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北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.1 条件概率的概念课时作业
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这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.1 条件概率的概念课时作业，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第六章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.将一颗质地均匀的骰子掷两次,不能作为随机变量的是( )
A.第一次出现的点数
B.第二次出现的点数
C.两次出现点数之和
D.两次出现相同点的种数
答案D
解析由于两次出现相同点的种数是定值6,故不是随机变量.
2.已知离散型随机变量ξ的概率分布列如下:
ξ
1
3
5
P
0.5
m
0.2
则数学期望Eξ等于( )
A.1 B.0.6
C.2+3m D.2.4
答案D
解析由题意得m=1-0.5-0.2=0.3,所以Eξ=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4,故选D.
3.某同学通过计算机测试的概率为13,他连续测试3次,其中恰有1次通过的概率为( )
A.49 B.29 C.427 D.227
答案A
解析连续测试3次,其中恰有1次通过的概率为P=C31131-132=49.
4.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=13,k=1,2,3,则D(3X+5)等于( )
A.6 B.9 C.3 D.4
答案A
解析EX=1×13+2×13+3×13=2,
所以DX=13×[(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2]=23,所以D(3X+5)=9DX=9×23=6.
5.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.84,则P(ξ<0)=( )
A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84
答案A
解析因为P(ξ≤4)=0.84,μ=2,所以P(ξ<0)=P(ξ>4)=1-0.84=0.16.故选A.
6.若随机变量ξ的分布列如下表所示,则p1=( )
ξ
-1
2
4
P
15
23
p1
A.0 B.215 C.115 D.1
答案B
解析因为所有随机变量对应概率的和为1,所以,15+23+p1=1,解得p1=215,故选B.
7.一批型号相同的产品,有2件次品,5件正品,每次抽一件测试,将2件次品全部区分出后停止,假定抽后不放回,则第5次测试后停止的概率是( )
A.121 B.521 C.1021 D.2021
答案B
解析P=27×56×45×34×13+57×26×45×34×13+57×46×25×34×13+57×46×35×24×13+57×46×35×24×13=521.
8.设0
0
a
1
P
13
13
13
则当a在(0,1)内增大时,( )
A.DX增大
B.DX减小
C.DX先增大后减小
D.DX先减小后增大
答案D
解析由分布列得EX=1+a3,则DX=1+a3-02×13+1+a3-a2×13+1+a3-12×13=29a-122+16,所以当a在(0,1)内增大时,DX先减小后增大.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.下列说法正确的是( )
A.若X~N(0,9),则其正态曲线的对称轴是y轴
B.正态分布N(μ,σ2)的图象位于x轴上方
C.所有的随机现象都服从或近似服从正态分布
D.函数f(x)=12πe-x22(x∈R)的图象是一条两头低、中间高,关于y轴对称的曲线
答案ABD
解析并不是所有的随机现象都服从或近似服从正态分布,还有其他分布.
10.口袋中有n个白球,3个红球,依次从口袋中任取一球,若取到红球,则继续取球,且取出的红球不放回;若取到白球,则停止取球.记取球的次数为X,若P(X=2)=730,则下列结论正确的是( )
A.n=7 B.P(X=3)=7120
C.EX=118 D.DX=12
答案ABC
解析由P(X=2)=730,得C31Cn1Cn+31Cn+21=730,即3n(n+3)(n+2)=730,整理得90n=7(n+2)(n+3),解得n=7n=67舍去.所以X的所有可能取值为1,2,3,4,P(X=1)=C71C101=710,P(X=3)=C31C21C71C101C91C81=7120,P(X=4)=C31C21C11C71C101C91C81C71=1120,所以EX=1×710+2×730+3×7120+4×1120=118,DX=1-1182×710+2-1182×730+3-1182×7120+4-1182×1120=77192.
11.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),则下列结论正确的是( )
A.P(|ξ|-a)(a>0)
B.P(|ξ|0)
C.P(|ξ|0)
D.P(|ξ|a)(a>0)
答案BD
解析因为P(|ξ|a)=P(ξa)=1,
所以P(|ξ|a)(a>0),所以D正确.
12.甲、乙两人练习射击,命中目标的概率分别为12和13,甲、乙两人各射击一次,下列说法正确的是( )
A.目标恰好被命中一次的概率为12+13
B.目标恰好被命中两次的概率为12×13
C.目标被命中的概率为12×23+12×13
D.目标被命中的概率为1-12×23
答案BD
解析设“甲射击一次命中目标”为事件A,“乙射击一次命中目标”为事件B,显然,A,B相互独立,则目标恰好被命中一次的概率为P(AB∪AB)=P(AB)+P(AB)=12×23+12×13=12,故A不正确;目标恰好被命中两次的概率为P(AB)=P(A)P(B)=12×13,故B正确;目标被命中的概率为P(AB∪AB∪AB)=P(AB)+P(AB)+P(AB)=12×23+12×13+12×13或1-P(AB)=1-P(A)P(B)=1-12×23,故C不正确,D正确.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.将两枚质地均匀的骰子各掷一次,设事件A表示“两个点数互不相同”,B表示“出现一个5点”,则P(B|A)= .
答案13
解析出现点数互不相同的共有n(A)=6×5=30种,出现一个5点共有n(AB)=5×2=10种,所以P(B|A)=n(AB)n(A)=13.
14.已知有一匀速转动的圆盘,其中心有一个固定的小目标M,甲、乙两人站在距离圆盘边缘2 m处的地方向圆盘中心抛掷小圆环,他们抛掷的小圆环能套上小目标M的概率分别为14与15,现甲、乙两人分别用小圆环向圆盘中心各抛掷一次,则小目标M被套上的概率为 .
答案25
解析小目标M被套上包括甲抛掷的小圆环套上、乙抛掷的小圆环没有套上;乙抛掷的小圆环套上、甲抛掷的小圆环没有套上;甲、乙抛掷的小圆环都套上,所以小目标M被套上的概率为14×1-15+1-14×15+14×15=25.
15.(2019课标全国Ⅰ,理15)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是 .
答案0.18
解析前五场中有一场客场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108;
前五场中有一场主场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.6×2×0.52×0.6=0.072.
综上所述,甲队以4∶1获胜的概率是0.108+0.072=0.18.
16.5张彩票中仅有1张中奖彩票,5个人依次摸奖,则第二个人摸到中奖彩票的概率为 ,第三个人摸到中奖彩票的概率为 .
答案15 15
解析记“第i个人抽中中奖彩票”为事件Ai,显然P(A1)=15,而P(A2)=P[A2(A1∪A1)]=P(A2A1)+P(A2A1)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1)P(A2|A1)=15×0+45×14=15,P(A3)=P[A3(A1A2∪A1A2∪A1A2∪A1A2)]=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=0+0+0+P(A3A1A2)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)=45×34×13=15.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.
(1)求三种粽子各取到1个的概率;
(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.
解(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)=C21C31C51C103=14.
(2)X的所有可能取值为0,1,2,P(X=0)=C83C103=715,P(X=1)=C21C82C103=715,P(X=2)=C22C81C103=115.
综上,X的分布列为
X
0
1
2
P
715
715
115
故EX=0×715+1×715+2×115=35.
18.(12分)某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为12,第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为710,若前两次均未打破,第三次落下时打破的概率为910,求透镜落下三次未打破的概率.
解以Ai,i=1,2,3表示事件“透镜落下第i次时打破”,以B表示事件“透镜落下三次未打破”,
因为B=A1A2A3,所以P(B)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)
=1-12×1-710×1-910=3200.
19.(12分)某企业准备招聘一批大学生到本单位就业,但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试.在待测试的某一个小组中有男、女生共10人(其中女生人数多于男生人数),如果从中随机选2人参加测试,其中恰为一男一女的概率为815;
(1)求该小组中女生的人数;
(2)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言,每个女生通过的概率均为34,每个男生通过的概率均为23;现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试,记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望.
解(1)设该小组中有n个女生,
根据题意,得Cn1C10-n1C102=815,
解得n=6或n=4(舍去),
∴该小组中有6个女生.
(2)由题意,ξ的取值为0,1,2,3,
P(ξ=0)=13×13×14=136,
P(ξ=1)=C21×23×13×14+132×34=736,
P(ξ=2)=C21×23×13×34+232×14=1636=49,
P(ξ=3)=232×34=13,
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
136
736
49
13
Eξ=0×136+1×736+2×49+3×13=2512.
20.(12分)(2019天津,理16)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;
(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.
解(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为23,故X~B3,23,从而P(X=k)=C3k23k133-k,k=0,1,2,3.
所以,随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
127
29
49
827
随机变量X的数学期望EX=3×23=2.
(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则Y~B3,23,且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}.由题意知事件{X=3,Y=1}与{X=2,Y=0}互斥,且事件{X=3}与{Y=1},事件{X=2}与{Y=0}均相互独立,从而由(1)知P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P({X=3,Y=1})+P({X=2,Y=0})=P({X=3})P({Y=1})+P({X=2})P({Y=0})=827×29+49×127=20243.
21.(12分)某市对高三期末考试中的数学成绩进行统计,统计结果显示,全市10 000名学生的数学成绩X服从正态分布N(120,25).在某校随机抽取了50名学生的数学成绩进行分析,这50名学生的成绩全部介于85分到145分之间,将结果按如下方式分为6组,第一组[85,95),第二组[95,105),……,第六组[135,145],得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试估计此次考试该校数学的平均成绩;
(2)从这50名学生中成绩在125分及以上的学生中任意抽取3人,把这3人中在全市数学成绩排名前13的人数记为Y,求Y的分布列和期望.
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ
所以估计此次考试该校数学的平均成绩为90×0.1+100×0.24+110×0.3+120×0.16+130×0.12+140×0.08=112(分).
(2)由题意,得P(120-3×5
根据题中频率分布直方图,可知这50人中成绩在135分及以上的有50×0.08=4(人),而成绩在[125,145]内的学生有50×(0.12+0.08)=10(人),
所以Y的所有可能取值为0,1,2,3.
所以P(Y=0)=C63C103=16,
P(Y=1)=C62C41C103=12,
P(Y=2)=C61C42C103=310,
P(Y=3)=C43C103=130.
所以Y的分布列为
Y
0
1
2
3
P
16
12
310
130
期望EY=0×16+1×12+2×310+3×130=65.
22.(12分)在某市举办的“中华文化艺术节”知识大赛中,大赛分预赛与复赛两个环节,预赛有4 000人参赛.先从预赛学生中随机抽取100人的成绩得到如下频率分布直方图.
(1)若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人,求至少1人成绩不低于80分的概率;
(2)由频率分布直方图可以认为该市全体参加预赛的学生成绩Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可以近似为100名学生的预赛平均成绩,σ2=362,试估计全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数;
(3)预赛成绩不低于91分的学生可以参加复赛,复赛规则如下:①每人复赛初始分均为100分;②参赛学生可在开始答题前自行选择答题数量n(n>1),每答一题需要扣掉一定分数来获取答题资格,规定回答第k(k=1,2,…,n)题时扣掉0.2k分;③每答对一题加2分,答错既不加分也不扣分;④答完n题后参赛学生最后分数即为复赛分数.已知学生甲答对每题的概率为0.75,且各题答对与否相互独立,若甲期望得到最佳复赛成绩,则他的答题数量n应为多少?
参考数据:362≈19,若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ
(2)由题意知样本中100名学生成绩的平均分为10×0.1+30×0.2+50×0.3+70×0.25+90×0.15=53,
所以μ=53,σ2=362,所以σ≈19,
所以Z~N(53,362),则P(Z≥91)=P(Z≥μ+2σ)≈12(1-0.9544)=0.0228,
故全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数为0.0228×4000≈91(人).
(3)以随机变量ξ表示甲答对的题数,则ξ~B(n,0.75),且Eξ=0.75n,记甲答完n题所加的分数为随机变量X,则X=2ξ,
所以EX=2Eξ=1.5n.
依题意为了获取答n题的资格,甲需要扣掉的分数为0.2×(1+2+3+…+n)=0.1(n2+n),
设甲答完n题的分数为M(n),则M(n)=100-0.1(n2+n)+1.5n=-0.1(n-7)2+104.9,由于n∈N+,∴当n=7时,M(n)取最大值104.9,即复赛成绩的最大值为104.9.
所以若学生甲期望获得最佳复赛成绩,则他的答题量n应该是7.
第六章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.将一颗质地均匀的骰子掷两次,不能作为随机变量的是( )
A.第一次出现的点数
B.第二次出现的点数
C.两次出现点数之和
D.两次出现相同点的种数
答案D
解析由于两次出现相同点的种数是定值6,故不是随机变量.
2.已知离散型随机变量ξ的概率分布列如下:
ξ
1
3
5
P
0.5
m
0.2
则数学期望Eξ等于( )
A.1 B.0.6
C.2+3m D.2.4
答案D
解析由题意得m=1-0.5-0.2=0.3,所以Eξ=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4,故选D.
3.某同学通过计算机测试的概率为13,他连续测试3次,其中恰有1次通过的概率为( )
A.49 B.29 C.427 D.227
答案A
解析连续测试3次,其中恰有1次通过的概率为P=C31131-132=49.
4.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=13,k=1,2,3,则D(3X+5)等于( )
A.6 B.9 C.3 D.4
答案A
解析EX=1×13+2×13+3×13=2,
所以DX=13×[(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2]=23,所以D(3X+5)=9DX=9×23=6.
5.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.84,则P(ξ<0)=( )
A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84
答案A
解析因为P(ξ≤4)=0.84,μ=2,所以P(ξ<0)=P(ξ>4)=1-0.84=0.16.故选A.
6.若随机变量ξ的分布列如下表所示,则p1=( )
ξ
-1
2
4
P
15
23
p1
A.0 B.215 C.115 D.1
答案B
解析因为所有随机变量对应概率的和为1,所以,15+23+p1=1,解得p1=215,故选B.
7.一批型号相同的产品,有2件次品,5件正品,每次抽一件测试,将2件次品全部区分出后停止,假定抽后不放回,则第5次测试后停止的概率是( )
A.121 B.521 C.1021 D.2021
答案B
解析P=27×56×45×34×13+57×26×45×34×13+57×46×25×34×13+57×46×35×24×13+57×46×35×24×13=521.
8.设0
0
a
1
P
13
13
13
则当a在(0,1)内增大时,( )
A.DX增大
B.DX减小
C.DX先增大后减小
D.DX先减小后增大
答案D
解析由分布列得EX=1+a3,则DX=1+a3-02×13+1+a3-a2×13+1+a3-12×13=29a-122+16,所以当a在(0,1)内增大时,DX先减小后增大.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.下列说法正确的是( )
A.若X~N(0,9),则其正态曲线的对称轴是y轴
B.正态分布N(μ,σ2)的图象位于x轴上方
C.所有的随机现象都服从或近似服从正态分布
D.函数f(x)=12πe-x22(x∈R)的图象是一条两头低、中间高,关于y轴对称的曲线
答案ABD
解析并不是所有的随机现象都服从或近似服从正态分布,还有其他分布.
10.口袋中有n个白球,3个红球,依次从口袋中任取一球,若取到红球,则继续取球,且取出的红球不放回;若取到白球,则停止取球.记取球的次数为X,若P(X=2)=730,则下列结论正确的是( )
A.n=7 B.P(X=3)=7120
C.EX=118 D.DX=12
答案ABC
解析由P(X=2)=730,得C31Cn1Cn+31Cn+21=730,即3n(n+3)(n+2)=730,整理得90n=7(n+2)(n+3),解得n=7n=67舍去.所以X的所有可能取值为1,2,3,4,P(X=1)=C71C101=710,P(X=3)=C31C21C71C101C91C81=7120,P(X=4)=C31C21C11C71C101C91C81C71=1120,所以EX=1×710+2×730+3×7120+4×1120=118,DX=1-1182×710+2-1182×730+3-1182×7120+4-1182×1120=77192.
11.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),则下列结论正确的是( )
A.P(|ξ|
B.P(|ξ|
C.P(|ξ|
D.P(|ξ|
答案BD
解析因为P(|ξ|
所以P(|ξ|
12.甲、乙两人练习射击,命中目标的概率分别为12和13,甲、乙两人各射击一次,下列说法正确的是( )
A.目标恰好被命中一次的概率为12+13
B.目标恰好被命中两次的概率为12×13
C.目标被命中的概率为12×23+12×13
D.目标被命中的概率为1-12×23
答案BD
解析设“甲射击一次命中目标”为事件A,“乙射击一次命中目标”为事件B,显然,A,B相互独立,则目标恰好被命中一次的概率为P(AB∪AB)=P(AB)+P(AB)=12×23+12×13=12,故A不正确;目标恰好被命中两次的概率为P(AB)=P(A)P(B)=12×13,故B正确;目标被命中的概率为P(AB∪AB∪AB)=P(AB)+P(AB)+P(AB)=12×23+12×13+12×13或1-P(AB)=1-P(A)P(B)=1-12×23,故C不正确,D正确.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.将两枚质地均匀的骰子各掷一次,设事件A表示“两个点数互不相同”,B表示“出现一个5点”,则P(B|A)= .
答案13
解析出现点数互不相同的共有n(A)=6×5=30种,出现一个5点共有n(AB)=5×2=10种,所以P(B|A)=n(AB)n(A)=13.
14.已知有一匀速转动的圆盘,其中心有一个固定的小目标M,甲、乙两人站在距离圆盘边缘2 m处的地方向圆盘中心抛掷小圆环,他们抛掷的小圆环能套上小目标M的概率分别为14与15,现甲、乙两人分别用小圆环向圆盘中心各抛掷一次,则小目标M被套上的概率为 .
答案25
解析小目标M被套上包括甲抛掷的小圆环套上、乙抛掷的小圆环没有套上;乙抛掷的小圆环套上、甲抛掷的小圆环没有套上;甲、乙抛掷的小圆环都套上,所以小目标M被套上的概率为14×1-15+1-14×15+14×15=25.
15.(2019课标全国Ⅰ,理15)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是 .
答案0.18
解析前五场中有一场客场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108;
前五场中有一场主场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.6×2×0.52×0.6=0.072.
综上所述,甲队以4∶1获胜的概率是0.108+0.072=0.18.
16.5张彩票中仅有1张中奖彩票,5个人依次摸奖,则第二个人摸到中奖彩票的概率为 ,第三个人摸到中奖彩票的概率为 .
答案15 15
解析记“第i个人抽中中奖彩票”为事件Ai,显然P(A1)=15,而P(A2)=P[A2(A1∪A1)]=P(A2A1)+P(A2A1)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1)P(A2|A1)=15×0+45×14=15,P(A3)=P[A3(A1A2∪A1A2∪A1A2∪A1A2)]=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=0+0+0+P(A3A1A2)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)=45×34×13=15.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.
(1)求三种粽子各取到1个的概率;
(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.
解(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)=C21C31C51C103=14.
(2)X的所有可能取值为0,1,2,P(X=0)=C83C103=715,P(X=1)=C21C82C103=715,P(X=2)=C22C81C103=115.
综上,X的分布列为
X
0
1
2
P
715
715
115
故EX=0×715+1×715+2×115=35.
18.(12分)某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为12,第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为710,若前两次均未打破,第三次落下时打破的概率为910,求透镜落下三次未打破的概率.
解以Ai,i=1,2,3表示事件“透镜落下第i次时打破”,以B表示事件“透镜落下三次未打破”,
因为B=A1A2A3,所以P(B)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)
=1-12×1-710×1-910=3200.
19.(12分)某企业准备招聘一批大学生到本单位就业,但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试.在待测试的某一个小组中有男、女生共10人(其中女生人数多于男生人数),如果从中随机选2人参加测试,其中恰为一男一女的概率为815;
(1)求该小组中女生的人数;
(2)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言,每个女生通过的概率均为34,每个男生通过的概率均为23;现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试,记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望.
解(1)设该小组中有n个女生,
根据题意,得Cn1C10-n1C102=815,
解得n=6或n=4(舍去),
∴该小组中有6个女生.
(2)由题意,ξ的取值为0,1,2,3,
P(ξ=0)=13×13×14=136,
P(ξ=1)=C21×23×13×14+132×34=736,
P(ξ=2)=C21×23×13×34+232×14=1636=49,
P(ξ=3)=232×34=13,
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
136
736
49
13
Eξ=0×136+1×736+2×49+3×13=2512.
20.(12分)(2019天津,理16)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;
(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.
解(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为23,故X~B3,23,从而P(X=k)=C3k23k133-k,k=0,1,2,3.
所以,随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
127
29
49
827
随机变量X的数学期望EX=3×23=2.
(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则Y~B3,23,且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}.由题意知事件{X=3,Y=1}与{X=2,Y=0}互斥,且事件{X=3}与{Y=1},事件{X=2}与{Y=0}均相互独立,从而由(1)知P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P({X=3,Y=1})+P({X=2,Y=0})=P({X=3})P({Y=1})+P({X=2})P({Y=0})=827×29+49×127=20243.
21.(12分)某市对高三期末考试中的数学成绩进行统计,统计结果显示,全市10 000名学生的数学成绩X服从正态分布N(120,25).在某校随机抽取了50名学生的数学成绩进行分析,这50名学生的成绩全部介于85分到145分之间,将结果按如下方式分为6组,第一组[85,95),第二组[95,105),……,第六组[135,145],得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试估计此次考试该校数学的平均成绩;
(2)从这50名学生中成绩在125分及以上的学生中任意抽取3人,把这3人中在全市数学成绩排名前13的人数记为Y,求Y的分布列和期望.
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ
所以估计此次考试该校数学的平均成绩为90×0.1+100×0.24+110×0.3+120×0.16+130×0.12+140×0.08=112(分).
(2)由题意,得P(120-3×5
根据题中频率分布直方图,可知这50人中成绩在135分及以上的有50×0.08=4(人),而成绩在[125,145]内的学生有50×(0.12+0.08)=10(人),
所以Y的所有可能取值为0,1,2,3.
所以P(Y=0)=C63C103=16,
P(Y=1)=C62C41C103=12,
P(Y=2)=C61C42C103=310,
P(Y=3)=C43C103=130.
所以Y的分布列为
Y
0
1
2
3
P
16
12
310
130
期望EY=0×16+1×12+2×310+3×130=65.
22.(12分)在某市举办的“中华文化艺术节”知识大赛中,大赛分预赛与复赛两个环节,预赛有4 000人参赛.先从预赛学生中随机抽取100人的成绩得到如下频率分布直方图.
(1)若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人,求至少1人成绩不低于80分的概率;
(2)由频率分布直方图可以认为该市全体参加预赛的学生成绩Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可以近似为100名学生的预赛平均成绩,σ2=362,试估计全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数;
(3)预赛成绩不低于91分的学生可以参加复赛,复赛规则如下:①每人复赛初始分均为100分;②参赛学生可在开始答题前自行选择答题数量n(n>1),每答一题需要扣掉一定分数来获取答题资格,规定回答第k(k=1,2,…,n)题时扣掉0.2k分;③每答对一题加2分,答错既不加分也不扣分;④答完n题后参赛学生最后分数即为复赛分数.已知学生甲答对每题的概率为0.75,且各题答对与否相互独立,若甲期望得到最佳复赛成绩,则他的答题数量n应为多少?
参考数据:362≈19,若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ
(2)由题意知样本中100名学生成绩的平均分为10×0.1+30×0.2+50×0.3+70×0.25+90×0.15=53,
所以μ=53,σ2=362,所以σ≈19,
所以Z~N(53,362),则P(Z≥91)=P(Z≥μ+2σ)≈12(1-0.9544)=0.0228,
故全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数为0.0228×4000≈91(人).
(3)以随机变量ξ表示甲答对的题数,则ξ~B(n,0.75),且Eξ=0.75n,记甲答完n题所加的分数为随机变量X,则X=2ξ,
所以EX=2Eξ=1.5n.
依题意为了获取答n题的资格,甲需要扣掉的分数为0.2×(1+2+3+…+n)=0.1(n2+n),
设甲答完n题的分数为M(n),则M(n)=100-0.1(n2+n)+1.5n=-0.1(n-7)2+104.9,由于n∈N+,∴当n=7时,M(n)取最大值104.9,即复赛成绩的最大值为104.9.
所以若学生甲期望获得最佳复赛成绩,则他的答题量n应该是7.
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