝0，

解得x＝2或x＝，

从而B．

又G(－1，0)，故直线GA的方程为2x－3y＋2＝0，

从而r＝＝．

又直线GB的方程为2x＋3y＋2＝0，

所以点F到直线GB的距离d＝＝＝r．

这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．