北师大版必修44.1任意角的正弦函数、余弦函数的定义教案

  1.4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义

一、教学目标：

知识与技能：

（1）回忆锐角的正弦函数定义；（2）熟练运用锐角正弦函数的性质；

（3）理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义；

（4）掌握任意角的正弦函数的定义；

过程与方法：

初中所学的正弦函数，是通过直角三角形中给出定义的；由于我们已将角推广到任意角的情况，而且一般都是把角放在平面直角坐标系中，这样一来，我们就在直角坐标系中来找直角三角形，从而引出单位圆；利用单位圆的独特性，是高中数学中的一种重要方法，在第二节课的正弦函数图像，以及在后面的正弦函数的性质中都有直接的应用；讲解例题，总结方法，巩固练习。

情感、态度与价值：

通过本节的学习，使同学们对正弦函数的概念有了一个新的认识；在由锐角的正弦函数推广到任意角的正弦函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力。

二、教学重点、难点

重点：借助单位圆理解三角函数的定义；利用三角函数的定义求函数值．[来源:学.科.网Z.X.X.K]

难点：利用角的终边上的点的坐标刻画三角函数；三角函数的符号以及三角函数线的几何意义．

三、教学模式与教法、学法

教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．

四、教学过程

 （一）、情境导学

我们学习角的概念的推广和弧度制，就是为了学习三角函数。请同学们回忆（1）角的概念的推广及弧度制、象限角等概念；（2）初中所学的正弦函数是如何定义的？并想一想它有哪些性质？学生思考回答以后，教师小结。（板书课题）

（二）、探究新知                                        

在初中，我们学习了锐角α的正弦函数值：sinα＝，如图：sinA＝，由于a是直角边，c是斜边，所sinA∈(0，1)。由于我们通常都是将角放到平面直角坐标系中，我们来看看会发生什么？

在直角坐标系中，（如图所示），设角α（α∈（0，））的终边与半经为r的圆交于点P（a，b），则角α的正弦值是：sinα＝.根据相似三角形的知识可知，对于确定的角α，都不会随圆的半经的改变而改变。为简单起见，令r＝1(即为单位圆)，那么sinα＝b，也就是说，若角α的终边与单位圆相交于P，则点P的纵坐标b就是角α的正弦函数。

    直角三角形显然不能包含所有的角，那么，我们可以仿照锐角正弦函数的定义．你认为该如何定义任意角的正弦函数?

一般地，在直角坐标系中（如上图），对任意角α，它的终边与单位圆交于点P（a，b），我们可以唯一确定点P（a，b）的纵坐标b，所以P点的纵坐标b是角α的函数，称为正弦函数，记作y＝sinα(α∈R)。通常我们用x，y分别表示自变量与因变量，将正弦函数表示为y＝sinx.正弦函数值有时也叫正弦值.

    请同学们画图，并利用正弦函数的定义比较说明：角与角的终边与单位圆的交点的纵坐标有什么关系？它们的正弦值有什么关系？角和角呢？－角和角呢？－角和－角呢？

sin=sin=        

           sin=-sin=-y

Sin(-)=sin()=y                                 sin(-)=sin(-)=y

通过上述问题的讨论，容易得到：终边相同的角的正弦函数值相等，即

sin(2kπ＋α)＝sinα (k∈Z)，说明对于任意一个角α，每增加2π的整数倍，其正弦函数值不变。所以，正弦函数是随角的变化而周期性变化的，正弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z，k≠0）为正弦函数的周期。

2π是正弦函数的正周期中最小的一个，称为最小正周期。一般地，对于周期函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期。

（三）巩固深化，发展思维

1．     课本P17的思考与交流。 

2.  课本P18的练习。

3．若点P(—3，y)是α终边上一点，且sinα＝—，求y值．【】

4．若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在函数y＝—3x (x≤0)

的图像上，则sinα＝              。【】

五、小结

（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？

（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？

六、作业

1.课时检测