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2018年北京市怀柔区中考一模数学试卷
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这是一份2018年北京市怀柔区中考一模数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图所示，比较线段 a 和线段 b 的长度，结果正确的是
A. a>bB. a
2. 若代数式 2xx−3 有意义，则实数 x 的取值范围是
A. x=0B. x≠3C. x≠0D. x=3
3. 如图是由 4 个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是
A. B.
C. D.
4. 如图所示，数轴上点 A 所表示的数的绝对值为
A. 2B. −2C. ±2D. 以上均不对
5. 中国结是一种我国特有的手工编织工艺品，它的造型独特、绚丽多彩、寓意深刻、内涵丰富，是我国传统吉祥装饰物品．下列中国结图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.
6. 如图是某品牌毛衣和衬衫 2016 年 9 月至 2017 年 4 月在怀柔京北大世界的销量统计图．根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是
A. 9 月毛衣的销量最低，10 月衬衫的销量最高
B. 与 10 月相比，11 月时，毛衣的销量有所增长，衬衫的销量有所下降
C. 9 月 ∼11 月毛衣和衬衫的销量逐月增长
D. 2 月毛衣的销售量是衬衫销售量的 7 倍左右
7. 2017 年怀柔区中考体育加试女子 800 米耐力测试中，同时起跑的李丽和吴梅所跑的路程 S（米）与所用时间 t（秒）之间的函数图象分别为线段 OA 和折线 OBCD．下列说法正确的是
A. 李丽的速度随时间的增大而增大
B. 吴梅的平均速度比李丽的平均速度大
C. 在起跑后 180 秒时，两人相遇
D. 在起跑后 50 秒时，吴梅在李丽的前面
8. 一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是平的．将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实验数据如表：
实验次数n2060100120140160500100020005000"兵"字面朝上次数m14385266788828055011002750"兵"字面朝上频率
下面有三个推断：① 投掷 1000 次时，“兵”字面朝上的次数是 550，所以“兵”字面朝上的概率是 0.55；② 随着实验次数的增加，“兵”字面朝上的频率总在 0.55 附近，显示出一定的稳定性，可以估计“兵”字面朝上的概率是 0.55；③ 当实验次数为 200 次时，“兵”字面朝上的频率一定是 0.55，其中合理的是
A. ①B. ②C. ①②D. ①③
二、填空题（共8小题；共40分）
9. 比较大小：11 3．
10. 若正多边形的内角和为 720∘，则它的边数为 ．
11. 如果 x+y−1=0，那么代数式 x−y2x÷x−yx 的值是 ．
12. 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AC，BD 相交于点 E，若 ABCD=14，则 AEAC= ．
13. 如图，这是怀柔区部分景点的分布图，若表示百泉山风景区的点的坐标为 0,1，表示慕田峪长城的点的坐标为 −5,−1，则表示雁栖湖的点的坐标为 ．
14. 在一次数学测试中，同年级人数相同的甲、乙两个班的成绩统计如表：
班级平均分中位数方差甲班乙班
数学老师让同学们针对统计的结果进行一下评估，学生的评估结果如下：
①这次数学测试成绩中，甲、乙两个班的平均水平相同；
②甲班学生中数学成绩 95 分及以上的人数少；
③乙班学生的数学成绩比较整齐，分化较小．
上述评估中，正确的是 .（填序号）
15. 被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何?”
译文：“今有 5 只雀、 6 只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5 只雀、 6 只燕重量为 1 斤．问雀、燕毎只各重多少斤?”设每只雀重 x 斤，每只燕重 y 斤，可列方程组为 ．
16. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：
已知：△ABC．
求作：△ABC 的内切圆．
小明的作法如下：
如图，
（1）作 ∠ABC，∠ACB 的平分线 BE 和 CF，两线相交于点 D；
（2）过点 D 作 OD⊥BC，垂足为点 D；
（3）点 D 为圆心，OD 长为单位作 ⊙D．
所以，⊙D 即为所求作的圆．
请回答：该尺规作图的依据是 ．
三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：∣1−3∣−π−30+3tan30∘−12−1．
18. 解不等式组：3x−1<2x,x3−1+x2<1.
19. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，每个小正方形的边长都为 1，△DEF 和 △ABC 的顶点都在格点上，回答下列问题：
（1）△DEF 可以看作是 △ABC 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由 △ABC 得到 △DEF 的过程： ；
（2）画出 △ABC 绕点 B 逆时针旋转 90∘ 的图形 △AʹBCʹ；
（3）在（2）中，点 C 所形成的路径的长度为 ．
20. 已知关于 x 的方程 x2−6mx+9m2−9=0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的两个根分别为 x1，x2，其中 x1>x2，若 x1=2x2，求 m 的值．
21. 直角三角形 ABC 中，∠BAC=90∘，D 是斜边 BC 上一点，且 AB=AD，过点 C 作 CE⊥AD，交 AD 的延长线于点 E，交 AB 延长线于点 F．
（1）求证：∠ACB=∠DCE；
（2）若 ∠BAD=45∘，AF=2+2，过点 B 作 BG⊥FC 于点 G，连接 DG．依题意补全图形，并求四边形 ABGD 的面积．
22. 在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=kx+b 的图象与 y 轴交于点 B0,1，与反比例函数 y=mx 的图象交于点 A3,−2．
（1）求反比例函数的表达式和一次函数表达式；
（2）若点 C 是 y 轴上一点，且 BC=BA，直接写出点 C 的坐标．
23. 如图，AC 是 ⊙O 的直径，点 B 是 ⊙O 内一点，且 BA=BC，连接 BO 并延长线交 ⊙O 于点 D，过点 C 作 ⊙O 的切线 CE，且 BC 平分 ∠DBE．
（1）求证：BE=CE；
（2）若 ⊙O 的直径长 8，sin∠BCE=45，求 BE 的长．
24. 某校初三体育考试选择项目中，选择篮球项目和排球项目的学生比较多．为了解学生掌握篮球技巧和排球技巧的水平情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
收集数据：从选择篮球和排球的学生中各随机抽取 16 人，进行了体育测试，测试成绩（十分制）如下：
排球
篮球
整理、描述数据：按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
（说明：成绩 8.5 分及以上为优秀，6 分及以上为合格，6 分以下为不合格．）
分析数据：两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：
项目平均数中位数众数排球篮球
得出结论：
（1）如果全校有 160 人选择篮球项目，达到优秀的人数约为 人；
（2）初二年级的小明和小军看到上面数据后，小明说：排球项目整体水平较高．小军说：篮球项目整体水平较高．
你同意 的看法，理由为 ．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
25. 如图，在等边 △ABC 中，BC=5 cm，点 D 是线段 BC 上的一动点，连接 AD，过点 D 作 DE⊥AD，垂足为 D，交射线 AC 与点 E，设 BD 为 x cm，CE 为 y cm．
小聪根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小聪的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：
（说明：补全表格上相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当线段 BD 是线段 CE 长的 2 倍时，BD 的长度约为 cm．
26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=nx2−4nx+4n−1n≠0，与 x 轴交于点 C，D（点 C 在点 D 的左侧），与 y 轴交于点 A．
（1）求抛物线顶点 M 的坐标；
（2）若点 A 的坐标为 0,3，AB∥x 轴，交抛物线于点 B，求点 B 的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线在 B，C 两点之间的部分沿 y 轴翻折，翻折后的图象记为 G，若直线 y=12x+m 与图象 G 有一个交点，结合函数的图象，求 m 的取值范围．
27. 如图，在 △ABC 中，∠A=90∘，AB=AC，点 D 是 BC 上任意一点，将线段 AD 绕点 A 逆时针方向旋转 90∘，得到线段 AE，连接 EC．
（1）依题意补全图形；
（2）求 ∠ECD 的度数；
（3）若 ∠CAE=7.5∘，AD=1，将射线 DA 绕点 D 顺时针旋转 60∘ 交 EC 的延长线于点 F，请写出求 AF 长的思路．
28. P 是 ⊙C 外一点，若射线 PC 交 ⊙C 于点 A，B 两点，则给出如下定义：若 0（1）当 ⊙O 的半径为 1 时．
①在点 P12,0，P20,2，P34,0 中，⊙O 的“特征点”是 ；
②点 P 在直线 y=x+b 上，若点 P 为 ⊙O 的“特征点”，求 b 的取值范围；
（2）⊙C 的圆心在 x 轴上，半径为 1，直线 y=x+1 与 x 轴，y 轴分别交于点 M，N，若线段 MN 上的所有点都不是 ⊙C 的“特征点”，直接写出点 C 的横坐标的取值范围．
答案
第一部分
1. B
2. B
3. A【解析】从左边看得到的是两个叠在一起的正方形．
4. A
5. A
6. C
7. D
8. B
第二部分
9. >
10. 6
11. 1
12. 15
13. 1,−3
14. ①③
15. 4x+y=5y+x,5x+6y=1
16. 到角两边距离相等的点在角平分上；两点确定一条直线；角平分上的点到角两边的距离相等；圆的定义；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
第三部分
17. 原式=3−1−1+3×33−2=23−4.
18.
3x−1<2x, ⋯⋯①x3−1+x2<1. ⋯⋯②
由 ① 得：
x<3.
由 ② 得：
x>−9.
原不等式组的解集为
−919. （1） 答案不唯一．例如：先沿 y 轴翻折，再向右平移 1 个单位，向下平移 3 个单位
【解析】先向左平移 1 个单位，向下平移 3 个单位，再沿 y 轴翻折．
（2） 如图所示．
（3） π
20. （1） ∵Δ=−6m2−49m2−9=36m2−36m2+36=36>0，
∴ 方程有两个不相等的实数根．
（2） x=6m±362=6m±62=3m±3．
∵3m+3>3m−3，
∴x1=3m+3，x2=3m−3，
∴3m+3=23m−3．
∴m=3．
21. （1） ∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ADB=∠CDE，
∴∠ABD=∠CDE．
∵∠BAC=90∘，
∴∠ABD+∠ACB=90∘．
∵CE⊥AE，
∴∠DCE+∠CDE=90∘．
∴∠ACB=∠DCE．
（2） 补全图形，如图所示：
∵∠BAD=45∘，∠BAC=90∘，
∴∠BAE=∠CAE=45∘，∠F=∠ACF=45∘，
∵AE⊥CF，BG⊥CF，
∴AD∥BG．
∵BG⊥CF，∠BAC=90∘，且 ∠ACB=∠DCE，
∴AB=BG．
∵AB=AD，
∴BG=AD．
∴ 四边形 ABGD 是平行四边形．
∵AB=AD，
∴ 平行四边形 ABGD 是菱形．
设 AB=BG=GD=AD=x，
∴BF=2BG=2x．
∴AB+BF=x+2x=2+2．
∴x=2，过点 B 作 BH⊥AD 于 H．
∴BH=22AB=1．
∴S四边形ABDG=AD×BH=2．
22. （1） ∵ 双曲线 y=mx 过 A3,−2，将 A3,−2 代入 y=mx，
解得：m=−6．
∴ 所求反比例函数表达式为：y=−6x．
∵ 点 A3,−2，点 B0,1 在直线 y=kx+b 上，
∴−2=3k+1．
∴k=−1．
∴ 所求一次函数表达式为 y=−x+1．
（2） C0,32+1 或 C0,1−32．
23. （1） ∵BA=BC，AO=CO，
∴BD⊥AC．
∵CE 是 ⊙O 的切线，
∴CE⊥AC．
∴CE∥BD．
∴∠ECB=∠CBD．
∵BC 平分 ∠DBE，
∴∠CBE=∠CBD．
∴∠ECB=∠CBE．
∴BE=CE．
（2） 作 EF⊥BC 于 F．
∵⊙O 的直径长 8，
∴CO=4．
∴sin∠CBD=sin∠BCE=45=OCBC，
∴BC=5，OB=3．
∵BE=CE，
∴BF=12BC=52．
∵∠BOC=∠BFE=90∘，∠CBO=∠EBF，
∴△CBO∽△EBF．
∴BEBC=BFOB．
∴BE=256．
24. （1） 补全表格：
130
（2） 答案不唯一，理由需支持判断结论
25. （1） 1.1
（2） 如图：
（3） 1.7
26. （1） M2,−1．
（2） B4,3．
（3） ∵ 抛物线 y=nx2−4nx+4n−1m≠0 与 y 轴交于点 A0,3，
∴4n−1=3．
∴n=1．
∴ 抛物线的表达式为 y=x2−4x+3，
由 12x+m=x2+4x+3，由 Δ=0，得：m=−116，
∵ 抛物线 y=x2−4x+3 与 x 轴的交点 C 的坐标为 1,0，
∴ 点 C 关于 y 轴的对称点 C1 的坐标为 −1,0．
把 −1,0 代入 y=12x+m，得：m=12；
把 −4,3 代入 y=12x+m，得：m=5．
∴ 所求 m 的取值范围是 m=−116 或 1227. （1） 如图：
（2） ∵ 线段 AD 绕点 A 逆时针方向旋转 90∘，得到线段 AE．
∴∠DAE=90∘，AD=AE．
∴∠DAC+∠CAE=90∘．
∵∠BAC=90∘，
∴∠BAD+∠DAC=90∘．
∴∠BAD=∠CAE．
又 ∵AB=AC，
∴△ABD≌△ACE．
∴∠B=∠ACE．
∵△ABC 中，∠A=90∘，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=∠ACE=45∘．
∴∠ECD=∠ACB+∠ACE=90∘．
（3） （i）连接 DE，
由于 △ADE 为等腰直角三角形，
所以可求 DE=2；
（ii）由 ∠ADF=60∘，∠CAE=7.5∘，可求 ∠EDC 的度数和 ∠CDF 的度数，从而可知 DF 的长；
（iii）过点 A 作 AH⊥DF 于点 H，
在 Rt△ADH 中，由 ∠ADF=60∘，AD=1 可求 AH，DH 的长；
（iv）由 DF，DH 的长可求 HF 的长；
（v）在 Rt△AHF 中，由 AH 和 HF，利用勾股定理可求 AF 的长．
28. （1） ① P12,0，P20,2
②如图，在 y=x+b 上，若存在 ⊙O 的“特征点”点 P，点 O 到直线 y=x+b 的距离 m≤2．
直线 y=x+b1 交 y 轴于点 E，过 O 作 OH⊥直线y=x+b1 于点 H．
∵OH=2，在 Rt△DOE 中，可知 OE=22．
可得 b1=22，同理可得 b2=−22．
∴b 的取值范围是：−22≤b≤22．
（2） x>3 或 x<−3 或 x=0．
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图所示，比较线段 a 和线段 b 的长度，结果正确的是
A. a>bB. a
2. 若代数式 2xx−3 有意义，则实数 x 的取值范围是
A. x=0B. x≠3C. x≠0D. x=3
3. 如图是由 4 个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是
A. B.
C. D.
4. 如图所示，数轴上点 A 所表示的数的绝对值为
A. 2B. −2C. ±2D. 以上均不对
5. 中国结是一种我国特有的手工编织工艺品，它的造型独特、绚丽多彩、寓意深刻、内涵丰富，是我国传统吉祥装饰物品．下列中国结图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.
6. 如图是某品牌毛衣和衬衫 2016 年 9 月至 2017 年 4 月在怀柔京北大世界的销量统计图．根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是
A. 9 月毛衣的销量最低，10 月衬衫的销量最高
B. 与 10 月相比，11 月时，毛衣的销量有所增长，衬衫的销量有所下降
C. 9 月 ∼11 月毛衣和衬衫的销量逐月增长
D. 2 月毛衣的销售量是衬衫销售量的 7 倍左右
7. 2017 年怀柔区中考体育加试女子 800 米耐力测试中，同时起跑的李丽和吴梅所跑的路程 S（米）与所用时间 t（秒）之间的函数图象分别为线段 OA 和折线 OBCD．下列说法正确的是
A. 李丽的速度随时间的增大而增大
B. 吴梅的平均速度比李丽的平均速度大
C. 在起跑后 180 秒时，两人相遇
D. 在起跑后 50 秒时，吴梅在李丽的前面
8. 一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是平的．将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实验数据如表：
实验次数n2060100120140160500100020005000"兵"字面朝上次数m14385266788828055011002750"兵"字面朝上频率
下面有三个推断：① 投掷 1000 次时，“兵”字面朝上的次数是 550，所以“兵”字面朝上的概率是 0.55；② 随着实验次数的增加，“兵”字面朝上的频率总在 0.55 附近，显示出一定的稳定性，可以估计“兵”字面朝上的概率是 0.55；③ 当实验次数为 200 次时，“兵”字面朝上的频率一定是 0.55，其中合理的是
A. ①B. ②C. ①②D. ①③
二、填空题（共8小题；共40分）
9. 比较大小：11 3．
10. 若正多边形的内角和为 720∘，则它的边数为 ．
11. 如果 x+y−1=0，那么代数式 x−y2x÷x−yx 的值是 ．
12. 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AC，BD 相交于点 E，若 ABCD=14，则 AEAC= ．
13. 如图，这是怀柔区部分景点的分布图，若表示百泉山风景区的点的坐标为 0,1，表示慕田峪长城的点的坐标为 −5,−1，则表示雁栖湖的点的坐标为 ．
14. 在一次数学测试中，同年级人数相同的甲、乙两个班的成绩统计如表：
班级平均分中位数方差甲班乙班
数学老师让同学们针对统计的结果进行一下评估，学生的评估结果如下：
①这次数学测试成绩中，甲、乙两个班的平均水平相同；
②甲班学生中数学成绩 95 分及以上的人数少；
③乙班学生的数学成绩比较整齐，分化较小．
上述评估中，正确的是 .（填序号）
15. 被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何?”
译文：“今有 5 只雀、 6 只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5 只雀、 6 只燕重量为 1 斤．问雀、燕毎只各重多少斤?”设每只雀重 x 斤，每只燕重 y 斤，可列方程组为 ．
16. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：
已知：△ABC．
求作：△ABC 的内切圆．
小明的作法如下：
如图，
（1）作 ∠ABC，∠ACB 的平分线 BE 和 CF，两线相交于点 D；
（2）过点 D 作 OD⊥BC，垂足为点 D；
（3）点 D 为圆心，OD 长为单位作 ⊙D．
所以，⊙D 即为所求作的圆．
请回答：该尺规作图的依据是 ．
三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：∣1−3∣−π−30+3tan30∘−12−1．
18. 解不等式组：3x−1<2x,x3−1+x2<1.
19. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，每个小正方形的边长都为 1，△DEF 和 △ABC 的顶点都在格点上，回答下列问题：
（1）△DEF 可以看作是 △ABC 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由 △ABC 得到 △DEF 的过程： ；
（2）画出 △ABC 绕点 B 逆时针旋转 90∘ 的图形 △AʹBCʹ；
（3）在（2）中，点 C 所形成的路径的长度为 ．
20. 已知关于 x 的方程 x2−6mx+9m2−9=0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的两个根分别为 x1，x2，其中 x1>x2，若 x1=2x2，求 m 的值．
21. 直角三角形 ABC 中，∠BAC=90∘，D 是斜边 BC 上一点，且 AB=AD，过点 C 作 CE⊥AD，交 AD 的延长线于点 E，交 AB 延长线于点 F．
（1）求证：∠ACB=∠DCE；
（2）若 ∠BAD=45∘，AF=2+2，过点 B 作 BG⊥FC 于点 G，连接 DG．依题意补全图形，并求四边形 ABGD 的面积．
22. 在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=kx+b 的图象与 y 轴交于点 B0,1，与反比例函数 y=mx 的图象交于点 A3,−2．
（1）求反比例函数的表达式和一次函数表达式；
（2）若点 C 是 y 轴上一点，且 BC=BA，直接写出点 C 的坐标．
23. 如图，AC 是 ⊙O 的直径，点 B 是 ⊙O 内一点，且 BA=BC，连接 BO 并延长线交 ⊙O 于点 D，过点 C 作 ⊙O 的切线 CE，且 BC 平分 ∠DBE．
（1）求证：BE=CE；
（2）若 ⊙O 的直径长 8，sin∠BCE=45，求 BE 的长．
24. 某校初三体育考试选择项目中，选择篮球项目和排球项目的学生比较多．为了解学生掌握篮球技巧和排球技巧的水平情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
收集数据：从选择篮球和排球的学生中各随机抽取 16 人，进行了体育测试，测试成绩（十分制）如下：
排球
篮球
整理、描述数据：按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
（说明：成绩 8.5 分及以上为优秀，6 分及以上为合格，6 分以下为不合格．）
分析数据：两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：
项目平均数中位数众数排球篮球
得出结论：
（1）如果全校有 160 人选择篮球项目，达到优秀的人数约为 人；
（2）初二年级的小明和小军看到上面数据后，小明说：排球项目整体水平较高．小军说：篮球项目整体水平较高．
你同意 的看法，理由为 ．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
25. 如图，在等边 △ABC 中，BC=5 cm，点 D 是线段 BC 上的一动点，连接 AD，过点 D 作 DE⊥AD，垂足为 D，交射线 AC 与点 E，设 BD 为 x cm，CE 为 y cm．
小聪根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小聪的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：
（说明：补全表格上相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当线段 BD 是线段 CE 长的 2 倍时，BD 的长度约为 cm．
26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=nx2−4nx+4n−1n≠0，与 x 轴交于点 C，D（点 C 在点 D 的左侧），与 y 轴交于点 A．
（1）求抛物线顶点 M 的坐标；
（2）若点 A 的坐标为 0,3，AB∥x 轴，交抛物线于点 B，求点 B 的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线在 B，C 两点之间的部分沿 y 轴翻折，翻折后的图象记为 G，若直线 y=12x+m 与图象 G 有一个交点，结合函数的图象，求 m 的取值范围．
27. 如图，在 △ABC 中，∠A=90∘，AB=AC，点 D 是 BC 上任意一点，将线段 AD 绕点 A 逆时针方向旋转 90∘，得到线段 AE，连接 EC．
（1）依题意补全图形；
（2）求 ∠ECD 的度数；
（3）若 ∠CAE=7.5∘，AD=1，将射线 DA 绕点 D 顺时针旋转 60∘ 交 EC 的延长线于点 F，请写出求 AF 长的思路．
28. P 是 ⊙C 外一点，若射线 PC 交 ⊙C 于点 A，B 两点，则给出如下定义：若 0
①在点 P12,0，P20,2，P34,0 中，⊙O 的“特征点”是 ；
②点 P 在直线 y=x+b 上，若点 P 为 ⊙O 的“特征点”，求 b 的取值范围；
（2）⊙C 的圆心在 x 轴上，半径为 1，直线 y=x+1 与 x 轴，y 轴分别交于点 M，N，若线段 MN 上的所有点都不是 ⊙C 的“特征点”，直接写出点 C 的横坐标的取值范围．
答案
第一部分
1. B
2. B
3. A【解析】从左边看得到的是两个叠在一起的正方形．
4. A
5. A
6. C
7. D
8. B
第二部分
9. >
10. 6
11. 1
12. 15
13. 1,−3
14. ①③
15. 4x+y=5y+x,5x+6y=1
16. 到角两边距离相等的点在角平分上；两点确定一条直线；角平分上的点到角两边的距离相等；圆的定义；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
第三部分
17. 原式=3−1−1+3×33−2=23−4.
18.
3x−1<2x, ⋯⋯①x3−1+x2<1. ⋯⋯②
由 ① 得：
x<3.
由 ② 得：
x>−9.
原不等式组的解集为
−9
【解析】先向左平移 1 个单位，向下平移 3 个单位，再沿 y 轴翻折．
（2） 如图所示．
（3） π
20. （1） ∵Δ=−6m2−49m2−9=36m2−36m2+36=36>0，
∴ 方程有两个不相等的实数根．
（2） x=6m±362=6m±62=3m±3．
∵3m+3>3m−3，
∴x1=3m+3，x2=3m−3，
∴3m+3=23m−3．
∴m=3．
21. （1） ∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ADB=∠CDE，
∴∠ABD=∠CDE．
∵∠BAC=90∘，
∴∠ABD+∠ACB=90∘．
∵CE⊥AE，
∴∠DCE+∠CDE=90∘．
∴∠ACB=∠DCE．
（2） 补全图形，如图所示：
∵∠BAD=45∘，∠BAC=90∘，
∴∠BAE=∠CAE=45∘，∠F=∠ACF=45∘，
∵AE⊥CF，BG⊥CF，
∴AD∥BG．
∵BG⊥CF，∠BAC=90∘，且 ∠ACB=∠DCE，
∴AB=BG．
∵AB=AD，
∴BG=AD．
∴ 四边形 ABGD 是平行四边形．
∵AB=AD，
∴ 平行四边形 ABGD 是菱形．
设 AB=BG=GD=AD=x，
∴BF=2BG=2x．
∴AB+BF=x+2x=2+2．
∴x=2，过点 B 作 BH⊥AD 于 H．
∴BH=22AB=1．
∴S四边形ABDG=AD×BH=2．
22. （1） ∵ 双曲线 y=mx 过 A3,−2，将 A3,−2 代入 y=mx，
解得：m=−6．
∴ 所求反比例函数表达式为：y=−6x．
∵ 点 A3,−2，点 B0,1 在直线 y=kx+b 上，
∴−2=3k+1．
∴k=−1．
∴ 所求一次函数表达式为 y=−x+1．
（2） C0,32+1 或 C0,1−32．
23. （1） ∵BA=BC，AO=CO，
∴BD⊥AC．
∵CE 是 ⊙O 的切线，
∴CE⊥AC．
∴CE∥BD．
∴∠ECB=∠CBD．
∵BC 平分 ∠DBE，
∴∠CBE=∠CBD．
∴∠ECB=∠CBE．
∴BE=CE．
（2） 作 EF⊥BC 于 F．
∵⊙O 的直径长 8，
∴CO=4．
∴sin∠CBD=sin∠BCE=45=OCBC，
∴BC=5，OB=3．
∵BE=CE，
∴BF=12BC=52．
∵∠BOC=∠BFE=90∘，∠CBO=∠EBF，
∴△CBO∽△EBF．
∴BEBC=BFOB．
∴BE=256．
24. （1） 补全表格：
130
（2） 答案不唯一，理由需支持判断结论
25. （1） 1.1
（2） 如图：
（3） 1.7
26. （1） M2,−1．
（2） B4,3．
（3） ∵ 抛物线 y=nx2−4nx+4n−1m≠0 与 y 轴交于点 A0,3，
∴4n−1=3．
∴n=1．
∴ 抛物线的表达式为 y=x2−4x+3，
由 12x+m=x2+4x+3，由 Δ=0，得：m=−116，
∵ 抛物线 y=x2−4x+3 与 x 轴的交点 C 的坐标为 1,0，
∴ 点 C 关于 y 轴的对称点 C1 的坐标为 −1,0．
把 −1,0 代入 y=12x+m，得：m=12；
把 −4,3 代入 y=12x+m，得：m=5．
∴ 所求 m 的取值范围是 m=−116 或 12
（2） ∵ 线段 AD 绕点 A 逆时针方向旋转 90∘，得到线段 AE．
∴∠DAE=90∘，AD=AE．
∴∠DAC+∠CAE=90∘．
∵∠BAC=90∘，
∴∠BAD+∠DAC=90∘．
∴∠BAD=∠CAE．
又 ∵AB=AC，
∴△ABD≌△ACE．
∴∠B=∠ACE．
∵△ABC 中，∠A=90∘，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=∠ACE=45∘．
∴∠ECD=∠ACB+∠ACE=90∘．
（3） （i）连接 DE，
由于 △ADE 为等腰直角三角形，
所以可求 DE=2；
（ii）由 ∠ADF=60∘，∠CAE=7.5∘，可求 ∠EDC 的度数和 ∠CDF 的度数，从而可知 DF 的长；
（iii）过点 A 作 AH⊥DF 于点 H，
在 Rt△ADH 中，由 ∠ADF=60∘，AD=1 可求 AH，DH 的长；
（iv）由 DF，DH 的长可求 HF 的长；
（v）在 Rt△AHF 中，由 AH 和 HF，利用勾股定理可求 AF 的长．
28. （1） ① P12,0，P20,2
②如图，在 y=x+b 上，若存在 ⊙O 的“特征点”点 P，点 O 到直线 y=x+b 的距离 m≤2．
直线 y=x+b1 交 y 轴于点 E，过 O 作 OH⊥直线y=x+b1 于点 H．
∵OH=2，在 Rt△DOE 中，可知 OE=22．
可得 b1=22，同理可得 b2=−22．
∴b 的取值范围是：−22≤b≤22．
（2） x>3 或 x<−3 或 x=0．
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