高中数学苏教版 (2019)必修 第一册3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式教案

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式教案，共7页。

教材首先由我们初中熟悉的一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的密切联系引入。
强调了两点：一、借助函数的图形，可以解一元二次方程。二、通过求解方程可以深入理解函数的性质。
1. 会求函数的零点，并判断零点所在区间.
2. 掌握图象法解一元二次方程.
1：解下列方程：
； ②； ③.
2：填空
来
源
类似探究“一次函数、一元一次方程”两者之间的关系的做法，我们能不能将一元二次函数与一元二次方程联系起来找到其求解方法呢?
典例剖析
题型一 一元二次方程的解法
例1已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是1,则它的另一个根是( )
A. -3B. 3C. -2D. 2
【答案】C
【解析】设方程x2+kx-2=0的另一个根是a,
由韦达定理可得：1×a=-2,
即a=-2,
故选C．
变式：若x1,x2是方程2x2-4x+1=0的两个根,则x1x2+x2x1的值为( )
A. 6B. 4C. 3D. 32
【答案】A
【解析】由题意可得,x1+x2=2,x1x2=12,
∴x1x2+x2x1 = x1+x22-2x1x2x1x2=4-112=6．
故选A．
例2已知二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=3,且ax2+bx+c=0有两个实数根x1,x2,
则x1+x2等于( )
A. 0B. 3C. 6D. 不能确定
【答案】C
【解析】因为二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=3,
一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1,x2,
所以x1+x2=3×2=6,
故选C．
变式：函数y=(x2-2x-3)(x2-2x+3)零点的个数为_____________．
【答案】2
【解析】由函数的零点与方程根的关系,
f(x)=(x2-2x-3)(x2-2x+3)的图象与x轴的交点个数,
即为方程(x2-2x-3)(x2-2x+3)=0根的个数,
一元二次方程x2-2x-3=0有两根,一元二次方程x2-2x+3=0无根,
故(x2-2x-3)(x2-2x+3)=0有两根,
从而f(x)=(x2-2x-3)(x2-2x+3)的图象与x轴的交点个数为2．
故答案为2．
题型二 由函数的零点求参数的值
例3．若二次函数y＝x2＋ax＋b的两个零点分别是2和3，则2a＋b的值为________．
解析：据题意，2+3=－a，23= b
解之得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－5，,b＝6.))
∴2a＋b＝－4.
答案：－4
变式：若关于x的二次方程x2+mx+4m2-3=0的两个零点分别为x1,x2,且满足x1+x2=x1x2,则m的值为______
【答案】34
【解析】根据题意,二次方程x2+mx+4m2-3=0的两个实数根分别为x1,x2,
则有△=m2-4(4m2-3)≥0,变形可得m2≤45,
则x1+x2=-m,x1x2=(4m2-3),
若x1+x2=x1x2,则有-m=4m2-3,
解可得：m=-1或34,
又由m2≤45,
则m=34；
故答案为34．
例4若二次函数y=x2+(p-2)x-21的图像与x轴的交点为A(α,0),B(β,0),与y轴的交点为C．
(1)若α2+β2=51,求p的值.
(2)若的面积为105,求p的值．
【解析】(1)由题意,令x2+(p-2)x-21=0,
所以方程有两个不同的实根,
易知α,β为方程x2+(p-2)x-21=0的两个实根,
则α+β=2-pαβ=-21,
∴α2+β2=(α+β)2-2αβ=51,
∴(2-p)2+42=51,解得p=-1或p=5；
即p的值为-1或5；
(2)C(0,-21),,
∴|α-β|=10,
∴(α+β)2-4αβ=100,
∴(2-p)2+84=100, 解得p1=-2,p2=6．
即p的值为-2或6．
题型三 由函数的零点求参数的范围
例5.已知α，β(α<β)是函数y＝(x－a)(x－b)＋2(aA.a<α<β【答案】 A
【解析】 设g(x)＝(x－a)(x－b)，
则g(x)向上平移2个单位长度得到y＝(x－a)(x－b)＋2的图象，
由图易知a<α<β变式：已知二次函数f(x)=x2+mx-3的两个零点为1和n,则n=________；
若f(a)≤f(3),则a的取值范围是________．
【答案】-3,[-5,3]
【解析】∵二次函数f(x)=x2+mx-3的两个零点为1和n,
∴1和n为方程x2+mx-3=0的两个根,
由韦达定理得1×n=-3,即n=-3．
∴二次函数f(x)=x2+mx-3的两个零点为1和-3,
∴对称轴为x=-m2=-1, ∴m=2,
∴二次函数f(x)=x2+2x-3,f(3)=0=f(-5),
由f(a)≤f(3),结合二次函数的图像得-5≤a≤3,
故答案为：-3,[-5,3]．
例6.一元二次方程x2-5x+1-m=0的两根均大于2,则实数m的取值范围是( )
A. -214,+∞B. -∞,-5C. -214,-5D. -214,-5
【答案】C
【解析】设方程的两根为x1,x2,
方程x2-5x+1-m=0的两根均大于2,
则x1-2>0,x2-2>0,
∴Δ≥0x1+x2-4>0x1-2x2-2>0,即25-41-m≥05-4>01-m-2×5+4>0,
解得-214≤m<-5,
∴实数m的取值范围是[-214,-5)．故选C．
例7.已知集合A={x|ax2-3x+2=0,a∈R}．
(1)若A是空集,求a的取值范围；
(2)若A中只有一个元素,求a的值,并将这个元素写出来；
(3)若A中至多有一个元素,求a的取值范围．
【解析】(1)若A是空集,
则方程ax2-3x+2=0无解
此时△=9-8a<0 即a>98;
(2)若A中只有一个元素,
则方程ax2-3x+2=0有且只有一个实根,
当a=0时方程为一元一次方程,满足条件
当a≠0,此时△=9-8a=0,解得：a=98
∴a=0或a=98
若a=0,则有A={23}, 若a=98,则有A={43}；
(3)若A中至多只有一个元素,
则A为空集,或有且只有一个元素
由(1),(2)得满足条件的a的取值范围是：a=0或a≥98
本节通过画图，看图，分析图，小组讨论列出表格深化知识，抽象概括进行教学，让每个学生动手，动口，动脑，积极参与，提高教学效率和教学质量，使学生进一步理解数形结合和从特殊到一般的思想方法。
不足之处是:有少部分学生对函数与方程之间的关系有点费解。通过了解发现:这部分同学对二次函数和方程的关系不熟悉，也就是数学基础不扎实，还有就是数形结合能力差，也就是不能建立数与形之间的联系。基于此我认为要让此类学生先从基础傲起，一点一点提高，在教学设计上要分层次，从易到难，符合学生接受知识的常规思路。这是一个循序渐进的过程。课程目标
学科素养
A. 正确理解函数零点的概念.
B. 理解一元二次方程与二次函数的关系.
C. 掌握图象法解一元二次方程.
1.数学抽象 函数零点概念的理解.
2.直观想象 掌握图象法解一元二次方程.
3.数学运算 函数零点的计算.
a>0
a<0
一次函数
的图象
一元一次方程
的根



二次函数
（）的图象
一元二次方程

二次函数
（）的零点