数学必修 第一册7.3 三角函数的图象和性质教案

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三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与坐标轴的交点等性质；
教学重点：通过正弦曲线、余弦曲线这两种曲线探究正弦函数、余弦函数的性质；
教学难点：应用正、余弦函数的性质来求含有csx,sinx的函数的单调性、最值、值域及对称性.
1．已知sin x＝m－1且x∈R，则m的取值范围是________．
答案：[0,2]
2．函数y＝3＋2cs x的最大值为________．
答案：5
3．若cs x≥eq \f(\r(2),2)，则x的取值范围为________．
答案：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))
4. 函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是_______．
答案：奇函数
知识点一 正弦、余弦函数的定义域、值域
观察下图中的正弦曲线和余弦曲线．
正弦曲线：
余弦曲线：
可得如下性质：
由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R，值域都是[－1,1]．
对于正弦函数y＝sin x，x∈R，有：
当且仅当x＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1；
当且仅当x＝－eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.
对于余弦函数y＝cs x，x∈R，有：
当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1；
当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1.
知识点二 正弦、余弦函数的单调性
思考1 观察正弦函数y＝sin x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))的图象．正弦函数在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
答案 观察图象可知：
当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x的值由－1增大到1；
当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得
当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)时，正弦函数y＝sin x是增函数，函数值由－1增大到1；
当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)时，正弦函数y＝sin x是减函数，函数值由1减小到－1.
思考2 观察余弦函数y＝cs x，x∈[－π，π]的图象．
余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
答案 观察图象可知：
当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，函数是增函数，cs x的值由－1增大到1；
当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，函数是减函数，cs x的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得
当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cs x是增函数，函数值由－1增大到1；
当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cs x是减函数，函数值由1减小到－1.
思考3 正弦函数、余弦函数的单调区间是什么？
答案 y＝sin x的增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z，减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))，k∈Z.
y＝cs x的增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，减区间为[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z.
梳理
典型例题
类型一 求正弦、余弦函数的单调区间
例1 求函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))的单调递增区间．
解 y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))，
令z＝x－eq \f(π,4)，则y＝－2sin z.
因为z是x的一次函数，所以要求y＝－2sin z的单调递增区间，即求sin z的单调递减区间，
即2kπ＋eq \f(π,2)≤z≤2kπ＋eq \f(3π,2)(k∈Z)．
∴2kπ＋eq \f(π,2)≤x－eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(3π,2)(k∈Z)，
即2kπ＋eq \f(3π,4)≤x≤2kπ＋eq \f(7π,4)(k∈Z)，
∴函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(3π,4)，2kπ＋\f(7π,4)))(k∈Z)．
总结 用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式．
跟踪训练1 求函数f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))的单调递增区间．
解 令－π＋2kπ≤2x－eq \f(π,6)≤2kπ，k∈Z，
解得－eq \f(5π,12)＋kπ≤x≤eq \f(π,12)＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5π,12)＋kπ，\f(π,12)＋kπ))，k∈Z.
类型二 正弦、余弦函数单调性的应用
命题角度1 利用正、余弦函数的单调性比较大小
例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sin 196°与cs 156°；
(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23,5)π))与cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,4)π)).
解 (1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，
cs 156°＝cs(180°－24°)＝－cs 24°＝－sin 66°.
∵0°<16°<66°<90°，且y＝sin x在[0°，90°]上是增函数，
∴sin 16°从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cs 156°.
(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23,5)π))＝cs eq \f(23,5)π＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(3,5)π))＝cs eq \f(3,5)π，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,4)π))＝cs eq \f(17,4)π＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(π,4)))＝cs eq \f(π,4).
∵0∴cs eq \f(3,5)π总结 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．
跟踪训练2 cs 1，cs 2，cs 3的大小关系是________．(用“>”连接)
答案 cs 1>cs 2>cs 3
解析 由于0<1<2<3<π，而y＝cs x在[0，π)上单调递减，所以cs 1>cs 2>cs 3.
命题角度2 已知三角函数的单调性求参数范围
例3 已知ω是正数，函数f(x)＝2sin ωx在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上是增函数，求ω的取值范围．
解 由－eq \f(π,2)＋2kπ≤ωx≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，ω>0，得
－eq \f(π,2ω)＋eq \f(2kπ,ω)≤x≤eq \f(π,2ω)＋eq \f(2kπ,ω)，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2ω)＋\f(2kπ,ω)，\f(π,2ω)＋\f(2kπ,ω)))，k∈Z.
根据题意，得eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))⊆eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2ω)＋\f(2kπ,ω)，\f(π,2ω)＋\f(2kπ,ω)))(k∈Z)，
从而有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,2ω)≤－\f(π,3)，,\f(π,2ω)≥\f(π,4)，,ω>0，))解得0<ω≤eq \f(3,2).
故ω的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2))).
总结 此类问题可先解出f(x)的单调区间，将问题转化为集合间的包含关系，然后列不等式组求出参数范围．
跟踪训练3 已知ω>0，函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上单调递减，则ω的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(5,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) D．(0,2]
答案 A
解析 取ω＝eq \f(5,4)，f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)x＋\f(π,4)))，
其减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8,5)kπ＋\f(π,5)，\f(8,5)kπ＋π))，k∈Z，
显然eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))⊆eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8,5)kπ＋\f(π,5)，\f(8,5)kπ＋π))，k∈Z，排除B，C.
取ω＝2，f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))，
其减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,8)，kπ＋\f(5,8)π))，k∈Z，
显然eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))⊈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,8)，kπ＋\f(5,8)π))，k∈Z，排除D.
类型三 正弦、余弦函数的值域或最值
例4 求函数f(x)＝2sin2x＋2sin x－eq \f(1,2)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))的值域．
解 令t＝sin x，因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))，
所以t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，则f(x)可化为
y＝2t2＋2t－eq \f(1,2)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,2)))2－1，t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，
所以当t＝eq \f(1,2)时，ymin＝1，
当t＝1时，ymax＝eq \f(7,2)，
故f(x)的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(7,2))).
总结 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等．三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质．
常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：
(1)形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sin t的最值(值域)．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin x，将函数y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值)．
(3)对于形如y＝asin x(或y＝acs x)的函数的最值还要注意对a的讨论．
跟踪训练4 求函数y＝3－4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,6)))的最大、最小值及相应的x值．
解：∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,6)))，
∴2x＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，
从而－eq \f(1,2)≤cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))≤1.
∴当cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝1，
即2x＋eq \f(π,3)＝0，x＝－eq \f(π,6)时，
ymin＝3－4＝－1.
当cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝－eq \f(1,2)，
即2x＋eq \f(π,3)＝eq \f(2π,3)，x＝eq \f(π,6)时，
ymax＝3－4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝5.
综上所述，当x＝－eq \f(π,6)时，ymin＝－1；
当x＝eq \f(π,6)时，ymax＝5.
本节课主要探究正弦函数、余弦函数的性质，从而用性质解决一些问题。但是本节课内容量比较多，一节课讲完有一定的难度，可根据学生的实际情况分两节课展开.课程目标
学科素养
1.掌握y＝sin x，y＝cs x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.
2.掌握y＝sin x，y＝cs x的单调性，并能利用单调性比较大小.
3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acs(ωx＋φ)的单调区间．
1.逻辑推理： 求正弦、余弦形函数的单调区间；
2.数学运算：利用性质比较大小、求最值、值域及判断奇偶性.
3.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正、余弦函数的性质.
解析式
y＝sin x
y＝cs x
图象
值域
[－1,1]
[－1,1]
单调性
在eq \b\lc\[\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)))eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(＋2kπ))，k∈Z上递增，在eq \b\lc\[\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋))eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ))，k∈Z上递减
在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上递增，
在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上递减
最值
当x＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；当x＝－eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1
当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；当x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1