2018年广东省深圳市中考一模数学试卷（期末）

这是一份2018年广东省深圳市中考一模数学试卷（期末），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 2018 的相反数是
A. −2018B. 12018C. 2018D. −12018

2. 下列各图中，可以是一个正方体的平面展开图的是
A. B.
C. D.

3. 下列计算结果正确的是
A. a2⋅a3=a6B. a2+a3=2a5
C. a+b2=a2+2ab+b2D. a2b3+ab÷ab=ab2

4. 据报道，我国自行研发的第一艘 001A 型航空母舰吨位达到 6.5 万吨，造价 30 亿美元，用科学记数法表示 6.5 万吨为
A. 6.5×104 吨B. 0.65×104 吨C. 65×103 吨D. 6.5×103 吨

5. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

6. 如图，一只蚂蚁以均匀的速度沿台阶 A1⇒A2⇒A3⇒A4⇒A5 爬行，那么蚂蚁爬行的高度 h 随时间 t 变化的图象大致是
A. B.
C. D.

7. 我市某中学九年级(1)班开展“阳光体育运动”，决定自筹资金为班级购买体育器材，全班50名同学筹款情况如下表：筹款金额(元)51015202530人数371111135则该班同学筹款金额的众数和中位数分别是( )
A. 11，20B. 25，11C. 20，25D. 25，20

8. 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=23，以点 B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交 AB 于点 D，若点 D 为 AB 的中点，则阴影部分的面积是
A. 23−23πB. 43−23πC. 23−43πD. 23π

9. 如图所示，在 Rt△ACB 中，∠ACB=90∘，BC=12AC，以点 B 为圆心，BC 长为半径做弧，交 AB 于点 D，再以点 A 为圆心，AD 长为半径画弧，交 AC 于点 E，下列结论错误的是
A. BCAB=55B. AEAC=5−12C. ECAC=3+52D. ACAB=255

10. 下列说法正确的是
A. 真命题的逆命题都是真命题
B. 在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等
C. 等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合
D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形

11. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，它与 x 轴的两个交点分别是 −1,0，3,0，对于下列命题：① b−2a=0；② abc<0；③ a+b+c<0；④ 8a+c>0．其中正确的有
A. 3 个B. 2 个C. 1 个D. 0 个

12. 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，BE⊥AC，垂足为 F，连接 DF，下列四个结论：① △AEF∽△CAB；② tan∠CAD=2；③ DF=CD；④若 AF=1，则 BF=2．其中正确的是
A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②④

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 关于 x 的一元二次方程 x2+4x+m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值为 ．

14. 在一个不透明的空袋子里，放入仅颜色不同的 2 个红球和 1 个白球，从中随机摸出 1 个球后不放回，再从中随机摸出 1 个球，两次都摸到红球的概率是 ．

15. 如图，直线y=13x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，△BOC与△BʹOʹCʹ是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则点Bʹ的坐标为 ．

16. 如图，点 Aa,3，Bb,1 都在双曲线 y=3x 上，点 C，D 分别是 x，y 轴上的动点，则四边形 ABCD 的周长最小值为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 计算：3−20+13−1+4sin60∘−∣−12∣．

18. 先化简，再求值：1x+y+1x−y÷1x+y，其中，x=5+2，y=5−2．

19. 某校为了解学生的安全意识情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调査，根据调査结果，把学生的安全意识分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次，并绘制成如下两幅尚不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查一共抽取了 名学生，其中安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的百分比是 ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）该校有 1800 名学生，现要对安全意识为“淡薄”、“一般”的学生强化安全教育，根据调査结果，估计全校需要强化安全教育的学生约有 名．

20. 有一家苗圃计划种植桃树和柏树，根据市场调查与预测，种植桃树的利润 y1（万元）与投资成本 x（万元）满足如图 1 所示的二次函数 y1=ax2；种植柏树的利润 y2（万元）与投资成本 x（万元）满足如图 2 所示的正比例函数 y2=kx．
（1）分别求出利润 y1（万元）和利润 y2（万元）关于投资成本 x（万元）的函数关系式；
（2）如果这家苗圃以 10 万元资金投入种植桃树和柏树，桃树的投资成本不低于 2 万元且不高于 8 万元，苗圃至少获得多少利润?最多能获得多少利润?

21. 如图，⊙O 的直径 AB=10，弦 AC=6，∠ACB 的平分线交 ⊙O 于点 D，过点 D 作 DE∥AB 交 CA 延长线于点 E，连接 AD，BD．
（1）△ABD 的面积是 ；
（2）求证：DE 是 ⊙O 的切线．
（3）求线段 DE 的长．

22. 解答下列问题：
（1）探究发现：
下面是一道例题及其解答过程，请补充完整：
如图，在等边 △ABC 内部，有一点 P，若 ∠APB=150∘．求证：AP2+BP2=CP2．
证明：将 △APC 绕 A 点逆时针旋转 60∘，得到 △APʹB，连接 PPʹ，则 △APPʹ 为等边角形．
∴∠APPʹ=60∘，PA=PPʹ，PC= ，
∵∠APB=150∘，
∴∠BPPʹ=90∘，
∴PʹP2+BP2= ，
即 PA2+PB2=PC2．
（2）类比延伸：
如图，在等腰三角形 ABC 中，∠BAC=90∘，内部有一点 P，若 ∠APB=135∘，试判断线段 PA，PB，PC 之间的数量关系，并证明．
（3）联想拓展：
如图，在 △ABC 中，∠BAC=120∘，AB=AC，点 P 在直线 AB 上方，且 ∠APB=60∘，满足 kPA2+PB2=PC2，请直接写出 k 的值．

23. 如图，矩形 OABC 的两边在坐标轴上，点 A 的坐标为 10,0，抛物线 y=ax2+bx+4 过点 B，C 两点，且与 x 轴的一个交点为 D−2,0，点 P 是线段 CB 上的动点，设 CP=t（0（1）请直接写出 B，C 两点的坐标及抛物线的解析式；
（2）过点 P 作 PE⊥BC，交抛物线于点 E，连接 BE，当 t 为何值时，∠PBE=∠OCD?
（3）点 Q 是 x 轴上的动点，过点 P 作 PM∥BQ，交 CQ 于点 M，作 PN∥CQ，交 BQ 于点 N，当四边形 PMQN 为正方形时，请求出 t 的值．
答案
第一部分
1. A【解析】2018 的相反数是 −2018．
2. C【解析】A、属于“田”字型，不是正方体的展开图，故选项错误；
B、属于“7”字型，不是正方体的展开图，故选项错误；
C、属于“1+4+1”字型，是正方体的展开图，故选项正确；
D、属于“凹”字型，不是正方体的展开图，故选项错误．
3. C【解析】（A）原式=a5，故A错误；
（B）原式=a2+b3，故B错误；
（D）原式=ab2+1，故D错误．
4. A
5. B
【解析】第一个图形是中心对称图形，
第二个图形不是中心对称图形，
第三个图形是中心对称图形，
第四个图形不是中心对称图形．
6. B【解析】因为蚂蚁以均匀的速度沿台阶 A1⇒A2⇒A3⇒A4⇒A5 爬行，从 A1⇒A2 的过程中，高度随时间匀速上升，从 A2⇒A3 的过程，高度不变，从 A3⇒A4 的过程，高度随时间匀速上升，从 A4⇒A5 的过程中，高度不变，所以蚂蚁爬行的高度 h 随时间 t 变化的图象是B．
7. D【解析】【分析】中位数是一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)；众数是一组数据中出现次数最多的数据．
【解析】解：在这一组数据中25元是出现次数最多的，故众数是25元；
将这组数据已从小到大的顺序排列，处于中间位置的两个数是20、20，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是20；
故选：D．
【点评】本题考查众数与中位数的意义．将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数；如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
8. A【解析】∵ D 为 AB 的中点，
∴ BC=BD=12AB，
∴ ∠A=30∘，∠B=60∘，
∵ AC=23，
由勾股定理得 BC=2，
∴S阴影=S△ABC−S扇形CBD=12×23×2−60π×22360=23−23π.
9. C【解析】设 BC=a，则 AC=2a，
由勾股定理得，AB=AC2+BC2=5a，
由题意得，AE=5−1a，
∴EC=3−5a，
∴BCAB=a5a=55，A正确，不符合题意；
AEAC=5−12，B正确，不符合题意；
ECAC=3−52，C错误，符合题意；
ACAB=255，D正确，不符合题意．
10. D
【解析】真命题的逆命题不一定都是真命题，A错误；
在同圆或等圆中，同弦所对的圆周角不一定相等，B错误；
等腰三角形的底边上的高线、底边上的中线、顶角平分线互相重合，C错误；
对角线相等且互相平分的四边形是矩形，D正确．
11. B【解析】根据图象可得：a>0，c<0，
对称轴：x=−b2a>0，
① ∵ 它与 x 轴的两个交点分别为 −1,0，3,0，
∴ 对称轴是 x=1，
∴−b2a=1，
∴b+2a=0，
故①错误；
② ∵a>0，
∴b<0，
∵c<0，
∴abc>0，故②错误；
③根据图示知，当 x=1 时，y<0，
∴a+b+c<0，
故此选项正确；
④根据图示知，当 x=4 时，y>0，
∴16a+4b+c>0，
由①知，b=−2a，
∴8a+c>0；
故④正确；
故正确为：③④两个．
12. C【解析】如图，过 D 作 DM∥BE 交 AC 于 N，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90∘，AD=BC，
∵BE⊥AC 于点 F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90∘，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴AEBC=AFCF，
∵AE=12AD=12BC，
∴AFCF=12，
∴CF=2AF，
∵AF=1，
∴CF=2，
∵∠ABC=90∘，BF⊥AC，
∴BF2=AF⋅CF=2，
∴BF=2，故④正确；
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴ 四边形 BMDE 是平行四边形，
∴BM=DE=12BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC 于点 F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DM 垂直平分 CF，
∴DF=DC，故③正确；
设 AE=a，AB=b，则 AD=2a，
由 △BAE∽△ADC，有 ba=2ab，即 b=2a，
∴tan∠CAD=DCAD=b2a=22．故②不正确；
正确的有①③④．
第二部分
13. 4
【解析】根据题意得 Δ=42−4m=0，
解得 m=4．
14. 13
【解析】画树状图为：
共有 6 种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为 2，
∴ 随机摸出 1 个球，两次都摸到红球的概率 =26=13．
15. (3，2)或(−9，−2)
【解析】【分析】首先根据直线y=13x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，解得点A和点B的坐标，再利用位似图形的性质可得点Bʹ的坐标．
【解析】解：∵y=13x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，
令x=0可得y=1；令y=0可得x=−3，
∴点A和点B的坐标分别为(−3，0)；(0，1)，
∵△BOC与△BʹOʹCʹ是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，
∴OBO′B′=AOAO′=12，
∴OʹBʹ=2，AOʹ=6，
∴当点B'在第一象限时，Bʹ的坐标为(3，2)；
当点B'在第三象限时，Bʹ的坐标为(−9，−2)．
∴Bʹ的坐标为(−9，−2)或(3，2)．
故答案为：(−9，−2)或(3，2)．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，位似图形的性质的运用，掌握位似的概念是解决问题的关键．
16. 62
【解析】分别把点 Aa,3，Bb,1 代入双曲线 y=3x 得：a=1，b=3，
则点 A 的坐标为 A1,3，B 点坐标为 3,1，
如图，作 A 点关于 y 轴的对称点 P，B 点关于 x 轴的对称点 Q，
则点 P 坐标为 −1,3，Q 点坐标为 3,−1，
连接 PQ 分别交 x 轴，y 轴于 C 点，D 点，此时四边形 ABCD 的周长最小，
四边形ABCD周长=DA+DC+CB+AB=DP+DC+CQ+AB=PQ+AB=−1−32+3+12+1−32+3−12=42+22=62.
第三部分
17. 原式=1+3+4×32−23=4．
18. 原式=x−yx+yx−y+x+yx+yx−y×x+y=2xx+yx−y×x+y=2xx−y.
当 x=5+2，y=5−2 时，
原式=25+45+2−5+2=25+44=5+22.
19. （1） 120；30%
【解析】调查的总人数是：18÷15%=120（人），
安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的百分比是：36120=30%．
（2） 安全意识“较强”的人数是：120×45%=54（人），
．
（3） 450
【解析】估计全校需要强化安全教育的学生约 1800×12+18120=450（人）．
20. （1） 把 4,1 代入 y1=ax2 中得 16a=1，a=116，
所以 y1=116x2，把 2,1 代入 y2=kx 中得 2k=1，k=12，
所以 y2=12x．
（2） 设种植桃树的投资成本为 x 万元，总利润为 W 万元，则种植柏树的投资成本为 10−x 万元，则 W=y1+y2=116x2+1210−x=116x−42+4．
由图象得若 2≤x≤8，当 x=4 时，W 有最小值，W小=4，
当 x=8 时，W 有最大值，W大=1168−42+4=5．
答：苗圃至少获得 4 万元利润，最多能获得 5 万元利润．
21. （1） 25
【解析】∵∠ACB 的平分线交 ⊙O 于点 D，
∴∠ACD=∠BCD，
∴AD=BD，
∴AD=BD，
∵ 直径 AB=10，
∴∠ADB=90∘，
∴AD=BD=102=52，
∴△ABD 的面积为 12×52×52=25．
（2） 如图 1，连接 OD，
∵AB 为直径，CD 平分 ∠ACB，
∴∠ACD=45∘，
∴∠AOD=2∠ACD=90∘，
∵DE∥AB，
∴∠ODE=90∘，
∴OD⊥DE，
∴DE 是 ⊙O 的切线．
（3） ∵AB=10，AC=6，
∴BC=AB2−AC2=8，
如图 2，过点 A 作 AF⊥DE 于点 F，
则四边形 AODF 是正方形，
∴AF=OD=FD=5，
∴∠EAF=90∘−∠CAB=∠ABC，
∴tan∠EAF=tan∠CBA，
∴EFAF=ACBC，即 EF5=68，
∴EF=154，
∴DE=DF+EF=154+5=354．
22. （1） PʹB；PʹB2
（2） 关系式为：2PA2+PB2=PC2．
如图，将 △APC 绕 A 点逆时针旋转 90∘，得到 △APʹB，连接 PPʹ，
则 △APPʹ 为等腰直角三角形．
∴∠APPʹ=45∘，PPʹ=2PA，PC=PʹB，
∵∠APB=135∘，
∴∠BPPʹ=90∘，
∴PʹP2+BP2=PʹB2，
∴2PA2+PB2=PC2．
（3） k=3
【解析】如图，将 △APC 绕 A 点顺时针旋转 120∘ 得到 △APʹB，连接 PPʹ，过点 A 作 AH⊥PPʹ，
可得 ∠APPʹ=30∘，PPʹ=3PA，PC=PʹB，
∵∠APB=60∘，
∴∠BPPʹ=90∘，
∴PʹP2+BP2=PʹB2，
∴3PA2+PB2=PC2，
∵kPA2+PB2=PC2，
∴k=±3．
23. （1） B10,4；C0,4；y=−16x2+53x+4
【解析】在 y=ax2+bx+4 中，令 x=0 可得 y=4，
∴C0,4，
∵ 四边形 OABC 为矩形，且 A10,0，
∴B10,4，
把 B，D 坐标代入抛物线解析式可得 100a+10b+4=4,4a−2b+4=0,
解得 a=−16,b=53.
∴ 抛物线解析式为 y=−16x2+53x+4．
（2） 由题意可设 Pt,4，则 Et,−16t2+53t+4，
∴PB=10−t，PE=−16t2+53t+4−4=−16t2+53t，
∵∠BPE=∠COD=90∘，∠PBE=∠OCD，
∴△PBE∽△OCD，
∴BPCO=PEOD，即 BP⋅OD=CO⋅PE，
∴210−t=4−16t2+53t，
解得 t=3 或 t=10（不合题意，舍去），
∴ 当 t=3 时，∠PBE=∠OCD．
（3） 当四边形 PMQN 为正方形时，则 ∠PMC=∠PNB=∠CQB=90∘，PM=PN，
∴∠CQO+∠AQB=90∘，
∵∠CQO+∠OCQ=90∘，
∴∠OCQ=∠AQB，
∴Rt△COQ∽Rt△QAB，
∴COAQ=OQAB，即 OQ⋅AQ=CO⋅AB，
设 OQ=m，则 AQ=10−m，
∴m10−m=4×4，
解得 m=2 或 m=8，
①当 m=2 时，CQ=OC2+OQ2=25，BQ=AQ2+AB2=45，
∴sin∠BCQ=BQBC=255，sin∠CBQ=CQCB=55，
∴PM=PC⋅sin∠PCQ=255t，PN=PB⋅sin∠CBQ=5510−t，
∴255t=5510−t，
解得 t=103，
②当 m=8 时，同理可求得 t=203，
∴ 当四边形 PMQN 为正方形时，t 的值为 103 或 203．