2021学年3.3 幂函数精练

2021-2022学年高一数学同步课时优练测（人教A版必修第一册）

一、单选题

1.已知函数 是幂函数，对任意 ， ，且 ，满足 ，若 ， ，且 ，则 的值（    ）           

A. 恒大于0                              B. 恒小于0                              C. 等于0                              D. 无法判断

【答案】 A  

【解析】∵函数 是幂函数，

∴ ，解得：m= -2或m=3．

∵对任意 ， ，且 ，满足 ，

∴函数 为增函数，

∴ ，

∴m=3（m= -2舍去）

∴ 为增函数．

对任意 ， ，且 ，

则 ，∴

∴ ．

故答案为：A

2.已知幂函数 在 上单调递减，则 （    ）           

A.                                         B.                                         C. 32                                        D. 64

【答案】 B  

【解析】解：由 是幂函数可知 ，

即 ，解得 或 ，

所以 或 ，

又因为幂函数 在 上单调递减，

所以 ，所以 。

故答案为：B.

3.已知函数 是幂函数，且在 上是减函数，则实数m的值是（    ）．           

A. -1或2                                         B. 2                                         C. -1                                         D. 1

【答案】 C  

【解析】 是幂函数， ，解得 或m=2，

当 时， 在 上是减函数，符合题意，

当 时， 在 上是增函数，不符合题意，

，

故答案为：C.

4.下列幂函数在区间 内单调递减的是（    ）           

A.                                  B.                                  C.                                  D. 

【答案】 D  

【解析】 、 、 在区间 内单调递增， 在区间 内单调递减，

故答案为：D。

5.若幂函数 的图像经过点 ，则 的定义域为（    ）           

A. R                          B.                           C.                           D. 

【答案】 C  

【解析】 为幂函数， 设

又 的图像经过点 ， ，解得： ，

的定义域为

故答案为：C

6.已知幂函数 在 上是减函数，则 的值为（    ）           

A. -3                                         B. 1                                         C. 2                                         D. 1或2

【答案】 B  

【解析】因为函数是幂函数，

所以   ，

所以 或   ，

当 时 在 上是增函数，不合题意，

当 时 在 上是减函数，成立，

故答案为：B。

二、填空题

7.已知幂函数 的图象关于y轴对称，则m的值为________.   

【答案】 2  

【解析】由于 是幂函数，所以 ，解得 或 .

当 时， ，图象关于 轴对称，符合题意.

当 时， ，图象关于原点对称，不符合题意.

所以 的值为2.

故答案为：2

8.设α∈{﹣2，﹣1， ， ，1，2}．使y＝xa为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的α值为________．   

【答案】 -1  

【解析】因为y＝xa在（0，+∞）上单调递减，

所以α ，

当α=-2时， ， 是偶函数，

当 时， ，定义域不关于原点对称，非奇非偶函数，

当 时， ， 是奇函数。

故答案为：-1。

 
9.若幂函数 的图象过点 ，则 ________.   

【答案】   

【解析】设幂函数 ， 的图象过点

则 ，

解得

故答案为：

三、解答题

10.已知幂函数 在区间 上单调递增.   

（1）求 的解析式；   

（2）用定义法证明函数 在区间 上单调递减.   

【答案】 （1）解：由题可知： ，解得 或 .  

若 ，则 在区间 上单调递增，符合条件；

若 ，则 在区间 上单调递减，不符合条件.

故

（2）证明：由（1）可知， .  

任取 ， ，且 ，

则 .

因为 ，

所以 ， ， ，

所以 ，

即 ，故 在区间 上单调递减

【解析】（1）由幂函数的系数为1得   ，再根据函数为   增函数得 ；

（2）由（1）得   ，再根据函数单调性的定义证明即可。

 11.已知函数 为幂函数，且为奇函数.   

（1）求 的值；   

（2）求函数 在 的值域.   

【答案】 （1）解：因为函数 为幂函数，  

所以 ，解得 或 .

即 或 .

又因为函数 为奇函数，所以 ， .

（2）解： ，  

设 ，因为 ，所以 ， .

所以 ，

当 时， ，当 时， ，故值域为 .

【解析】（1）由幂函数的定义可得  或   ， 再根据函数 是奇函数确定的值即可；
（2）由（1）可得    ，  利用换元法得到   ， ，再根据二次函数的性质即可求出的值域。

12.已知幂函数 .   

（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；   

（2）若该函数还经过点(2， )，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．   

【答案】 （1）解：m为正整数，则：m2+m＝m（m+1）为偶数，令m2+m＝2k，则： 

，据此可得函数的定义域为[0，+∞），函数在定义域内单调递增．

（2）解：由题意可得： ，  

求解关于正整数m的方程组可得：m＝1（m＝﹣2舍去），

则： ，不等式f（2﹣a）＞f（a﹣1）脱去f符号可得：

2﹣a＞a﹣1≥0，求解不等式可得实数a的取值范围是： ．

【解析】(1)先判断幂函数的指数的奇偶,由m与m＋1中必定有一个为偶数,可知m2＋m为偶数,可得函数开偶次方,即函数定义域为[0，＋∞),且在定义域内单调递增;(2)由过点(2， )和m∈N*求出m的值,进而得出函数的定义域和单调性,列出不等式解出a的范围即可.