2019-2020学年成都市树德中学七下期末数学试卷

这是一份2019-2020学年成都市树德中学七下期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列各式计算结果正确的是
A. a+a=a2B. a⋅a=a2C. a32=a5D. a2÷a=2

2. 如图所示有 4 个汽车标致图案，其中不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 下列事件为必然事件的是
A. 任意买一张电影票，座位号是偶数
B. 打开电视机，正在播放动画片
C. 两角及一边对应相等的两个三角形全等
D. 三根长度为 2 cm，3 cm，5 cm 的木棒首尾相接能摆成三角形

4. 如图，下列条件中，不能判断直线 l1∥l2 的是
A. ∠2=∠3B. ∠1=∠3C. ∠4=∠5D. ∠2+∠4=180∘

5. 下列算式能用平方差公式计算的是
A. x−2x+1B. 2x+y2y−x
C. −2x+y2x−yD. −x−1x−1

6. 王明的讲义夹里放了大小相同的试卷共 50 张，其中语文 15 张、数学 25 张、英语 10 张，他随机从讲义夹中抽出 1 张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为
A. 12B. 13C. 15D. 310

7. 适合条件 ∠A=12∠B=13∠C 的 △ABC 是
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形

8. 如图，DE 垂直平分 AB，交 AC 于点 D，交 AB 于点 E，连接 BD，若 AC=6 cm，BC=4 cm，则 △BCD 的周长为
A. 6 cmB. 8 cmC. 10 cmD. 12 cm

9. 甲、乙两人进行慢跑练习，慢跑路程 y（米）与所用时间 t（分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是
A. 甲乙两人 8 分钟各跑了 800 米
B. 前 2 分钟，乙的平均速度比甲快
C. 5 分钟时两人都跑了 500 米
D. 甲跑完 800 米的平均速度为 100 米/分钟

10. 如图，小明拿一张正方形纸片（如图①），沿虚线向下对折一次得到图②，再沿图②中的虚线向下对折一次得到图③，然后用剪刀沿图③中的虚线剪去一个角，将剩下的纸片打开后得到的图形的形状是
A. B.
C. D.

二、填空题（共4小题；共20分）
11. −2ab23= ．

12. 如图，D 在 AB 上，E 在 AC 上，且 ∠B=∠C，请添加一个条件，使 △ABE≌△ACD，你添加的条件是 ．

13. 某人购进一批苹果，到市场零售，已知销售额 y（元）与卖出的苹果数量 x（千克）的关系如表所示，则 y 与 x 之间的关系式为 ．
数量x千克2345⋯销售额y元⋯

14. 如图，△ABC 中，∠ACB=90∘，∠A=50∘，将其折叠，使点 A 落在边 BC 上 A1 处，折痕为 CD，则 ∠A1DB= 度．

三、解答题（共6小题；共78分）
15. （1）先化简，再求值：1+a1−a+a−22，其中 a=−3；
（2）已知 x2−4x−1=0，求代数式 2x−32−x+yx−y−y2 的值．

16. “六一”儿童节期间，某商厦为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被平均分成 16 份），并规定：顾客每购买 100 元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准哪个区域，顾客就可以获得相应的奖品．小明和妈妈购买了 125 元的商品，请你分析计算：
颜色奖品红色玩具熊黄色童话书绿色彩笔
（1）小明获得奖品的概率是多少?
（2）小明获得童话书的概率是多少?

17. 我们知道，可以利用直观的几何图形形象地表示有些代数恒等式．例如：2a+ba+b=2a2+3ab+b2，可以用图1的面积关系来表示．还有许多代数恒等式也可以用几何图形来表示其正确性．
（1）根据图2写出一个代数恒等式；
（2）已知等式：a+2b2=a2+4ab+4b2，请你在图3的方框内画出一个相应的几何图形，利用这个图形的面积关系来表示等式的正确性．

18. 如图，等边 △ABC 中，D 是 AB 边上的一动点，以 CD 为一边，向上作等边 △EDC，连接 AE．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）判断 AE 与 BC 的位置关系，并说明理由．

19. 某中学为筹备校庆活动，准备印制一批校庆纪念册，该纪念册每册需要 10 张 8 K 大小的纸，其中 4 张为彩色页，6 张为黑白页．印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：彩色页 300 元/张，黑白页 50 元/张；印刷费与印数的关系见表．
印数a单位:千册1≤a<55≤a<10彩色单位:元/张2.22.0黑白单位:元/张0.70.6
（1）直接写出印制这批纪念册的制版费为多少元；
（2）若印制 6 千册，那么共需多少费用?
（3）如印制 x（1≤x<10）千册，所需费用为 y 元，请写出 y 与 x 之间的关系式．

20. 问题情境：如图 1，AB∥CD，∠PAB=130∘，∠PCD=120∘，求 ∠APC 的度数．
小明的思路是：过 P 作 PE∥AB，通过平行线性质来求 ∠APC．
（1）按小明的思路，易求得 ∠APC 的度数为 度；
（2）问题迁移：如图 2，AB∥CD，点 P 在射线 OM 上运动，记 ∠PAB=α，∠PCD=β，当点 P 在 B，D 两点之间运动时，问 ∠APC 与 α，β 之间有何数量关系?请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点 P 在 B，D 两点外侧运动时（点 P 与点 O，B，D 三点不重合），请直接写出 ∠APC 与 α，β 之间的数量关系．

四、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知 am=5，an=2，则 a2m−3n= ．

22. 一个盒中装着大小、外形一模一样的 x 颗白色弹珠和 12 颗黑色弹珠，已知从盒中随机取出一颗弹珠，取得白色弹珠的概率是 13，现保持盒中原来的白色和黑色弹珠数量不变，再往盒中放进 18 颗同样的白色弹珠，接下来从盒中随机取出一颗弹珠，则取得白色弹珠的概率是 ．

23. 我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，某自来水公司采取分段收费标准，某市居民月交水费 y（元）与用水量 x（吨）之间的关系如图所示，若某户居民 4 月份用水 18 吨，则应交水费 元．

24. 如图，△ABC 中，AB=BC=a（a 为常数），∠B=90∘，D 是 AC 的中点，E 是 BC 延长线上一点，F 是 BC 边上一点，DE⊥DF，过点 C 作 CG⊥BE 交 DE 于点 G，则四边形 DFCG 的面积为 （用含 a 的代数式表示）．

25. 如图，△ABC 的内角 ∠ABC 和外角 ∠ACD 的平分线相交于点 E，BE 交 AC 于点 F，过点 E 作 EG∥BD 交 AB 于点 G，交 AC 于点 H，连接 AE，有以下结论：① ∠BEC=12∠BAC；② △HEF≌△CBF；③ BG=CH+GH；④ ∠AEB+∠ACE=90∘，其中正确的结论有 （将所有正确答案的序号填写在横线上）．

五、解答题（共3小题；共39分）
26. 已知 x2+mx+1x2−2x+n 的展开式中不含 x2 和 x3 项．
（1）分别求 m，n 的值；
（2）化简求值：m+2n+1m+2n−1+2m2n−4mn2+m3÷−m．

27. 2015 年 5 月中旬，中国和俄罗斯海军在地中海海域举行了代号为“海上联合 −20151”的联合军事演习，这是中国第一次在地中海举行军事演习，也是这个海军距本土最远的一次军演，某天，“临沂舰”、“潍坊舰”两舰同时从 A，B 两个港口出发，均沿直线匀速驶向演习目标地海岛 C，两舰艇都到达 C 岛后演习第一阶段结束，已知 B 港位于 A 港，C 岛之间，且 A，B，C 在一条直线上，如图所示，l临，l潍 分别表示“临沂舰”、“潍坊舰”离 B 港的距离行驶时间 xh 变化的图象．
（1）A 港与 C 岛之间的距离为 ；
（2）分别求出“临沂舰”、“潍坊舰”的航速及相遇时行驶的时间；
（3）若“临沂舰”、“潍坊舰”之间的距离不超过 2 km 时就属于最佳通讯距离，求出两舰艇在演习第一阶段处于最佳通讯距离时的 x 的取值范围．

28. 已知 △ABC 和 △DEC 都是等腰直角三角形，C 为它们的公共直角顶点，D，E 分别在 BC，AC 边上．
（1）如图 1，F 是线段 AD 上的一点，连接 CF，若 AF=CF；
① 求证：点 F 是 AD 的中点；
② 判断 BE 与 CF 的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图 2，把 △DEC 绕点 C 顺时针旋转 α 角（0<α<90∘），点 F 是 AD 的中点，其他条件不变，判断 BE 与 CF 的关系是否不变?若不变，请说明理由；若要变，请求出相应的正确结论．
答案
第一部分
1. B【解析】A．a+a=2a≠a2，本选项错误；
B．a⋅a=a2，本选项正确；
C．a32=a6≠a5，本选项错误；
D．a2÷a=a≠2，本选项错误．
2. D【解析】由轴对称图形的概念可知第 1 个，第 2 个，第 3 个都是轴对称图形．
第 4 个不是轴对称图形，是中心对称图形．
3. C【解析】任意买一张电影票，座位号是偶数是随机事件；
打开电视机，正在播放动画片是随机事件；
两角及一边对应相等的两个三角形全等是必然事件；
三根长度为 2 cm，3 cm，5 cm 的木棒首尾相接能摆成三角形是不可能事件．
4. A
5. D
【解析】能用平方差公式计算的是 −x−1x−1=−12−x2=1−x2．
6. A【解析】∵ 王明的讲义夹里放了大小相同的试卷共 50 张，其中数学 25 张，
∴ 他随机地从讲义夹中抽出 1 张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为 2550=12．
7. B【解析】∵∠A=12∠B=13∠C，
∴∠B=2∠A，∠C=3∠A，
∵∠A+∠B+∠C=180∘，即 6∠A=180∘，
∴∠A=30∘，
∴∠B=60∘，∠C=90∘，
∴△ABC 为直角三角形．
8. C【解析】因为 DE 垂直平分 AB，所以 AD=BD，因为 AC=6 cm，BC=4 cm，所以 △BDC 的周长为：
BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=6+4=10cm.
9. A【解析】由图可得，甲 8 分钟跑了 800 米，乙 8 分钟跑了 700 米，故选项 A错误；
前 2 分钟，乙跑了 300 米，甲跑的路程小于 300 米，从而可知前 2 分钟，乙的平均速度比甲快，故选项 B 正确；
由图可知，5 分钟时两人都跑了 500 米，故选项 C 正确；
由图可知，甲 8 分钟跑了 800 米，可得甲跑完 800 米的平均速度为 100 米/分钟，故选项 D 正确．
10. A
【解析】如图所示：
第二部分
11. −8a3b6
【解析】−2ab23=−23a3b23=−8a3b6．
12. AC=AB（答案不唯一）
【解析】添加的条件是 AC=AB，
∠A=∠A，∠B=∠C，AC=AB，
由 ASA 可得 △ABE≌△ACD．
13. y=3.6x
【解析】根据表格可知苹果的单价为 3.6 元/千克，则 y=3.6x．
14. 10
【解析】∵∠ACB=90∘，∠A=50∘，
∴∠B=90∘−50∘=40∘，
由翻折的性质得，∠CA1D=∠A=50∘，
∴ ∠A1DB=∠CA1D−∠B=50∘−40∘=10∘．
第三部分
15. （1） 原式=−4a+5.
当 a=−3 时，
原式=17.
（2） 原式=3x2−12x+9=3x2−4x+9.
∵ x2−4x−1=0，
∴ x2−4x=1．
∴原式=3×1+9=12.
16. （1） ∵ 转盘被平均分成 16 份，其中有颜色部分占 6 份，
∴ 小明获得奖品的概率 =616=38．
（2） ∵ 转盘被平均分成 16 份，其中黄色部分占 2 份，
∴ 小明获得童话书的概率 =216=18．
17. （1） 2a+ba+2b=2a2+5ab+2b2；
（2） 如图所示：
18. （1） ∵△ABC 和 △DCE 都是等边三角形，
∴BC=AC，DC=CE，∠ACB=∠DCE=60∘，
∴∠ACB−∠DCA=∠DCE−∠DCA，即 ∠BCD=∠ACE，
在 △BCD 和 △ACE 中，
BC=AC,∠BCD=∠ACE,DC=CE,
∴△BCD≌△ACE．
（2） AE∥BC，理由是：
∵△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠ABC，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠CAE=∠ACB，
∴AE∥BC．
19. （1） 印制这批纪念册的制版费为：300×4+50×6=1500（元），
∴ 印制这批纪念册的制版费为 1500 元．
（2） 印制 6 千册时，需要的费用为：1500+2×4+0.6×6×6000=71100（元），
∴ 若印制 6 千册，那么共需 71100 元的费用．
（3） 由已知得：
当 1≤x<5 时，y=1500+2.2×4+0.7×6×1000x=13000x+1500；
当 5≤x<10 时，y=1500+2×4+0.6×6×1000x=11600x+1500．
综上所述：y 与 x 之间的关系式为 y=13000x+1500,1≤x<511600x+1500,5≤x<10．
20. （1） 110
【解析】过点 P 作 PE∥AB，
∵ AB∥CD，
∴ PE∥AB∥CD，
∴ ∠A+∠APE=180∘，∠C+∠CPE=180∘，
∵ ∠PAB=130∘，∠PCD=120∘，
∴ ∠APE=50∘，∠CPE=60∘，
∴ ∠APC=∠APE+∠CPE=110∘．
（2） ∠APC=α+β，
理由：如图，过 P 作 PE∥AB 交 AC 于 E，
∵ AB∥CD，
∴ AB∥PE∥CD，
∴ ∠APE=α，∠CPE=β，
∴ ∠APC=∠APE+∠CPE=α+β．
（3） 如图所示，当 P 在 BD 延长线上时，
∠CPA=α−β；
如图所示，当 P 在 DB 延长线上时，
∠CPA=β−α．
第四部分
21. 258
【解析】a2m−3n=a2m÷a3n=am2÷an3=52÷23=258.
22. 23
【解析】根据题意得 xx+12=13，解得 x=6，再往盒中放进 18 颗同样的白色弹珠，接下来从盒中随机取出一颗弹珠，则取得白色弹珠的概率为 6+186+12+18=23．
23. 38.8
【解析】将 10,18 代入 y=ax 得：10a=18，解得：a=1.8，
故 y=1.8xx≤10，
将 10,18，15,31 代入 y=kx+b 得：10k+b=18,15k+b=31, 解得：k=2.6,b=−8,
故解析式为：y=2.6x−8x>10，
把 x=18 代入 y=2.6x−8=38.8．
24. 14a2
【解析】连接 BD，
∵△ABC 中，AB=BC=a（a 为常数），∠B=90∘，D 是 AC 的中点，
∴BD=CD，∠FBD=∠FCD=45∘，
∵CG⊥BE，
∴∠FBD=∠GCD=45∘，
∵DE⊥DF，
∴∠BDF=∠CDG，
在 △BDF 和 △CDG 中，
∠BDF=∠CDG,BD=CD,∠FBD=∠GCD,
∴△BDF≌△CDG，
S四边形DFCG=S△CDF+S△CDG=S△CDF+S△BDF=S△BCD=12S△ABC=14a2.
25. ①③④
【解析】① BE 平分 ∠ABC，
∴∠EBC=12∠ABC，
∵CE 平分 ∠ACD，
∴∠DCE=12ACD，
∵∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠DCE=∠CBE+∠BEC，
∴∠EBC+∠BEC=12∠BAC+∠ABC=∠EBC+12∠BAC，
∴∠BEC=12∠BAC，故①正确；
∵ ② △HEF 与 △CBF 只有两个角是相等的，能得出相似，但不含相等的边，
∴ 不能得出全等的结论，故②错误．
过点 E 作 EN⊥AC 于点 N，ED⊥BC 于点 D，EM⊥BA 于点 M，如图，
∵BE 平分 ∠ABC，
∴EM=ED，
∵CE 平分 ∠ACD，
∴EN=ED，
∴EN=EM，
∴AE 平分 ∠CAM，
设 ∠ACE=∠DCE=x，∠ABE=∠CBE=y，∠MAE=∠CAE=z，如图，
则 ∠BAC=180∘−2z，∠ACB=180−2x，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180∘，
∴2y+180∘−2z+180∘−2x=180∘，
∴x+z=y+90∘，
∵z=y+∠AEB，
∴x+y+∠AEB=y+90∘，
∴x+∠AEB=90∘，
即 ∠ACE+∠AEB=90∘，故④正确；
∵BE 平分 ∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵GE∥BC，
∴∠CBE=∠GEB，
∴∠ABE=∠GEB，
∴BG=GE，
同理 CH=HE，
∴BG−CH=GE−EH=GH，
故③正确．
第五部分
26. （1） x2+mx+1x2−2x+n=x4−2x3+nx2+mx3−2mx2+mnx+x2−2x+n=x4+−2+mx3+n−2m+1x2+mn−2x+n,
因为 x2+mx+1x2−2x+n 的展开式中不含 x2 和 x3 项，
所以 −2+m=0,n−2m+1=0, 得 m=2,n=3,
即 m 的值为 2，n 的值为 3．
（2） m+2n+1m+2n−1+2m2n−4mn2+m3÷−m=m+2n+1m+2n−1−2mn+4n2−m2=m+2n2−1−2mn+4n2−m2=m2+4mn+4n2−1−2mn+4n2−m2=2mn+8n2−1,
当 m=2，n=3 时，
原式=2×2×3+8×32−1=83．
27. （1） 200 km
【解析】由图象，得 A 港与 C 岛之间的距离为：200 km．
（2） “临沂舰”的航速：40÷0.5=80km/h，
“潍坊舰”的航速：160÷223=60km/h，
a=0.5+160÷80=2.5，
设 l潍 的解析式为 y2=k2x，l临 的解析式为 y1=k1x+b1，由图象得，
160=223k2，0=0.5k1+b1,160=2.5k1+b1,
解得：k2=60，k1=80,b1=−40,
∴y2=60x，y1=80x−40，
当 y1=y2 时，
60x=80x−40，
x=2，
∴ 相遇时行驶的时间为 2 h．
（3） 当 y2−y1=2 时，则 60x−80x−40=2，
解得 x=1910，
当 y1−y2=2 时，则 80x−40−60x=2，
解得 x=2110，
∴ 处于最佳通讯距离时的 x 的取值范围为 1910≤x≤2110．
28. （1） ①如图 1，
∵AF=CF，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠ADC=90∘，∠2+∠3=90∘，
∴∠3=∠ADC，
∴FD=FC，
∴AF=FD，
即点 F 是 AD 的中点；
② BE=2CF，BE⊥CF．理由如下：
∵△ABC 和 △DEC 都是等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，
在 △ADC 和 △BEC 中，
CA=CB,∠ACD=∠BCE,CD=CE.
∴△ADC≌△BEC，
∴AD=BE，∠1=∠CBE，
∵ AD=2CF，
∴BE=2CF，
∵ ∠2+∠3=90∘，
∴∠CBE+∠3=90∘，
∴CF⊥BE；
（2） 仍然有 BE=2CF，BE⊥CF．理由如下：
延长 CF 到 G 使 FG=CF，连接 AG，DG，如图 2，
∵AF=DF，FG=FC，
∴ 四边形 ACDG 为平行四边形，
∴AG=CD，AG∥CD，
∴∠GAC+∠ACD=180∘，即 ∠GAC=180∘−∠ACD，
∴CD=CE=AG，
∵△DEC 绕点 C 顺时针旋转 α 角（0<α<90∘），
∴∠BCD=α，
∴∠BCE=∠DCE+∠BCD=90∘+α=90∘+90∘−∠ACD=180∘−∠ACD，
∴∠GAC=∠ECB，
在 △AGC 和 △CEB 中，
AG=CE,∠GAC=∠ECB,AC=BC.
∴△AGC≌△CEB，
∴CG=BE，∠ACG=∠CBE，
∴BE=2CF，
∵ ∠ACG+∠BCF=90∘，
∴∠BCF+∠CBE=90∘，
∴CF⊥BE．