高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第二节一元二次不等式及其解法课时规范练理含解析新人教版

一元二次不等式及其解法

[A组　基础对点练]

1．不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为，则ab的值为(　　)

A．5     B．6

C．7     D．8

解析：由不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为，可知a＜0，

且不等式对应的方程ax2＋bx＋1＝0的两根分别为－1，，

由根与系数的关系，可知

解得所以ab＝6.故选B.

答案：B

2．函数f(x)＝的定义域是(　　)

A．(－∞，1)∪(3，＋∞)     B．(1，3)

C．(－∞，2)∪(2，＋∞)     D．(1，2)∪(2，3)

解析：由题意得－x2＋4x－3＞0，即x2－4x＋3＜0，所以1＜x＜3.又ln (－x2＋4x－3)≠0，即－x2＋4x－3≠1，所以x2－4x＋4≠0，所以x≠2.故函数定义域为(1，2)∪(2，3).

答案：D

3．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则(　　)

A．a>0，4a＋b＝0     B．a<0，4a＋b＝0

C．a>0，2a＋b＝0     D．a<0，2a＋b＝0

解析：∵f(0)＝f(4)>f(1)，

∴c＝16a＋4b＋c>a＋b＋c，

∴16a＋4b＝0，即4a＋b＝0，

且15a＋3b>0，即5a＋b>0，

而5a＋b＝a＋4a＋b，∴a>0.

答案：A

4．(2020·四川蓉城名校高三第一次联考)已知a＝4cos ，b＝3sin ，c＝3cos ，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．c＜a＜b     B．b＜c＜a

C．b＜a＜c     D．a＜c＜b

解析：因为＝＝tan ＜tan ＝1，且b＝3sin ＞0，c＝3cos ＞0，所以b＜c；设f(x)＝cos  x，x∈，则f′(x)＝－cos x－sin x＝－(cos x＋sin x)＜0，x∈，所以函数f(x)在(0，)上单调递减，所以f＜f，即3cos ＜4cos ，即c＜a，所以b＜c＜a.

答案：B

5．不等式ax2－2x－a＋1＜0对满足|a|≤1的一切实数a都成立，则实数x的取值范围是________．

解析：由|a|≤1，得－1≤a≤1，不等式变形为(x2－1)a－(2x－1)＜0，不等式可以看成关于a的一次函数，所以只需即解得－1＜x＜2.

答案：(－1，2)

6．已知关于x的不等式ax2＋2x＋c>0的解集为，则不等式－cx2＋2x－a>0的解集为__________．

解析：依题意知，解得a＝－12，c＝2，∴不等式－cx2＋2x－a>0，即为－2x2＋2x＋12>0，即x2－x－6<0，解得－2<x<3，∴不等式的解集为(－2，3).

答案：(－2，3)

7．若关于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．

解析：因为不等式4x－2x＋1－a≥0在[1，2]上恒成立，

所以4x－2x＋1≥a在[1，2]上恒成立．

令y＝4x－2x＋1＝(2x)2－2·2x＋1－1＝(2x－1)2－1.

因为1≤x≤2，所以2≤2x≤4.

由二次函数的性质可知，当2x＝2，即x＝1时，y取得最小值0，

所以实数a的取值范围为(－∞，0].

答案：(－∞，0]

[B组　素养提升练]

1．已知下列不等式：①x2－4x＋3＜0；②x2－6x＋8＜0；③2x2－9x＋a＜0，且使不等式①②成立的x也满足③，则实数a的取值范围是(　　)

A．a≥     B．a≤10

C．a≤9     D．a≥－4

解析：联立①②得即解得2＜x＜3，所以2＜x＜3也满足③2x2－9x＋a＜0，所以③的解集非空且(2，3)是③的解集的子集．令f(x)＝2x2－9x＋a，即当2＜x＜3时，f(x)max＜0，又f(x)的对称轴为x＝.由f(x)＝2x2－9x＋a＜0，得f(2)＝8－18＋a≤0，且f(3)＝18－27＋a≤0，解得a≤9.

答案：C

2．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x.那么，不等式f(x＋2)＜5的解集是________．

解析：当x≥0时，f(x)＝x2－4x<5的解集为[0，5)，又f(x)为偶函数，所以f(x)<5的解集为(－5，5)，所以f(x＋2)<5的解集为(－7，3).

答案：(－7，3)

3．已知函数f(x)＝的定义域为R.

(1)求a的取值范围；

(2)若函数f(x)的最小值为，解关于x的不等式x2－x－a2－a＜0.

解析：(1)因为函数f(x)＝的定义域为R，所以ax2＋2ax＋1≥0恒成立，

当a＝0时，1≥0恒成立．

当a≠0时，则有解得0＜a≤1.

综上可知，a的取值范围是[0，1].

(2)因为f(x)＝ ＝ ，

因为a＞0，所以当x＝－1时，f(x)min＝，

由题意得＝，所以a＝，

所以不等式x2－x－a2－a＜0可化为

x2－x－＜0.

解得－＜x＜，

所以不等式的解集为.

4．已知关于x的不等式(a－2)x2＋(a－2)x＋1≥0恒成立，求a的取值范围．

解析：①当a－2＝0，即a＝2时，不等式转化为1≥0，它恒成立，满足条件．

②当a－2≠0，即a≠2时，原不等式等价于

即

解得所以2＜a≤6.

综上，a的取值范围为[2，6].