高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第五节函数y＝Asinωx＋φ的图象性质及应用课时规范练理含解析新人教版

函数y＝A sin （ωx＋φ）的图象性质及应用

[A组　基础对点练]

1．(2021·广东深圳模拟)为了得到函数y＝cos 2x的图象，只要将函数y＝sin 2x的图象(　　)

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

解析：y＝cos 2x＝sin ＝sin 2，故只需将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度即可得到y＝cos 2x的图象．

答案：A

2．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是(　　)

A．y＝cos      B．y＝sin

C．y＝sin 2x＋cos 2x     D．y＝sin x＋cos x

解析：采用验证法．由y＝cos ＝－sin 2x，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数．

答案：A

3．(2020·山东德州模拟)若函数y＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则ω等于(　　)

A．5     B．4

C．3     D．2

解析：由题图可知＝x0＋－x0＝，即T＝＝，故ω＝4.

答案：B

4．将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝f(x)·cos x的图象，则f(x)的表达式可以是(　　)

A．f(x)＝－2sin x

B．f(x)＝2sin x

C．f(x)＝sin 2x

D．f(x)＝(sin 2x＋cos 2x)

解析：将y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度后得y＝cos ＝－sin 2x＝－2sin x cos x的图象，所以f(x)＝－2sin x.

答案：A

5．若函数y＝cos ωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度后与函数y＝sin ωx的图象重合，则ω的值可能是(　　)

A．     B．1

C．3     D．4

解析：依题意得，函数y＝cos ωx＝sin 的图象向右平移个单位长度后得到的曲线对应的解析式是y＝sin ＝sin ＝sin ωx，因此有－＋＝－2kπ，k∈Z，即ω＝12k＋3，其中k∈Z，于是结合各选项知ω的值可能是3.

答案：C

6．将函数y＝cos 的图象向右平移个单位长度后所得图象的一条对称轴的方程是(　　)

A．x＝     B．x＝

C．x＝     D．x＝

解析：将函数y＝cos 的图象向右平移个单位长度后所得图象的函数解析式为y＝cos [－2]＝cos ＝cos .因为函数在图象的对称轴处取得最值，经检验x＝符合．

答案：A

7．已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin ，则下面结论正确的是(　　)

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

解析：易知C1：y＝cos x＝sin ，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝sin 的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin ＝sin 的图象，即曲线C2.

答案：D

8．方程sin πx＝x的解的个数是________．

解析：如图所示，在x≥0时，有4个交点，根据奇偶性，所以方程sin πx＝x的解有7个．

答案：7

9．函数f(x)＝cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的图象的对称中心坐标为________．

解析：由题中图象知函数f(x)的周期为2×＝3，其中一个对称中心坐标为，即，所以f(x)的图象的对称中心为(k∈Z).

答案：(k∈Z)

10．已知函数f(x)＝A tan (ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f＝________．

解析：由题中图象可知，此函数的半个周期等于－＝，即最小正周期为，

所以ω＝2.由题意可知，图象过定点，

所以0＝A tan ，

即＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k∈Z)，

又|φ|＜，所以φ＝.

又图象过定点(0，1)，所以A＝1.

综上可知，f(x)＝tan ，

故有f＝tan ＝tan ＝.

答案：

11．将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得图象关于y轴对称，求m的最小值．

解析：将函数y＝cos x＋sin x＝2cos 的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得图象的函数解析式为y＝2cos .因为所得的函数图象关于y轴对称，所以m－＝kπ(k∈N)，即m＝kπ＋(k∈N)，所以m的最小值为.

12．(2021·云南师大附中调研)若函数f(x)＝sin ωx－cos ωx，ω>0，x∈R，又f(x1)＝2，f(x2)＝0，且|x1－x2|的最小值为，求ω的值．

解析：由题意知f(x)＝2sin ，设函数f(x)的最小正周期为T，因为f(x1)＝2，f(x2)＝0，所以|x1－x2|的最小值为＝，所以T＝6π，所以ω＝.

[B组　素养提升练]

1．函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，点P、Q、R在f(x)的图象上，坐标分别为(－1，－A)，(1，0)，(x0，0)，△PQR是以PR为底边的等腰三角形，将函数f(x)的图象向右平移5个单位长度后得到函数g(x)的图象，则关于g(x)的说法中不正确的是(　　)

A．g(x)是偶函数

B．g(x)在区间[0，4]上是减函数

C．g(x)的图象关于直线x＝2对称

D．g(x)在[－1，3]上的最小值为－

解析：由题意知＝2，所以T＝8，所以＝8，ω＝，作PH⊥x轴于点H(图略)，则QH＝2，又因为PQ＝QR＝4，所以A＝2.因为f(x)的图象过Q(1，0)，所以2sin ＝0.因为|φ|＜，所以φ＝－，

所以f(x)＝2sin .

易知g(x)＝f(x－5)＝2cos x，易知选项ABD正确，选项C错误．

答案：C

2．将函数f(x)＝sin ωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度，所得图象关于直线x＝对称，则ω的最小值是________．

解析：将函数f(x)＝sin ωx的图象向右平移个单位长度，可得到函数f(x)＝sin ＝sin 的图象．因为所得图象关于直线x＝对称，所以ω·－＝＋kπ，k∈Z，即ω＝－－3k，k∈Z.因为ω>0，所以当k＝－1时，ω取得最小值.

答案：

3．设f(x)＝sin x(sin x＋cos x)＋2cos2x.

(1)求函数f(x)的最大值与最小正周期；

(2)求使不等式f(x)≥成立的x的取值集合．

解析：f(x)＝sin2x＋sinx cos x＋2cos2x

＝＋sin2x＋cos 2x

＝sin ＋.

(1)当sin ＝1时，f(x)max＝＋.

T＝＝π.

(2)令sin ＋≥，

∴sin ≥0.

由正弦函数图象(图略)可知2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z.

解得kπ－≤x≤kπ＋π，k∈Z，

∴x的取值集合为.

4．已知函数f(x)＝2sin ωx，其中常数ω＞0.

(1)若y＝f(x)在上单调递增，求ω的取值范围；

(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象．求函数y＝g(x)的解析式，并用“五点法”作出该函数在一个周期内的图象．

解析：(1)∵ω＞0且函数f(x)在上单调递增，

则解得0＜ω≤，

∴ω的取值范围为.

(2)当ω＝2时，f(x)＝2sin 2x向左平移个单位长度，可得y＝2sin 2的图象，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)＝2sin ＋1的图象．

即函数y＝g(x)的解析式为y＝g(x)＝2sin ＋1.列表如下：

作图：