高中数学北师大版 (2019)必修 第二册5.2 平面与平面垂直第1课时学案

5．2　平面与平面垂直

第1课时　平面与平面垂直的性质

知识点1　二面角

1.二面角与平面几何中的角有什么区别？

[提示]　平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图形；二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．

1.从空间一点P向二面角α­l­β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α­l­β的平面角的大小是(　　)

A.60°     B．120°

C.60°或120°     D．不确定

C　[如图所示，过PE，PF作一个平面γ与二面角α­l­β的棱交于点O，连接OE，OF.

因为PE⊥α，PF⊥β，所以PE⊥l，PF⊥l，

所以l⊥平面γ，所以l⊥OE，l⊥OF，

则∠EOF为α­l­β的平面角，且它与∠EPF相等或互补，

故二面角α­l­β的平面角的大小为60°或120°，故选C.]

知识点2　平面与平面垂直

(1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作：α⊥β．

(2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如图所示．

知识点3　平面与平面垂直的性质定理

2.已知两个平面垂直时，可以得到哪些垂直关系？

[提示]　已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．

2.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)二面角的平面角所确定的平面与二面角的棱垂直． (　　)

(2)对于确定的二面角而言，平面角的大小与顶点在棱上的位置有关．

  (　　)

(3)已知平面α⊥β，α∩β＝a，若b⊥a，则b⊥α或b⊥β. (　　)

[提示]　(1)正确．由线面垂直的判定定理及二面角平面角的定理可知其正确．

(2)错误．平面角的大小与顶点在棱上的位置无关．

(3)错误．

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×

类型1　二面角及其平面角的概念

【例1】　下列命题中：

①两个相交平面组成的图形叫作二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是(　　)

A．①③　　 B．②④

C．③④     D．①②

B　[由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，所以①不对，实质上它共有四个二面角；由a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③不对；由定义知④正确．故选B.]

二面角概念的注意点

(1)要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致．

(2)要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面内的角的联系与区别．

(3)可利用实物模型，作图帮助判断．

1．若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角(　　)

A．相等     B．互补

C．相等或互补     D．关系无法确定

D　[如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角H­DG­F的大小不确定．]

类型2　求二面角的大小

【例2】　(教材北师版P234例9改编)四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.

求二面角B­PC­D的平面角的度数．

1.求二面角的步骤是什么？

[提示]　(1)作出二面角的平面角；(2)证明该角为平面角；(3)将二面角的平面角置于一个三角形中求其大小．

2.把二面角的平面角置于某个三角形内求其大小时，常用到什么方法？

[提示]　若该三角形是直角三角形，可利用三角函数的定义确定一个三角函数值，进而求其大小；若该三角形不是直角三角形，则利用余弦定理求其余弦值的大小，进而求出平面角的大小．

3.→→

→

[解]　作BE⊥PC于E，连接DE，BD，且BD与AC交于点O，连接EO，如图．

由题意知△PBC≌△PDC，则∠BPE＝∠DPE，从而△PBE≌△PDE.

∴∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE.

∴∠BED为二面角B­PC­D的平面角．

∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，

∴PA⊥BC.

又AB⊥BC，PA∩AB＝A，

∴BC⊥平面PAB，

又PB⊂平面PAB，

∴BC⊥PB.

设AB＝a，则BE＝＝a，BD＝a.

∴sin ∠BEO＝＝.

∴∠BEO＝60°，

∴∠BED＝120°.

∴二面角B­PC­D的平面角的度数为120°.

求二面角的三种方法

(1)定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线．

(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角．

(3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法．

2．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，求此时二面角B­AD­C的大小．

[解]　由已知BD＝2CD，翻折后，

在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，

而AD⊥BD，CD⊥AD，

故∠BDC是二面角B­AD­C的平面角，其大小为60°.

类型3　平面与平面垂直的性质定理及应用

【例3】　如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.

(1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD；

(2)求证：AD⊥PB.

[证明]　(1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，

由已知∠DAB＝60°，

∴△ABD为正三角形，

∵G是AD的中点，

∴BG⊥AD.

∵平面PAD⊥平面ABCD，

且平面PAD∩平面ABCD＝AD，

∴BG⊥平面PAD.

(2)如图，连接PG.

∵△PAD是正三角形，G是AD的中点，

∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD.

又∵PG∩BG＝G.

∴AD⊥平面PBG.

而PB⊂平面PBG，

∴AD⊥PB.

平面与平面垂直的性质定理应用的注意点

若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．

3.已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.

[证明]　如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，

∵平面PAC⊥平面PBC，AD⊂平面PAC，平面PAC∩平面PBC＝PC，且AD⊥PC，

∴AD⊥平面PBC，

又BC⊂平面PBC，

∴AD⊥BC.

∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴PA⊥BC，

∵AD∩PA＝A，

∴BC⊥平面PAC，

又AC⊂平面PAC，

∴BC⊥AC.

1．两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面(　　)

A．垂直　　　 B．平行

C．相交但不垂直  D．以上都有可能

D　[两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面可能垂直，平行，也可能相交但不垂直．]

2．在二面角α­l­β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α­l­β的平面角，则必须具有的条件是(　　)

A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂β

B．AO⊥l，BO⊥l

C．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂β

D．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β

D　[由二面角的平面角的定义可知选D.]

3．设平面α⊥平面β，若平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则(　　)

A．直线a必垂直于平面β

B．直线b必垂直于平面α

C．直线a不一定垂直于平面β

D．过a的平面与过b的平面垂直

C　[当两个平面垂直时，在一个平面内只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面．]

4．(多选题)已知平面α⊥平面β，则下列命题中真命题的个数是(　　)

A．α内的任意直线必垂直于β内的无数条直线

B．在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线

C．α内的任意一条直线必垂直于β

D．过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α

AB　[对于选项A，设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线，为真命题；对于选项B，β内垂直于α与β交线的直线垂直于平面α，则它垂直于α内的任意直线，为真命题；对于选项C, α内不与交线垂直的直线不垂直于β，为假命题；对于选项D，垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直，否则不垂直，为假命题．]

5．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．

平行　[由题意知n⊥α，而m⊥α，∴m∥n.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.求二面角大小的步骤是什么？

[提示]　求二面角大小的步骤,

简称为“一作二证三求”．

2.面面垂直的性质定理体现了怎样的数学思想？

[提示]　面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想．