高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.3.2 直线与平面平行第1课时教案设计

11.3.2 直线与平面平行（1）

本节课是人教B版必修2《立体几何初步》第三大节的第2小节内容，在高中立体几何中占有很重要的地位，因为它与前面所学习的平面几何中的两条直线的位置关系以及立体几何中的线线关系等知识都有密切的联系，而且其本身就是判定直线与平面平行的一个重要方法；同时又是后面将要学习的平面与平面的位置关系的基础，因此学好本节内容知识，不仅可对以前所学的相关知识进行加深理解和巩固，而且也为判断直线与平面平行增添了一种新的方法，同时又为后面将要学习的知识作了很好的铺垫作用。在教学过程中，通过观察探究，通过合理推理发现直线与平面的判定定理和性质定理，并能准确地使用数学语言表达该定理；能够对直线和平面的判定定理和性质定理作出严密的逻辑论证，能进行一些简单的运用。通过自主学习，主动参与，积极探究的学习过程，激发学生的自信心和积极性，培养学生良好的思维习惯，渗透转化与划归的数学思想.

【教学重点】

直线与平面平行的判定定理、性质定理的形成过程及应用

【教学难点】

线线平行与线面平行的转化

一.引入

问题1：通过前面几何体的学习，直线和平面有哪几种位置关系？

答：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交

问题2：上述三种位置关系，直线与平面分别有几个公共点？

直线在平面内：直线与平面有无数个公共点，记作

直线与平面平行：直线与平面没有公共点，

直线与平面相交：直线与平面仅有一个公共点，

二：直线与平面平行的判定

证明：如图所示，假设，因为直线与直线平行，所以它们可以确定一个平面（记为）。

由于，所以，又因为，因此根据平面的基本事实3，点一定在与的交线上，于是直线与相交，这与矛盾，所以，即.

知识点1　直线与平面平行的判定定理

1．文字叙述：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行．

2．符号表示：如果l⊄α，m⊂α，且l∥m，则l∥α.

3．图形表示：

注：根据上述定理，画一条直线与已知平面平行时，通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外面，并且使它与平行四边形的一边平行或与平行四边形内的一条线段平行.

4．作用：证明直线与平面平行.

利用线面平行的判定定理，以及棱柱的侧面都是平行四边形，可以证明棱柱一个底面上的边所在直线一定平行于另一个底面。

例如，如图所示的三棱锥中，因为是平行四边形，所以，又因为面，面，所以面.

【对点快练】

1．思考辨析

(1)如果一条直线和一个平面内的另一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．(　　)

(2)若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α.(　　)

(3)若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α.(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×

2．能保证直线a与平面α平行的条件是(　　)

A．b⊂α，a∥b                                  B．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c

C．b⊂α，A、B∈a，C、D∈b，且AC∥BD         D．a⊄α，b⊂α，a∥b

答案　D 

例1.已知空间四边形中，分别是边的中点，求证：面

分析：要证明面，只需在面内找一条直线与平行即可

证明：如图所示，连接

在中，因为分别是边的中点，所以由三角形的中位线定理可知

又因为面，面，

故由线面平行的判定定理可知面

【解题方法】

用判定定理证明直线与平面平行的步骤如下

(1)找：在平面内找到一条直线或作出一条直线与已知直线平行；

(2)证：证明已知直线与该直线平行；

(3)结论：由判定定理得出结论．

注意：第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：①利用三角形中位线，梯形中位线的性质；②利用平行四边形的性质；③利用平行线的传递性．

【变式练习】

如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，E为PD的中点．

求证：PB∥平面AEC．

证明　连接BD，交AC于O点，连接OE.

∵ABCD为矩形，

∴O为BD的中点．

又E为PD的中点，

∴OE∥PB．

又OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB∥平面AEC．

三.线面平行的性质定理

知识点2　直线与平面平行的性质定理

1．文字叙述：如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与两平面的交线平行.

2．符号表示：如果l∥α，l⊂β，α∩β＝m，则l∥m.

3．图形表示：

4．作用：证明两直线平行.

证明：因为，所以与没有公共点，又因为，所以

注意到且，所以与共面且没有公共点，即

【思考】

1．如图，若l∥α，直线a⊂α，那么直线l与直线a一定平行吗？为什么？

提示　不一定，因为还可能是异面直线．

2．如图，直线a∥平面α，直线a⊂平面β，平面α∩平面β＝直线b，满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什么位置关系？

提示　无数个，a∥b.

例2.如图所示，已知三棱锥中，分别为边的中点，过的平面截三棱锥得到的截面为，求证

证明：在中，因为分别为边的中点，

所以由三角形的中位线定理可知

又因为面，面，

所以由线面平行的判定定理可知面

又因为面，面面

所以由线面平行的性质定理可知

【解题方法】

1．利用线面平行的性质定理解题的步骤

先确定（或寻找）一条直线平行于一个平面，再确定（或寻找）这条直线且与已知平面相交的平面，确定交线，由定理得出结论

2．如果已知条件中给出线面平行或隐含线面平行，那么在解决过程中，一定会用到线面平行的性质定理．在应用性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行．

【变式练习】

求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．

[分析]　先写出已知求证，再借助线面平行的性质定理求解．

解　已知直线a，l，平面α，β满足α∩β＝l，a∥α，a∥β.

求证：a∥l.

证明如下：如图所示，过a作平面γ交平面α于b，

∵a∥α，∴a∥b.

同样过a作平面δ交平面β于c，

∵a∥β，∴a∥c.

则b∥c.又∵b⊄β，c⊂β，∴b∥β.

又∵b⊂α，α∩β＝l，

∴b∥l.

又∵a∥b，∴a∥l.

小结：

1．直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行，先证直线和直线平行，即由立体向平面转化，由高维向低维转化．

2．准确把握线面平行判定定理和性质定理的使用前提条件，是对线面平行关系作出正确推断的关键．

3．证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“见了已知想性质，见了求证想判定”，也就是说“发现已知，转化结论，沟通已知与未知的关系”．这是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段．