高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第二节函数的单调性与最值课时规范练含解析文北师大版

第二章　函数、导数及其应用

第二节　函数的单调性与最值

课时规范练

A组——基础对点练

1．下列函数既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)

A．y＝x3　　　　　　　　 B．y＝x

C．y＝|x|  D．y＝|tan x|

解析：对于A，y＝x3为奇函数，不符合题意；对于B，y＝x是非奇非偶函数，不符合题意；对于D，y＝|tan x|是偶函数，但在区间(0，＋∞)上不单调递增．故选C.

答案：C

2．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)

A．f(x)＝3－x  B．f(x)＝x2－3x

C．f(x)＝－  D．f(x)＝－|x|

答案：C

3．(2020·天津模拟)若函数f(x)满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”，则f(x)的解析式可以是(　　)

A．f(x)＝(x－1)2  B．f(x)＝ex

C．f(x)＝  D．f(x)＝ln(x＋1)

解析：根据条件知，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．

对于A，f(x)＝(x－1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A；

对于B，f(x)＝ex在(0，＋∞)上单调递增，排除B；

对于C，f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，C正确；

对于D，f(x)＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D.

答案：C

4．函数f(x)＝的单调增区间是(　　)

A．(－∞，1)

B．(1，＋∞)

C．(－∞，1)，(1，＋∞)

D．(－∞，－1)，(1，＋∞)

解析：f(x)＝＝－1＋，

所以f(x)的图像是由y＝－的图像沿x轴向右平移1个单位，然后沿y轴向下平移一个单位得到，而y＝－的单调增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)；

所以f(x)的单调增区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．故选C.

答案：C

5．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：当a＝0时，f(x)＝2x－3，满足．

当a≠0时，若f(x)在(－∞，4)上单调递增，则解得0＞a≥－.综上得－≤a≤0.故选D.

答案：D

6．(2020·福州模拟)函数f(x)＝，(a＞0且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是(　　)

A．(0，1)  B．

C.  D．

解析：∵，∴≤a＜1.

答案：B

7．设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是(　　)

A．y＝在R上为减函数

B．y＝|f(x)|在R上为增函数

C．y＝－在R上为增函数

D．y＝－f(x)在R上为减函数

解析：A错，如f(x)＝x3，则y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在定义域上无单调性；B错，如f(x)＝x3，则y＝|f(x)|在R上无单调性；C错，如f(x)＝x3，则y＝－的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在定义域上无单调性．故选D.

答案：D

8．(2020·宣城第二次调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是减函数，则有(　　)

A．f＜f＜f

B．f＜f＜f

C．f＜f＜f

D．f＜f＜f

解析：因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周期为4，作出f(x)的草图，如图，由图可知，f＜f＜f，选C.

答案：C

9．(2020·石家庄调研)函数f(x)＝()x－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________．

解析：由于y＝()x在R上单调递减，y＝－log2(x＋2)在[－1，1]上单调递减，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝()－1－log2(－1＋2)＝3.

答案：3

10．函数f(x)＝x＋的值域为________．

解析：由2x－1≥0可得x≥，

∴函数的定义域为，

又函数f(x)＝x＋在上单调递增，

∴当x＝时，函数取最小值f＝，

∴函数f(x)的值域为.

答案：

B组——素养提升练

11．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0)(x1≠x2)，都有＜0.则下列结论正确的是(　　)

A．f(0.32)＜f(20.3)＜f(log25)

B．f(log25)＜f(20.3)＜f(0.32)

C．f(log25)＜f(0.32)＜f(20.3)

D．f(0.32)＜f(log25)＜f(20.3)

解析：∵对任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有＜0，

∴f(x)在(－∞，0)上是减函数．

又∵f(x)是R上的偶函数，

∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

∵0＜0.32＜20.3＜log25，

∴f(0.32)＜f(20.3)＜f(log25)．故选A.

答案：A

12．定义在[－2，2]上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的取值范围为(　　)

A．[－1，2)  B．[0，2)

C．[0，1)  D．[－1，1)

解析：函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，∴函数在[－2，2]上单调递增，

∴∴

∴0≤a＜1，故选C.

答案：C

13．设函数f(x)＝的最小值为－1，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－2，＋∞)  B．(－2，＋∞)

C．[－，＋∞)  D．(－，＋∞)

解析：当x≥时，f(x)＝4x－3≥2－3＝－1，

当x＝时，f(x)取得最小值－1；

当x＜时，f(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1，

即有f(x)在(－∞，)上递减，

则有f(x)＞f()＝a－，

由题意可得a－≥－1，解得a≥－.

答案：C

14．已知定义在R上的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且f(x＋1)是偶函数，不等式f(m＋2)≥f(x－1)对任意的x∈[－1，0]恒成立，则实数m的取值范围是(　　)

A．[－3，1]

B．[－4，2]

C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)

D．(－∞，－4]∪[2，＋∞)

解析：因为f(x＋1)是偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，所以f(x)的图像关于x＝1对称，由f(m＋2)≥f(x－1)得|(m＋2)－1|≤|(x－1)－1|，所以根据题意得|m＋1|≤2，解得－3≤m≤1.故选A.

答案：A

15．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________．

解析：由f(x)＝，可得函数f(x)的单调递增区间为，故3＝－，解得a＝－6.

答案：－6

16．已知函数f(x)＝x＋(x≠0，a∈R)，若函数f(x)在(－∞，－2]上单调递增，则实数a的取值范围是__________．

解析：设x1<x2≤－2，则Δy＝f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)

＝.

因为x1－x2<0，x1x2>0，所以要使Δy＝<0恒成立，只需使x1x2－a>0恒成立，即a<x1x2恒成立．

因为x1<x2≤－2，所以x1x2>4，所以a≤4，故函数f(x)在(－∞，－2]上单调递增时，实数a的取值范围是(－∞，4]．

答案：(－∞，4]