专题04导数及其应用（解答题）——三年（2019-2021）高考数学（文）真题分项汇编（解析版）

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专题04 导数及其应用（解答题）
1．【2021年全国高考甲卷数学（文）】设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.
【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.
【分析】
（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.
（2）根据及（1）的单调性性可得，从而可求a的取值范围.
【详解】
（1）函数的定义域为，
又，
因为，故，
当时，；当时，；
所以的减区间为，增区间为.
（2）因为且的图与轴没有公共点，
所以的图象在轴的上方，
由（1）中函数的单调性可得，
故即.
【点睛】
方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.
2．【2021年全国高考乙卷数学（文）】已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．
【答案】(1)答案见解析；(2) 和.
【分析】
(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；
(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标.
【详解】
(1)由函数的解析式可得：，
导函数的判别式，
当时，在R上单调递增，
当时，的解为：，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
综上可得：当时，在R上单调递增，
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
(2)由题意可得：，，
则切线方程为：，
切线过坐标原点，则：,
整理可得：，即：，
解得：，则，
切线方程为：,
与联立得，
化简得,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是的一个因式，∴该方程可以分解因式为
解得,
，
综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和.
【点睛】
本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注意单调性研究中对导函数，要依据其零点的不同情况进行分类讨论；再求切线与函数曲线的公共点坐标时，要注意除了已经求出的切点，还可能有另外的公共点(交点),要通过联立方程求解，其中得到三次方程求解时要注意其中有一个实数根是求出的切点的横坐标，这样就容易通过分解因式求另一个根.三次方程时高考压轴题中的常见问题，不必恐惧，一般都能容易找到其中一个根，然后在通过分解因式的方法求其余的根.
3．【2021年全国新高考Ⅰ卷数学】已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；
（2）设，原不等式等价于，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可设，从而把转化为在上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.
【详解】
（1）函数的定义域为，
又，
当时，，当时，，
故的递增区间为，递减区间为.
（2）因为，故，即，
故，
设，由（1）可知不妨设.
因为时，，时，，
故.
先证：，
若，必成立.
若， 要证：，即证，而，
故即证，即证：，其中.
设，
则，
因为，故，故，
所以，故在为增函数，所以，
故，即成立，所以成立，
综上，成立.
设，则，
结合，可得：，
即：，故，
要证：，即证，即证，
即证：，即证：，
令，
则，
先证明一个不等式：.
设，则，
当时，；当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，故，
故成立
由上述不等式可得当时，，故恒成立，
故在上为减函数，故，
故成立，即成立.
综上所述，.
【点睛】
方法点睛：极值点偏移问题，一般利用通过原函数的单调性，把与自变量有关的不等式问题转化与原函数的函数值有关的不等式问题，也可以引入第三个变量，把不等式的问题转化为与新引入变量有关的不等式问题.
4．【2021年全国新高考II卷数学】已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：有一个零点
①；
②．
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.
【分析】
(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；
(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.
【详解】
(1)由函数的解析式可得：，
当时，若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
(2)若选择条件①：
由于，故，则，
而，
而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.



，
由于，，故，
结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
若选择条件②：
由于，故，则，
当时，，，
而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.
当时，构造函数，则，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
注意到，故恒成立，从而有：，此时：
，
当时，，
取，则，
即：，
而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.



，
由于，，故，
结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．
5．【2021年北京市高考数学】已知函数．
（1）若，求在处切线方程；
（2）若函数在处取得极值，求的单调区间，以及最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.
【分析】
（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果.
【详解】
（1）当时，，则，，，
此时，曲线在点处的切线方程为，即；
（2）因为，则，
由题意可得，解得，
故，，列表如下：













增
极大值
减
极小值
增
所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.
当时，；当时，.
所以，，.
6．【2021年天津高考数学】已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
【答案】（I）；（II）证明见解析；（III）
【分析】
（I）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；
（II）令，可得，则可化为证明与仅有一个交点，利用导数求出的变化情况，数形结合即可求解；
（III）令，题目等价于存在，使得，即，利用导数即可求出的最小值.
【详解】
（I），则，
又，则切线方程为；
（II）令，则，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
当时，，，当时，，画出大致图像如下：

所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，
当时，，则，单调递增，
当时，，则，单调递减，
为的极大值点，故存在唯一的极值点；
（III）由（II）知，此时，
所以，
令，
若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，
，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，故，
所以实数b的取值范围.
【点睛】
关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明与仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在，使得，即.
7．【2021年浙江省高考数学】设a，b为实数，且，函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.
(注：是自然对数的底数)
【答案】(1)时，在上单调递增；时，函数的单调减区间为，单调增区间为；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】
(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；
(2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a的取值范围；
(3)结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立.
【详解】
(1)，
①若，则，所以在上单调递增；
②若，
当时，单调递减，
当时，单调递增.
综上可得，时，在上单调递增；
时，函数的单调减区间为，单调增区间为.
(2)有2个不同零点有2个不同解有2个不同的解，
令，则，
记，
记，
又，所以时，时，，
则在单调递减，单调递增，，
.
即实数的取值范围是.
(3)有2个不同零点，则，故函数的零点一定为正数.
由(2)可知有2个不同零点，记较大者为，较小者为，
，
注意到函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故，又由知，
，
要证，只需，
且关于的函数在上单调递增，
所以只需证，
只需证，
只需证，
，只需证在时为正，
由于，故函数单调递增，
又，故在时为正，
从而题中的不等式得证.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．
8．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
【解析】（1）当a=1时，f（x）=ex–x–2，则=ex–1．
当x<0时，<0；当x>0时，>0．
所以f（x）在（–∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
（2）=ex–a．
当a≤0时，>0，所以f（x）在（–∞，+∞）单调递增，
故f（x）至多存在1个零点，不合题意．
当a>0时，由=0可得x=lna．
当x∈（–∞，lna）时，<0；
当x∈（lna，+∞）时，>0．所以f（x）在（–∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增，故当x=lna时，f（x）取得最小值，最小值为f（lna）=–a（1+lna）．
（i）若0≤a≤，则f（lna）≥0，f（x）在（–∞，+∞）至多存在1个零点，不合题意．
（ii）若a>，则f（lna）<0．
由于f（–2）=e–2>0，所以f（x）在（–∞，lna）存在唯一零点．
由（1）知，当x>2时，ex–x–2>0，所以当x>4且x>2ln（2a）时，
．
故f（x）在（lna，+∞）存在唯一零点，从而f（x）在（–∞，+∞）有两个零点．
综上，a的取值范围是（，+∞）．
【点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线和直线有两个交点，利用过点的曲线的切线斜率，结合图形求得结果.
9．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）=的单调性．
【解析】设h(x)=f(x)−2x−c，则h(x)=2lnx−2x+1−c，
其定义域为(0，+∞)，.
（1）当00；当x>1时，h'(x)<0.所以h(x)在区间(0，1)单调递增，在区间(1，+∞)单调递减.从而当x=1时，h(x)取得最大值，最大值为h(1)=−1−c.
故当且仅当−1−c≤0，即c≥−1时，f(x)≤2x+c.
所以c的取值范围为[−1，+∞).
（2），x∈(0，a)∪(a，+∞).

取c=−1得h(x)=2lnx−2x+2，h(1)=0，则由（1）知，当x≠1时，h(x)<0，即
1−x+lnx<0.故当x∈(0，a)∪(a，+∞)时，，从而.
所以在区间(0，a)，(a，+∞)单调递减.
【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性，考查了数学运算能力，是中档题.
10．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有三个零点，求的取值范围．
【解析】（1）．
当k=0时，，故在单调递增；
当k<0时，，故在单调递增．
当k>0时，令，得．当时，；当时，；当时，．故在，单调递增，在单调递减．
（2）由（1）知，当时，在单调递增，不可能有三个零点．
当k>0时，为的极大值点，为的极小值点．
此时，且，，．
根据的单调性，当且仅当，即时，有三个零点，解得．因此k的取值范围为．
【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及已知零点个数求参数的范围问题，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题.
11．【2020年高考天津】已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．
【解析】（Ⅰ）（i）当时，，故．可得，，所以曲线在点处的切线方程为，即．
（ii）依题意，．从而可得，整理可得．令，解得．
当变化时，的变化情况如下表：


1


-
0
+

↘
极小值
↗
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；的极小值为，无极大值．
（Ⅱ）证明：由，得．
对任意的，且，令，则



． ①
令．当时，，由此可得在单调递增，所以当时，，即．
因为，，
所以，
． ②
由（Ⅰ）（ii）可知，当时，，即，
故． ③
由①②③可得．所以，当时，对任意的，且，有．
12．【2020年高考北京】已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
【解析】（Ⅰ）因为，所以，
设切点为，则，即，所以切点为，
由点斜式可得切线方程：，即.
（Ⅱ）显然，
因为在点处的切线方程为：，
令，得，令，得，
所以，
不妨设时，结果一样，
则，
所以
，
由，得，由，得，
所以在上递减，在上递增，
所以时，取得极小值，
也是最小值为.
【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.
13．【2020年高考浙江】已知，函数，其中e=2.71828…是自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；
（Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）因为，，所以在上存在零点．
因为，所以当时，，故函数在上单调递增，
所以函数以在上有唯一零点．
（Ⅱ）（ⅰ）令，，
由（Ⅰ）知函数在上单调递增，故当时，，
所以函数在单调递增，故．
由得，
因为在单调递增，故．
令，，
令，，所以


















故当时，，即，所以在单调递减，
因此当时，．
由得，
因为在单调递增，故．
综上，．
（ⅱ）令，，所以当时，，
故函数在区间上单调递增，因此．
由可得，
由得．
14．【2020年高考江苏】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，为铅垂线(在AB上)．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米．
（1）求桥AB的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点)．.桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k>0)，问为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？

【解析】（1）设都与垂直，是相应垂足.
由条件知，当时， 则.
由得
所以（米）.

（2）以为原点，为轴建立平面直角坐标系（如图所示）.
设则
.
因为所以.
设则
所以
记桥墩和的总造价为，
则
，
令 得

所以当时，取得最小值.
答：（1）桥的长度为120米；
（2）当为20米时，桥墩和的总造价最低.
【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
15．【2020年高考江苏】已知关于x的函数与在区间D上恒有．
（1）若，求h(x)的表达式；
（2）若，求k的取值范围；
（3）若求证：．
【解析】（1）由条件，得，
取，得，所以．
由，得，此式对一切恒成立，
所以，则，此时恒成立，
所以．
（2）.
令，则令，得.

所以.则恒成立，
所以当且仅当时，恒成立．
另一方面，恒成立，即恒成立，
也即恒成立．
因为，对称轴为，
所以，解得．
因此，k的取值范围是
（3）①当时，
由，得，整理得

令 则．
记
则恒成立，
所以在上是减函数，则，即．
所以不等式有解，设解为，
因此．
②当时，
．
设，
令，得．
当时，，是减函数；
当时，，是增函数．
，，则当时，．
（或证：．）
则，因此．
因为，所以．
③当时，因为，均为偶函数，因此也成立．
综上所述，．
【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.
16．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知函数．
（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．
【解析】的定义域为，．
（1）当时，，，
曲线在点处的切线方程为，即．
直线在轴，轴上的截距分别为，．
因此所求三角形的面积为．
（2）当时，．
当时，，．
当时，；当时，．
所以当时，取得最小值，最小值为，从而．
当时，．
综上，的取值范围是．
【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想，属较难试题.
17．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数f（x）=2sinx-xcosx-x，f ′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f ′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）设，则.
当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.
又，故在存在唯一零点.
所以在存在唯一零点.
（2）由题设知，可得a≤0.
由（1）知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.
又，所以，当时，.
又当时，ax≤0，故.
因此，a的取值范围是.
【名师点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.
18．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数．证明：
（1）存在唯一的极值点；
（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）的定义域为（0，+）.
.
因为单调递增，单调递减，所以单调递增，又，
，故存在唯一，使得.
又当时，，单调递减；当时，，单调递增.
因此，存在唯一的极值点.
（2）由（1）知，又，所以在内存在唯一根.
由得.
又，故是在的唯一根.
综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
【名师点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、极值，以及函数零点的问题，属于常考题型.
19．【2019年高考天津文数】设函数，其中.
（Ⅰ）若a≤0，讨论的单调性；
（Ⅱ）若，
（i）证明恰有两个零点；
（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明.
【答案】（Ⅰ）在内单调递增.；（Ⅱ）（i）见解析；（ii）见解析.
【解析】（Ⅰ）解：由已知，的定义域为，且
.
因此当a≤0时，，从而，所以在内单调递增.
（Ⅱ）证明：（i）由（Ⅰ）知.令，由，
可知在内单调递减，又，且
.
故在内有唯一解，从而在内有唯一解，不妨设为，则.当时，，所以在内单调递增；当时，，所以在内单调递减，因此是的唯一极值点.
令，则当时，，故在内单调递减，从而当时，，所以.从而
，
又因为，所以在内有唯一零点.又在内有唯一零点1，从而，在内恰有两个零点.
（ii）由题意，即从而，即.因为当时，，又，故，两边取对数，得，于是
，
整理得.
【名师点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想、化归与转化思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.
20．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当0 【答案】（1）见详解；（2）.
【解析】（1）．
令，得x=0或．
若a>0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减；
若a=0，在单调递增；
若a<0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减．
（2）当时，由（1）知，在单调递减，在单调递增，所以在[0,1]的最小值为，最大值为或.于是
，
所以
当时，可知单调递减，所以的取值范围是．
当时，单调递增，所以的取值范围是．
综上，的取值范围是．
【名师点睛】这是一道常规的导数题目，难度比往年降低了不少.考查函数的单调性，最大值、最小值的计算.
21．【2019年高考北京文数】已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．
【答案】（Ⅰ）与；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）由得．
令，即，得或．
又，，
所以曲线的斜率为1的切线方程是与，
即与．
（Ⅱ）令．
由得．
令得或．
的情况如下：
























所以的最小值为，最大值为．
故，即．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
当时，；
当时，；
当时，．
综上，当最小时，．
【名师点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
22．【2019年高考浙江】已知实数，设函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）对任意均有 求的取值范围．
注：e=2.71828…为自然对数的底数．
【答案】（1）的单调递增区间是,单调递减区间是；（2）.
【解析】（1）当时，．
，
所以，函数的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+）．
（2）由，得．
当时，等价于．
令，则．
设，
则．
（i）当 时，，则
．
记，则

.
故



1




0
+


单调递减
极小值
单调递增
所以，．
因此，．
（ii）当时，．
令 ，
则，
故在上单调递增，所以．
由（i）得，．
所以，．
因此．
由（i）（ii）知对任意，，
即对任意，均有．
综上所述，所求a的取值范围是．
【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．
23．【2019年高考江苏】设函数、为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；
（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】（1）因为，所以．
因为，所以，
解得．
（2）因为，
所以，
从而．令，得或．
因为都在集合中，且，
所以．
此时，．
令，得或．列表如下：




1


+
0
–
0
+


极大值

极小值

所以的极小值为．
（3）因为，所以，
．
因为，所以，
则有2个不同的零点，设为．
由，得．
列表如下：







+
0
–
0
+


极大值

极小值

所以的极大值．
解法一：




．因此．
解法二：
因为，所以．
当时，．
令，则．
令，得．列表如下：





+
0
–


极大值

所以当时，取得极大值，且是最大值，故．
所以当时，，因此．
【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．