2020-2021学年安徽省宿州市高一（下）5月月考数学试卷北师大版

这是一份2020-2021学年安徽省宿州市高一（下）5月月考数学试卷北师大版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 设i是虚数单位，则复数4−3ii=( )
A.−3+4iB.3−4iC.3+4iD.−3−4i

2. sin15∘cs15∘的值是( )
A.14B.12C.34D.32

3. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若A=60∘，B=45∘，a=3，则b=( )
A.1B.3C.2D.6

4. 函数y=sinxcsx的最小正周期和最大值分别为( )
A.π，1B.π，12C.2π，1D.2π，12

5. 要得到函数y=sin2x−π3的图象，只需将函数y=sin2x+π4的图象( )
A.向左平移7π24个单位长度B.向右平移7π12个单位长度
C.向右平移7π24个单位长度D.向左平移7π12个单位长度

6. |a→|=63，|b→|=1，a→⋅b→=9，则a→与b→的夹角( )
A.120∘B.150∘C.60∘D.30∘

7. 函数fx=3sin23x+3π2 是( )
A.周期为3π的偶函数B.周期为2π的偶函数
C.周期为3π的奇函数D.周期为4π3的偶函数

8. 在△ABC中，BD→=12DC→，则AD→=( )
A.14AB→+34AC→B.23AB→+13AC→
C.13AB→+23AC→D.13AB→−23AC→

9. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=6，b=2，A=π3，则边c的值为( )
A.2B.22C.3D.3+1

10. 已知α、β为锐角，csα=35，tan(β−α)=13，则tanβ=( )
A.139B.913C.3D.13

11. 下列命题中真命题的个数是（ ）
(1)小于π2的角一定是锐角
(2)函数y=|sinx|+cs2x是偶函数
(3)若α=2，则sinα>0且csα<0
(4)在△ABC中，若csAcsB>sinAsinB，则△ABC是钝角三角形
A.1个B.2个C.3个D.4个

12. 在锐角△ABC中，∠A=2∠B，∠B、∠C的对边长分别是b、c，则bb+c的取值范围是（ ）
A.(14，13)B.(13，12)C.(12，23)D.(23，34)
二、填空题

设复数z=1+i1−i，则|z|=________．

已知点P(1, −2)是角α终边上的一点，则tanα=________，sinα−2csα2sinα+3csα=________．

计算sin40∘sin100∘−sin50∘sin10∘=________．

若函数f(x)=Asin(ωx+φ)，(A>0, ω>0, 0<φ<π)的部分图象如图所示，则f(π4)的值为________．

三、解答题

若复数z＝(m2+m−6)+(m2−m−2)i，当实数m为何值时，
(1)z是实数；

(2)z是纯虚数；

(3)z对应的点在第二象限．

已知0<α<π2，sinα=45.
(1)求sin(α+π3)的值；

(2)求1+sin2αcs2α的值．

已知函数fx=2sinx−π6，x∈R .
(1)求f5π12的值；

(2)设α,β∈0,π2，fα+π6=1013，fβ+2π3=65，求csα+β的值．


已知函数f(x)=1+23sinxcsx−2sin2x，x∈R．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若把f(x)向右平移π6个单位得到函数g(x)，求g(x)在区间[−π2, 0]上的最小值和最大值．

在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且3a=2csinA.
1确定角C的大小；

2若c=7，且△ABC的面积为332，求a+b的值．

已知向量a→=(cs3x2, sin3x2)，b→=(csx2, −sinx2)，且x∈[0, π2].
(1)求a→⋅b→及|a→+b→|；

(2)若f(x)=a→⋅b→−3|a→+b→|sinx，求f(x)的最大值与最小值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年安徽省宿州市高一（下）5月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
复数代数形式的乘除运算
【解析】
根据复数的运算法则化简即可得解.
【解答】
解：4−3ii=4−3i−ii−i=−4i−3.
故选D.
2.
【答案】
A
【考点】
二倍角的正弦公式
【解析】
由已知利用二倍角的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可求解．
【解答】
解：sin15∘cs15∘=12sin30∘=12×12=14．
故选A.
3.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为asinA=bsinB，
所以b=asinBsinA=3×2232=6．
故选D．
4.
【答案】
B
【考点】
二倍角的正弦公式
正弦函数的周期性
【解析】
由二倍角的正弦函数公式可得y=12sin2x，由正弦函数的性质可得周期，最大值．
【解答】
解：∵ y=sinxcsx=12sin2x，
∴ 由正弦函数的性质可得周期T=2π2=π，最大值为12．
故选B．
5.
【答案】
C
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
由题意利用函数y=Asinωx+φ的图象变换规律，得出结论．

【解答】
解：由题意得，函数y=sin2x−π3=sin2x−π6，
y=2sin2x+π4=2sin2x+π8，
因为π8−−π6=7π24，
所以把函数y=2sin2x+π4的图象上所有的点向右平移7π24个单位长度，
可得到y=2sin2x−π3的图象.
故选C．
6.
【答案】
D
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
由题意利用两个向量的数量积的定义，求出a→与b→的夹角的余弦值，可得a→与b→的夹角．
【解答】
解：|a→|=63，|b→|=1，a→⋅b→=9，
则设a→与b→的夹角为θ，θ∈[0∘, 180∘]，
由a→⋅b→=63⋅1⋅csθ=9，
求得csθ=32，
∴ θ=30∘.
故选D.
7.
【答案】
A
【考点】
诱导公式
余弦函数的奇偶性
余弦函数的周期性
【解析】
根据诱导公式化简已知函数为，再根据余弦函数的奇偶性和周期性判断即可.
【解答】
解：函数fx=3sin23x+3π2=−3cs23x，
∴ f−x=−3cs−23x=−3cs23x=fx，
则函数fx为偶函数，
又函数fx的最小正周期为T=2π23=3π，
∴ 函数fx为周期为3π的偶函数．
故选A．
8.
【答案】
B
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
向量在几何中的应用
【解析】
根据BD→=12DC→即可得出：AD→−AB→=12(AC→−AD→)，解出向量AD→即可．
【解答】
解：∵ BD→=12DC→，
∴ AD→−AB→=12(AC→−AD→)，
∴ AD→=23AB→+13AC→．
故选B.
9.
【答案】
B
【考点】
余弦定理
【解析】
由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA，代入相应数据进行运算即可得解．
【解答】
解：由余弦定理知，a2=b2+c2−2bccsA，
∴ 6=2+c2−22×12c，
即 c−22c+2=0，
解得c=22或c=−2(舍去)，
所以c=22.
故选B．
10.
【答案】
C
【考点】
同角三角函数间的基本关系
两角和与差的正切公式
【解析】
由条件利用同角三角函数的基本关系求得 tanα的值，再根据tan(β−α)=13，利用两角差的正切公式求得tanβ的值．
【解答】
解：∵ 角α，β均为锐角，且csα=35，
∴ sinα=1−cs2α=45，tanα=sinαcsα=43，
又tan(β−α)=tanβ−tanα1+tanβtanα=tanβ−431+43tanβ=13，
∴ 解得：tanβ=3.
故选C.
11.
【答案】
C
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
通过锐角的范围判断（1）；偶函数的定义判断（2）；角的范围以及三角函数的符号判断（3）；两角和与差的三角函数以及三角函数的符号，判断（4）．
【解答】
解：(1)−3π2<π2，但不是锐角，故错误；
(2)f(−x)=|sin(−x)|+cs(−2x)
=|sinx|+cs2x=f(x)，
所以y=|sinx|+cs2x是偶函数，正确；
(3)因为2∈(π2, π)，则sinα>0且csα<0，正确；
(4)csAcsB−sinAsinB=cs(A+B)>0，
所以−csC>0，即csC<0，
所以C为钝角，正确，
综上，正确的有3个.
故选C．
12.
【答案】
B
【考点】
三角函数的最值
正弦定理
【解析】
确定B的范围，利用正弦定理化简表达式，求出范围即可．
【解答】
解：在锐角△ABC中，∠A=2∠B，
∠B∈(30◦, 45◦)csB∈(22，32)，cs2B∈(12,34)，
所以由正弦定理可知：
bb+c=sinBsinB+sinC=sinBsinB+sin(π−3B)=sinBsinB+3sinB−4sin3B=14cs2B∈(13，12)
故选B．
二、填空题
【答案】
1
【考点】
复数的模
复数代数形式的乘除运算
【解析】
首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，是一个纯虚数，求出模长．
【解答】
解：z=1+i1−i=(1+i)(1+i)(1−i)(1+i)=2i2=i，
∴ |z|=1.
故答案为：1.
【答案】
−2,4
【考点】
任意角的三角函数
同角三角函数间的基本关系
【解析】
利用任意角的三角函数的定义求出tanα，把所求式子分子分母同时除以csα，转化为关于tanα的关系式，即可算出结果．
【解答】
解：∵ 点P(1, −2)是角α终边上的一点，
∴ tanα=−21=−2，
∴ sinα−2csα2sinα+3csα=tanα−22tanα+3=−2−2−4+3=4.
故答案为：−2；4.
【答案】
12
【考点】
两角和与差的正弦公式
诱导公式
【解析】
利用诱导公式将角度统一，结合两角和与差的正弦公式得到答案.
【解答】
解：sin40∘sin100∘−sin50∘sin10∘
=sin40∘sin90∘+10∘−sin90∘−40∘sin10∘
=sin40∘cs10∘−cs40∘sin10∘
=sin40∘−10∘
=12.
故答案为：12.
【答案】
3
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
函数的求值
【解析】
根据图象求出A，ω 和φ，即可求函数f(x)的解析式；可求f(π4)的值
【解答】
解：由图象知，A=2，
周期34T=11π12−π6=3π4，
解得：T=π．
∴ ω=2πT=2．
∵ 点(π6, 2)在函数图象上，
∴ 2sin(2×π6+φ)=2，即sin(π3+φ)=1．
∵ 0<φ<π，
∴ φ=π6．
故f(x)=2sin(2x+π6)，
那么f(π4)=2sin(2×π4+π6)=3.
故答案为：3．
三、解答题
【答案】
解：(1)由题意可得：
m2−m−2=0，
解得：m=−1或m=2.
(2)由题意可得：m2+m−6=0，且m2−m−2≠0，
∴ m=2或m=−3，且m≠−1且m≠2，
∴ m=−3.
(3)由题意可得：m2+m−6<0m2−m−2>0 ，
解得：−3【考点】
复数的基本概念
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
（1）令复数z的虚部为0，即可求解；
（2）令复数z的实部为0且虚部不为0，即可求解；
（3）根据第二象限点的符号特征，列出不等式，即可求出m的范围．
【解答】
解：(1)由题意可得：
m2−m−2=0，
解得：m=−1或m=2.
(2)由题意可得：m2+m−6=0，且m2−m−2≠0，
∴ m=2或m=−3，且m≠−1且m≠2，
∴ m=−3.
(3)由题意可得：m2+m−6<0m2−m−2>0 ，
解得：−3【答案】
解：(1)已知0<α<π2，sinα=45，
所以csα=35，
所以sin(α+π3)=sinαcsπ3+csαsinπ3
=45×12+35×32=4+3310．
(2)cs2α=2cs2α−1=2×(35)2−1=−725，
sin2α=2sinαcsα=2×45×35=2425．
所以1+sin2αcs2α=1+2425−725=49−7=−7.
【考点】
两角和与差的三角函数
二倍角的正弦公式
二倍角的余弦公式
【解析】
(Ⅰ)直接利用同角三角函数的关系式的变换和和角公式的运用求出结果．
(Ⅱ)利用倍角公式的应用求出结果．
【解答】
解：(1)已知0<α<π2，sinα=45，
所以csα=35，
所以sin(α+π3)=sinαcsπ3+csαsinπ3
=45×12+35×32=4+3310．
(2)cs2α=2cs2α−1=2×(35)2−1=−725，
sin2α=2sinαcsα=2×45×35=2425．
所以1+sin2αcs2α=1+2425−725=49−7=−7.
【答案】
解：(1)fx=2sinx−π6，
则f5π12=2sin5π12−π6
=2sinπ4=2×22=2 .
(2)fα+π6=2sinα=1013，
即sinα=513，α∈0,π2，
故csα=1213；
fβ+2π3=2sinβ+π2=65，
即csβ=35，β∈0,π2，
故sinβ=45；
csα+β=csαcsβ−sinαsinβ
=1213×35−513×45=1665 .
【考点】
三角函数的化简求值
诱导公式
函数的求值
两角和与差的余弦公式
【解析】


【解答】
解：(1)fx=2sinx−π6，
则f5π12=2sin5π12−π6
=2sinπ4=2×22=2 .
(2)fα+π6=2sinα=1013，
即sinα=513，α∈0,π2，
故csα=1213；
fβ+2π3=2sinβ+π2=65，
即csβ=35，β∈0,π2，
故sinβ=45；
csα+β=csαcsβ−sinαsinβ
=1213×35−513×45=1665 .
【答案】
解：(1)∵ 函数f(x)=1+23sinxcsx−2sin2x
=3sin2x+cs2x=2sin(2x+π6)，
令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，
求得kπ−π3≤x≤kπ+π6，
可得函数f(x)的单调增区间为
[kπ−π3, kπ+π6]，k∈Z；
令2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2，
求得kπ+π6≤x≤kπ+2π3，
可得函数f(x)的单调减区间为
[kπ+π6, kπ+2π3]，k∈Z．
(2)若把函数f(x)的图象向右平移π6个单位得到函数
g(x)=2sin[2(x−π6)+π6]
=2sin(2x−π6)的图象，
∵ x∈[−π2, 0]，
∴ 2x−π6∈[−7π6, −π6]，
∴ sin(2x−π6)∈[−1, 12]，
∴ g(x)=2sin(2x−π6)∈[−2, 1]．
故g(x)在区间[−π2，0]上的最小值为−2，最大值为1．
【考点】
二倍角的余弦公式
三角函数中的恒等变换应用
求二倍角的正弦
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的单调性
正弦函数的定义域和值域
【解析】
（1）利用三角恒等变换，化简函数f(x)的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f(x)的单调区间．
（2）利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得g(x)在区间[−π2, 0]上的最小值和最大值．
【解答】
解：(1)∵ 函数f(x)=1+23sinxcsx−2sin2x
=3sin2x+cs2x=2sin(2x+π6)，
令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，
求得kπ−π3≤x≤kπ+π6，
可得函数f(x)的单调增区间为
[kπ−π3, kπ+π6]，k∈Z；
令2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2，
求得kπ+π6≤x≤kπ+2π3，
可得函数f(x)的单调减区间为
[kπ+π6, kπ+2π3]，k∈Z．
(2)若把函数f(x)的图象向右平移π6个单位得到函数
g(x)=2sin[2(x−π6)+π6]
=2sin(2x−π6)的图象，
∵ x∈[−π2, 0]，
∴ 2x−π6∈[−7π6, −π6]，
∴ sin(2x−π6)∈[−1, 12]，
∴ g(x)=2sin(2x−π6)∈[−2, 1]．
故g(x)在区间[−π2，0]上的最小值为−2，最大值为1．
【答案】
解：1∵ 3a=2csinA,
∴ 正弦定理得3sinA=2sinCsinA，
∵ A锐角，
∴ sinA>0，
∴ sinC=32，
又∵ C锐角，
∴ C=π3.
2三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2−2abcsC,
即7=a2+b2−ab，
又由△ABC的面积得S=12absinC=12ab32=332．
即ab=6，
∴ (a+b)2=a2+b2+2ab=25,
由于a+b为正，所以a+b=5．
【考点】
解三角形
正弦定理
【解析】
（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C．
（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值．
【解答】
解：1∵ 3a=2csinA,
∴ 正弦定理得3sinA=2sinCsinA，
∵ A锐角，
∴ sinA>0，
∴ sinC=32，
又∵ C锐角，
∴ C=π3.
2三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2−2abcsC,
即7=a2+b2−ab，
又由△ABC的面积得S=12absinC=12ab32=332．
即ab=6，
∴ (a+b)2=a2+b2+2ab=25,
由于a+b为正，即a+b=5．
【答案】
解：(1)∵ 向量a→=(cs3x2, sin3x2)，b→=(csx2, −sinx2)，
∴ a→⋅b→=(cs3x2, sin3x2)⋅(csx2, −sinx2)
=cs3x2⋅csx2−sin3x2sinx2
=cs(32x+x2)=cs2x，
|a→|=|b→|=1，
∴ |a→+b→|2=a→2+b→2+2a→⋅b→=2+2cs2x=4cs2x，
又∵ x∈[0, π2]，
∴ |a→+b→|=2csx.
(2)∵ f(x)=a→⋅b→−3|a→+b→|sinx
=cs2x−23csxsinx
=cs2x−3sin2x
=2cs(2x+π3)，
∵ x∈[0, π2]，
∴ 2x+π3∈[π3, 4π3]，
∴ 当2x+π3=π，即x=π3时，函数取最小值−2，
当2x+π3=π3，即x=0时，函数取最大值1.
【考点】
平面向量数量积的运算
求两角和与差的正弦
两角和与差的余弦公式
三角函数的最值
【解析】
（1）由向量a→=(cs32x, sin32x)，b→=(csx2, −sinx2)代入向量数量积公式，再利用两角和的余弦公式可得a→⋅b→，再利用平方法求出|a→+b→|2，结合x∈[0, π2]，可得|a→+b→|；
（2）由（1）求出函数的解析式，并利用和差角公式进行化简，结合x∈[0, π2]求出相位角2x+56π的范围，进而由正弦函数的图象和性质，可求出f(x)的最大值与最小值
【解答】
解：(1)∵ 向量a→=(cs3x2, sin3x2)，b→=(csx2, −sinx2)，
∴ a→⋅b→=(cs3x2, sin3x2)⋅(csx2, −sinx2)
=cs3x2⋅csx2−sin3x2sinx2
=cs(32x+x2)=cs2x，
|a→|=|b→|=1，
∴ |a→+b→|2=a→2+b→2+2a→⋅b→=2+2cs2x=4cs2x，
又∵ x∈[0, π2]，
∴ |a→+b→|=2csx.
(2)∵ f(x)=a→⋅b→−3|a→+b→|sinx
=cs2x−23csxsinx
=cs2x−3sin2x
=2cs(2x+π3)，
∵ x∈[0, π2]，
∴ 2x+π3∈[π3, 4π3]，
∴ 当2x+π3=π，即x=π3时，函数取最小值−2，
当2x+π3=π3，即x=0时，函数取最大值1.