2019-2020学年江苏省南京市浦口区第二十九中学天润城分校九上期中数学试卷

这是一份2019-2020学年江苏省南京市浦口区第二十九中学天润城分校九上期中数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共6小题；共30分）
1. 一元二次方程 x2=1 的根是
A. x1=x2=1B. x1=x2=−1C. x1=−1，x2=1D. 无实数根

2. 已知 ⊙O 的半径为 5，点 A 与点 O 的距离为 3，则点 A 与 ⊙O 的位置关系是
A. 点 A 在 ⊙O 内B. 点 A 在 ⊙O 上
C. 点 A 在 ⊙O 外D. 不能确定

3. 有 15 位同学参加智力竞赛，已知他们的得分互不相同，取 8 位同学进入决赛，小明同学知道了自己的分数后，想知道自己能否进入决赛，还需知道这 15 位同学的分数的
A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 最高分数

4. 关于 x 的一元二次方程 x2−k+1x=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围为
A. k>−1B. k0，
∴k+12>0，解得 k≠−1．
5. B
【解析】完全重合的弧为等弧，长度相等的弧不一定是等弧，
∴ ①错误；
半圆包括圆弧，但不包括直径，
∴ ②错误；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，
∴ ③错误；
外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，
∴ ④正确．
6. C【解析】Rt△ABC 中，AC=4π，BC=3π，
∴AB=5π．
圆在三边运动自转周数：4π+3π+5π4π=3．
圆绕过三角形外角时，共自转了三角形外角和的度数：360∘，即一周．
可见，⊙O 自转了 3+1=4 周．
第二部分
7. 1
【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 4ax2+4x+1=0 有两相等实数根，
∴4a≠0 且 Δ=42−4⋅4a⋅1=0，解得：a=1．
8. 3
【解析】如图：连接 OA，作 OC⊥AB 于 C，如图．
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=12AB=4，
在 Rt△AOC 中，OC=OA2−AC2=52−42=3，
即点 O 到弦 AB 的距离为 3．
9. 1
【解析】∵ 实数 x，y 满足 x2+x−y+2=0，
∴y=x2+x+2，
∴x+y=x2+2x+2=x+12+1，
∴x+y 的最小值为 1．
10. 4
【解析】由题意可知，极差为：3−−1=4．
11. 4
【解析】设另一个根为 x1，则其中一个根为 2.5x1．
∵ 关于 x 的一元二次方程是 x2−7x+2m=0，
∴x1+2.5x1=7，x1×2x1=2m，解得：x1=2，m=4．
12. 2
【解析】根据题意得 3+4+5+x+6=5×5，解得：x=7．
则这组数据为 3，4，5，7，6 的平均数为 5．
∴ 这组数据的为
s2=153−52+4−52+5−52+7−52+6−52=2.
13. 12π cm
【解析】∵ 底面圆的半径为 2 cm，
∴ 底面周长为 4π cm．
∴ 侧面展开扇形的弧长为 4π cm．
设扇形的半径为 r．
∵ 圆锥的侧面展开图的圆心角是 120∘，
∴120πr180=4π，解得：r=6．
∴ 侧面积为 12×4π×6=12π cm．
14. 108∘ 或 72∘
【解析】有两种情况：
①如图 1．
∵∠AOC=108∘，
∴∠ADC=72∘．
∵ 四边形 ABCD 内接于 ⊙O，
∴∠B+∠D=180∘．
∴∠B=108∘；
②如图 2，同理可得 ∠B=72∘．
综上：∠B=108∘ 或 72∘．
15. −4,−6
【解析】过 A 作 AB⊥NM 于 B，连接 AM．
∵AB 过 A，
∴MB=NB．
∵ 半径为 5 的 ⊙A 与 y 轴相交于 M0,−3，N0,−9，
∴MN=9−3=6，AM=5．
∴BM=BN=3，OB=3+3=6．
由勾股定理得：AB=52−32=4．
∴ 点 A 的坐标为 −4,−6．
16. 30∘
【解析】如图，连接 BD，AC．
∵AB=BC=AD，
∴AB=BC=AD．
∴∠ABD=∠ADB=∠BAC．
∵∠ADB=∠DCP+∠P=∠DBP+40∘，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180∘，
∴∠DBP+40∘+∠DBP+∠DBP+40∘+∠DBP+40∘=180∘．
解得 ∠DBP=15∘．
∴CD 的度数为 30∘．
第三部分
17. （1）
∵x+2x−4=0,∴x+2=0 或 x−4=0.
解得：
x=−2 或 x=4.
（2）
3xx−1+2x−1=0.x−13x+2=0.x−1=0 或 3x+2=0.∴x1=1,x2=−23.
18. （1） 根据题意得：5×1.5+10×1.8+15×2.1÷30=1.9kg．
答：这次捕捞的每条鱼的平均质量是 1.9 kg．
（2） 1.9×2000=3800kg，3800×7.5=28500（元）．
答：小明家的收入大约有 28500 元．
19. （1） 8；9；5
【解析】甲的中位数是 8 环；
乙的中位数是 9 环；
乙的极差是：10−5=5．
（2） 选择甲参加射击比赛．
理由：由表格可知，甲和乙的平均数一样，但是甲的方差小，波动小，成绩比较稳定，故选择甲参加射击比赛．
20. ∵AB=CD，
∴弧AB=弧CD．
∴弧AC=弧BD．
∴∠AOC=∠BOD．
21. 如图，∠EPF 即为所求．
由作图可知：∠TEF=∠TFE=∠BET．
∴∠ETF+∠BEF=180∘．
由圆内接四边形的性质可知：∠ETF+∠EPF=180∘，
∴∠EPF=∠BEF，即 ∠PEF 即为所求．
22. （1） 连接 OM，ON，OA．
∵AB，AC 分别切小圆于点 M，N，
∴AM=AN，OM⊥AB，ON⊥AC．
∴AM=BM，AN=NC，
∴AB=AC．
（2） ∵ 弦 AB 切与小圆 ⊙O 相切于点 M，
∴OM⊥AB．
∴AM=BM=4．
∴ 在 Rt△AOM 中，OA2−OM2=AM2=16．
∴S圆环=πOA2−πOM2=πAM2=16π．
23. （1） 2x；60−x
【解析】由题意，可得商场日销售量增加 2x 件，每件商品盈利 60−x 元．
（2） 由题意得：
60−x80+2x=4950.
化简得：
x2−20x+75=0.
解得：
x1=5,x2=15.∵
该商场为了尽快减少库存，
∴x=5 舍去，
∴x=15．
答：每件商品降价 15 元时，商场日盈利可达到 4950 元．
24. （1） ∵△ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形，BC=5，
∴AB2+AC2=25．
∵AB，AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x2−2k+3x+k2+3k+2=0 的两个实数根，
∴AB+AC=2k+3，AB⋅AC=k2+3k+2，
∴AB2+AC2=AB+AC2−2AB⋅AC，
即 2k+32−2k2+3k+2=25，解得 k=2 或 −5（舍去负数）．
∴k=2．
（2） △ABC 是等腰三角形．
① AB=AC 时，Δ=b2−4ac=0，
2k+32−4k2+3k+2=0，方程无解，
∴k 不存在；
② AB=BC 时，可知 AB=BC=5，
根据韦达定理：AC+5=2k+3，5AC=k2+3k+2，解得：k=3 或 4．
当 k=3 时，AC=4，此时 △ABC 的周长为 5+5+4=14；
当 k=4 时，AC=6，此时 △ABC 的周长为 5+5+6=16．
∴ 当 k=3 或 4，△ABC 的周长为 14 或 16．
25. ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AB=CD=10，BC=AD=4，∠A=∠C=90∘，AB∥CD．
∴∠CQB=∠PBQ．
∵△BPQ 是直角三角形，
∴ ①如图 1，∠PQB=90∘ 时，
过 P 作 PE⊥CD 于 E，则 DE=AP，PE=AD=4，
∵∠PEQ=∠BQP=∠C=90∘，
∴∠EPQ+∠PQE=∠PQE+∠CQB=90∘．
∴∠EPQ=∠CQB．
∴△PQE∽△QBC．
∴PECa=EGBC．
∴42t=10−t−2t4，解得：t=2，t=43；
②如图 2，当 ∠BPQ=90∘ 时，
∴∠APQ=90∘，
∴ 四边形 APQD 和四边形 PBCQ 是矩形．
∴CQ=PB．
∴10−t=2t，解得：t=103．
综上所述，P，Q 两点同时出发，43 s 或 2 s 或 103 秒后以 △BPQ 是直角三角形．
26. （1） 如图 1 中，连接 OC．
∵∠ABC=90∘，∠A=30∘，
∴∠ACB=60∘．
∵OD 垂直平分线段 AC，
∴OA=OC．
∴∠A=∠OCA=30∘．
∴∠OCB=∠OCD=30∘．
∵∠ODC=∠OBC=90∘，OC=OC，
∴△ODC≌△OBCAAS．
∴OD=OB．
∴AC 是 ⊙O 的切线．
（2） ①如图 1 中．
∵DP∥BC，
∴∠PDB=∠DBC．
∵∠ABC=90∘，AD=DC，
∴BD=DC=AD．
∵∠DCB=60∘，
∴△BDC 是等边三角形．
∴∠DBC=60∘．
∴∠BDP=60∘．
② CQ 的最小值为 13−1．
【解析】②如图 2 中，连接 OP，取 OB 的中点 J，连接 JQ．
∵BE=4，
∴OB=OE=OD=OP=2，JO=JB=1．
∵∠OBC=90∘，∠OCB=30∘，
∴BC=3OB=23．
∴JC=BC2+BJ2=232+12=13．
∵QP=QB，JO=JB，
∴JQ=12OP=1．
∵CQ≥JC−JQ，
∴CQ≥13−1．
∴CQ 的最小值为 13−1．