2022年高考数学一轮复习考点练习22《平面向量的数量积及应用》(含答案详解)

一轮复习考点练习22《平面向量的数量积及应用》

一、选择题

1.设向量a，b满足|a|=1，|a－b|=，a·(a－b)=0，则|2a＋b|=(　　)

A.2　　　        B.2         C.4           D.4

2.已知向量a=(，1)，b=(0,1)，c=(k，).若a＋2b与c垂直，则k=(　　)

A.－3　　        B.－2          C.1        D.－1

3.若平面向量a=(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|=3　，则b的坐标为(　　)

A.(3，－6)        B.(－3,6)         C.(6，－3)        D.(－6,3)

4.已知a=(cos α，sin α)，b=(cos(－α)，sin(－α))，那么a·b=0是α=kπ＋(k∈Z)的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.已知平面向量a，b的夹角为，且|a|=1，|b|=，则|a－2b|=(　　)

A.        B.1        C.2        D.

6.已知非零向量a，b满足a·b=0，|a|=3，且a与a＋b的夹角为，则|b|=(　　)

A.6        B.3         C.2        D.3

7.已知平面向量a=(－2,3)，b=(1,2)，向量λa＋b与b垂直，则实数λ的值为(　　)

A.        B.－      C.        D.－

8.若|a|=2，|b|=4，且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角为(　　)

A.        B.       C.        D.－

9.在△ABC中，若A=120°，·=－1，则||的最小值是(　　)

A.        B.2       C.        D.6

10.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)=0，

则|c|的最大值是(　　)

A.1        B.2        C.        D.

11.设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，且⊥，则(－)·(－)的最大值是(　　)

A.1＋        B.1－     C.－1        D.1

12.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足=2a，=2a＋b，则下列结论正确的是(　　)

A.|b|=1        B.a⊥b       C.a·b=1        D.(4a＋b)⊥

二、填空题

13.已知向量a=(m,2)，b=(2，－1)，且a⊥b，则的值为________.

14.如图，在△ABC中，∠ABC=120°，BA=4，BC=2，D是AC边上一点，且=－，

则·=________.

15.在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，

且满足=，则·的取值范围是________.

16.如图在等腰三角形ABC中，已知|AB|=|AC|=1，∠A=120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且=λ，=μ，其中λ，μ∈(0,1)，且λ＋4μ=1.若线段EF，BC的中点分别为M，N，则||的最小值为________.

0.答案解析

1.答案为：B

解析：由a·(a－b)=0，可得a·b=a2=1，由|a－b|=，可得(a－b)2=3，

即a2－2a·b＋b2=3，解得b2=4.所以(2a＋b)2=4a2＋4a·b＋b2=12，所以|2a＋b|=2.

2.答案为：A

解析：因为a＋2b与c垂直，所以(a＋2b)·c=0，即a·c＋2b·c=0，

所以k＋＋2=0，解得k=－3.

3.答案为：A

解析：由题意设b=λa=(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b|=3，

则=3，所以λ=－3，b=(3，－6).故选A.

4.答案为：B；

解析：a·b=cos α·cos(－α)＋sin α·sin(－α)=cos2α－sin2α=cos 2α，

若a·b=0，则cos 2α=0，∴2α=2kπ±(k∈Z)，解得α=kπ±(k∈Z).

∴a·b=0是α=kπ＋(k∈Z)的必要不充分条件.故选B.

5.答案为：B；

解析：∵|a－2b|2=|a|2＋4|b|2－4a·b=1＋1－1=1，∴|a－2b|=1.故选B.

6.答案为：D；

解析：因为a·(a＋b)=a2＋a·b=|a||a＋b|cos ，所以|a＋b|=3，

将|a＋b|=3两边平方可得，a2＋2a·b＋b2=18，解得|b|=3，故选D.

7.答案为：D；

解析：因为a=(－2,3)，b=(1,2)，向量λa＋b与b垂直，

所以(－2λ＋1,3λ＋2)·(1,2)=－2λ＋1＋2(3λ＋2)=4λ＋5=0，解得λ=－.故选D.

8.答案为：A；

解析：∵(a＋b)⊥a，∴(a＋b)·a=a2＋a·b=0，

∴a·b=－4，cos〈a，b〉===－，∴〈a，b〉=，故选A.

9.答案为：C；

解析：∵·=－1，∴||·||·cos 120°=－1，即||·||=2，

∴||2=|－|2=2－2·＋2≥2||·||－2·=6，∴||min=.

10.答案为：C；

解析：设a=(1,0)，b=(0,1)，c=(x，y)，则

(a－c)·(b－c)=0，即(1－x，－y)·(－x,1－y)=0，

整理得(x－)2＋(y－)2=，这是一个圆心坐标为(,)，半径为的圆，

所求的值等价于这个圆上的点到坐标原点的最大距离.根据图形可知，

这个最大距离是，即所求的最大值为.

11.答案为：A；

解析：如图，作出，使得＋=，

则(－)·(－)=2－·－·＋·

=1－(＋)·=1－·，

由图可知，当点C在OD的反向延长线与圆O的交点处时，·取得最小值，

最小值为－，此时(－)·(－)取得最大值，最大值为1＋，故选A.

12.答案为：D；

解析：因为=－=(2a＋b)－2a=b，所以|b|=2，故A错误；

由于·=2a·(2a＋b)=4|a|2＋2a·b=4＋2×1×2×=2，

所以2a·b=2－4|a|2=－2，所以a·b=－1，故B，C错误；

又因为(4a＋b)·=(4a＋b)·b=4a·b＋|b|2=4×(－1)＋4=0，所以(4a＋b)⊥.

13.答案为：1.

解析：∵a⊥b，∴2m－2=0，∴m=1，则2a－b=(0,5)，a＋b=(3,1)，

∴a·(a＋b)=1×3＋2×1=5，|2a－b|=5，∴==1.

14.答案为：－4.

解析：根据题意得·=·(－)

=·－×16＋×4－·=－·－

=－×4×2×cos 120°－=－4.

15.答案为：[1,4].

解析：由题意设BM=k，CN=2k(0≤k≤1)，由=＋，=＋知，

·=(＋)·(＋)=·＋·＋·＋·=·＋·

=4－3k，又0≤k≤1，所以1≤4－3k≤4，故·的取值范围是[1,4].

16.答案为：.

解析：连接AM，AN，由·=||||cos =－，=(＋)=(λ＋μ)，

=(＋)，=－=(1－λ)＋(1－μ)，

||2=[(1－λ)2－(1－λ)(1－μ)＋(1－μ)2]

=(1－λ)2－(1－λ)(1－μ)＋(1－μ)2，

由λ＋4μ=1⇒1－λ=4μ，可得||2=μ2－μ＋，

∵λ，μ∈(0,1)，∴当μ=时，||2取最小值，||的最小值为，

∴||的最小值为.