数学华师大版1. 矩形的性质学案

这是一份数学华师大版1. 矩形的性质学案，共5页。学案主要包含了知识链接，新知预习等内容，欢迎下载使用。

1.矩形的性质
学习目标：1.理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别与联系；
2.探索并证明矩形的特殊性质，会用矩形的性质解决简单的问题.
自主学习
一、知识链接
1.平行四边形的定义是什么？它有哪些性质？
2．用四根木条做的平行四边形有稳定性吗？
二、新知预习
1.如图，用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在桌面上轻轻地拉动点D，你会发现什么?
问题1：无论∠D如何变化，四边形ABCD还是平行四边形吗？

问题2：当∠D为直角时，四边形ABCD变成了一个怎样的四边形？

于是有矩形定义：有一个角是 的平行四边形是矩形，矩形是特殊的 .
问题3.矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还有什么特殊的性质？
【对称性】：矩形既中心对称图形，又是 图形；
【 边 】：矩形的对边平行且相等；
【 角 】：矩形的对角相等，且四个角都是 ；
【对角线】：矩形的对角线 且相互平分.
合作探究
一、探究过程
探究点1：矩形的性质定理1,2
问题1：如图,四边形ABCD是矩形,∠B=90°.
求证： ∠B=∠C=∠D=∠A=90°.
证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴∠B____∠D,∠C____∠A, AB____DC.
∴∠B+∠C=_____°.
又∵∠B = 90°,∴∠C =____°.
∴∠B=∠C=∠D=∠A =_____°.
问题2：如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O.求证：AC=DB.
证明：∵四边形ABCD是矩形,∴AB____DC,∠ABC=∠DCB=_____°,
在△ABC和△DCB中,
∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC= CB,∴△ABC____△DCB.
∴AC____DB.
【要点归纳】矩形的性质定理：1.矩形的四个角都是_______.2.矩形的对角线________.
几何语言描述：在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O，则
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°，AC=DB（延伸：OA=OB =OC=OD=AC=BD）.
例1 如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形周长的和是86 cm，矩形的对角线长是13 cm，那么该矩形的周长是多少？
【针对训练】1.已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4 cm，求矩形对角线的长．
分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求．
探究点2：矩形的性质与其他知识的综合运用
例2如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，BE⊥AC，垂足为点E.试求BE的长．
例3如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分线段BO，垂足为点E，BD＝15 cm.求AC、AB的长．

二、课堂小结
当堂检测
1.矩形具有，而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对角线相等 B.对边相等
C.对角相等 D.对角线互相平分
2.如图，在矩形ABCD中，对角线交于点O，若AB=6，AD=8，则AC＝_____ ，OB=_____.
3.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两对角线所夹锐角度数为 .
4.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_________.
5．已知：如图，E为矩形ABCD内一点，且EB=EC.求证：EA=ED.
6. 已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数．
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.解：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
性质：(1)平行四边形的对边相等；(2) 平行四边形的对角相等；(3)平行四边形的对角线互相平分.
2. 没有稳定性.
二、新知预习
1.解：问题1：四边形ABCD还是平行四边形.
问题2：四边形ABCD变成了一个长方形，即矩形.
直角 平行四边形
问题3：轴对称 90° 相等
合作探究
一、探究过程
探究点1：
问题1：= = ∥ 180 90 90
问题2：= 90 ≌ =
【要点归纳】直角 相等
【典例精析】
例1 解：∵△AOB、△BOC、△COD和△AOD四个小三角形周长的和为86 cm，
∴AB＋BC＋CD＋DA＋2(OA＋OB＋OC＋OD)＝AB＋BC＋CD＋DA＋2(AC＋BD)＝86，
又∵AC＝BD＝13，∴AB＋BC＋CD＋DA＝86－2(AC＋BD)＝86－4×13＝34(cm)，
即矩形ABCD的周长等于34 cm.
【针对训练】1.解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC与BD相等且互相平分，∴OA＝OB，
又∠AOB＝60°，∴△OAB是等边三角形.∴矩形的对角线长AC＝BD＝2OA＝2AB=2×4＝8(cm)．
例2 解：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∴AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝eq \r(32＋42)＝eq \r(25)＝5.
又∵S△ABC＝eq \f(1,2)AB·BC＝eq \f(1,2)AC·BE，∴BE＝eq \f(AB·BC,AC)＝eq \f(3×4,5)＝2.4.
例3解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝15.∴AO＝eq \f(1,2)AC＝7.5.∵AE垂直平分BO，∴AB＝AO＝7.5.
即AC的长为15 cm，AB的长为7.5 cm.
二、课堂小结
1.直角 2.相等
当堂检测
1. A 2. 10 5 3. 80° 4.
5. 证明：在矩形ABCD中，AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°.∵EB=EC，∴∠EBC=∠ECB.∴∠ABE=∠DCE.
∴△ABE≌△DCE(SAS). ∴EA=ED.
6. 解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=90°，AC=BD,AO=BO.∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°.∴△AOB为等边三角形，∠BAO=∠ABO=60°，AB=AO=BO.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=45°，
即△ABE为等腰直角三角形，∠BEA=45°，AB=BE.∴BO=BE.∴∠BOE=∠BEO.在△BOE中，
∠OBE=90°-60°=30°，∴∠BEO=∠BOE=75°.∴∠AEO=∠BEO-∠BEA=75°-45°=30°.
矩行的性质定理
1.矩形的四个角都是_______.2.矩形的对角线________.
解题策略
结合等腰（边）三角形、勾股定理等知识解题