2018-2019学年广东广州海珠区中山大学附属中学八上期末数学试卷

这是一份2018-2019学年广东广州海珠区中山大学附属中学八上期末数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列式子中是分式的是
A. 1πB. x3C. 1x−1D. 25

2. 下列运算正确的是
A. 2y3+y3=3y6B. y2⋅y3=y6C. 3y23=9y6D. y3÷y−2=y5

3. 若等腰三角形的底角是顶角的 2 倍，则这个等腰三角形的底角的度数是
A. 36∘B. 72∘C. 36∘ 或 72∘D. 无法确定的

4. 若分式 x2−1x+1 的值为 0，则 x 的值为
A. 0B. 1C. −1D. ±1

5. 下列因式分解中，正确的是
A. x2−4y2=x−4yx+4y
B. ax+ay+a=ax+y
C. ax−y+by−x=x−ya−b
D. 4x2+9=2x+32

6. 已知：如图，在 △ABC 中，AD 是 ∠BAC 的平分线，E 为 AD 上一点，且 EF⊥BC 于点 F．∠C=35∘，∠DEF=15∘，则 ∠B 的度数为
A. 60∘B. 65∘C. 75∘D. 85∘

7. 如图，在 △ABC 中，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点 M，N 作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD，若 △ADC 的周长为 14，BC=8，则 AC 的长为
A. 6B. 5C. 7D. 8

8. 如图，在 △ABC 中，∠ABC=90∘，AB=BC，点 B 的坐标为 −1,0，点 C 的坐标为 1,4，则点 A 的坐标为
A. 5,2B. 4,2C. −5,2D. −4,2

9. 已知，如图，△ABC 是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD 于 Q，BE 交 AD 于点 P，下列说法：① ∠APE=∠C，② AQ=BQ，③ BP=2PQ，④ AE+BD=AB，其正确的结论有
A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④

10. 若关于 x 的方程 ax−1+1=x+ax+1 的解为负数，且关于 x 的不等式组 −12x−a>0,x−1≥2x+13 无解，则所有满足条件的整数 a 的值之和是
A. 9B. 7C. 5D. 10

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 某病毒的形状为球形，直径大约为 0.000000102 m，该直径用科学记数法表示为 m．

12. 如果十边形的各个内角都相等，那么它的一个内角是 ．

13. 已知：2m=a，2n=b，则 22m+3n 用 a，b 可以表示为 ．

14. 已知：a2+1a2=27，则 a−1a= ．

15. 已知在 △ABC 中，三边长 a，b，c 满足 a2+2b2+c2=2ab+bc，则 △ABC 的形状是 ．

16. 如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC 的面积为 10，BD 平分 ∠ABC，若 M，N 分别是 BD，BC 上的动点，则 CM+MN 的最小值为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 计算题．
（1）计算：−23+2018+30−13−2．
（2）化简：aa+1−a−2a2−1÷a2−2aa2−2a+1．

18. 分解因式及解方程．
（1）分解因式：2a2−8．
（2）解方程：1x+3−23−x=12x2−9．

19. 如图，△ABC 中，A 点坐标 2,4，B 点坐标 −3,−2，C 点坐标 3,1．
（1）在图中画出 △ABC 关于 y 轴对称的 △AʹBʹCʹ（不写画法），并写出点 Aʹ，Bʹ，Cʹ 的坐标．
（2）求 △ABC 的面积．

20. 在 △ABC 中，AB=AC，∠A=36∘．
（1）求作点 D，使得点 D 在边 AC 上，且点 D 到边 AB 和边 BC 的距离相等（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写做法）．
（2）在（1）条件下，比较线段 DA 与 BC 的大小关系，请说明理由．

21. 化简式子 1−x−1x÷x2−1x2+2x，然后从 −2≤x≤2 的范围内选取一个合适的整数作为 x 的值代入求值．

22. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，点 D，E，F 分别在 AB，BC，AC 边上，且 BE=CF，BD=CE．
（1）求证：△DEF 是等腰三角形．
（2）当 ∠A=40∘ 时，求 ∠DEF 的度数．

23. 阳光体育用品店有甲、乙两种品牌的篮球，已知乙品牌篮球的单价比甲品牌篮球的单价多 20 元，用 800 元购买甲品牌篮球的数量是用 500 元购买乙品牌篮球数量的 2 倍．
（1）求甲、乙两种品牌篮球的单价．
（2）该店在国庆节期间开展优惠活动，甲品牌篮球按原单价的 9 折出售，乙品牌篮球按原单价的 8.5 折出售，某校计划在国庆节期间在该店购买甲、乙两种品牌篮球共 50 个，总费用不超过 4000 元，那么最多可购买多少个乙品牌篮球?

24. 如图，在等边 △ABC 中，线段 AM 为 BC 边上的中线，动点 D 在直线 AM 上时，以 CD 为一边在 CD 的下方作等边 △CDE，连接 BE．
（1）求 ∠CAM 的度数．
（2）若点 D 在线段 AM 上时，求证：△ADC≌△BEC．
（3）当动点 D 在射线 AM 上时，设直线 BE 与直线 AM 的交点为 O，试判断 ∠AOB 是否为定值?并说明理由．

25. 已知如图，在平面直角坐标系中，点 Bm,0，An,0 分别是 x 轴上两点，且满足多项式 x2+mx+8x2−3x+n 的积中不含 x3 项和 x2 项，点 P0,h 是 y 轴正半轴上的动点．
（1）求 A，B 两点坐标．
（2）过点 P 作 DP⊥PB，CP⊥PA，且 PD=PB，PC=AP．
①连接 AD，BC 相交于点 E，再连 PE，求 ∠CEP 的度数．
②连 CD 与 y 轴相交于点 Q，当动点 P 在 y 轴正半轴上运动时，线段 PQ 的长度变不变，如果不变，请求出其值；如果变化，请求出其变化范围
答案
第一部分
1. C
2. D
3. B
4. B
5. C
6. B
7. A
8. C
9. D
10. A
第二部分
11. 1.02×10−7
12. 144∘
13. a2⋅b3
14. ±5
15. 等边三角形
16. 5
【解析】过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，交 BD 于点 M，过点 M 作 MN⊥BC 于 N，
∵BD 平分 ∠ABC，ME⊥AB 于点 E，MN⊥BC 于 N，
∴MN=ME，
∴CE=CM+ME=CM+MN 的最小值，
∵ 三角形 ABC 的面积为 10，AB=4，
∴12×4⋅CE=10，
∴CE=2×104=5，
即 CM+MN 的最小值为 5．
第三部分
17. （1） −16．
（2） a2−a+1a+1a．
18. （1） 2a+2a−2．
（2） 原方程无解．
19. （1） Aʹ−2,4，Bʹ3,−2，Cʹ−3,1
（2） 212
20. （1）
（2） AD=BD．
理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=12180∘−36∘=72∘，
∵BD 平分 ∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36∘，
∴∠ABD=∠A，
∴DA=DB，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=72∘，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，
∴AD=BC．
21. −13．
22. （1） 略．
（2） ∠DEF=70∘．
23. （1） 甲种篮球的单价是：80 元，乙种篮球的单价是：100 元．
（2） 最多可购买 30 个乙品牌篮球．
24. （1） ∠CAM=30∘．
（2） ∵△ABC 与 △DEC 都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∠ACB=∠DCE=60∘，
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD=∠BCE．
在 △ACD 和 △BEC 中，
AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
△ACD≌△BCE（SAS）．
（3） ∠AOB 是定值，∠AOB=60∘．
理由如下：
①当点 D 在线段 AM 上时，如图 1
由（2）可知 △ACD≌△BCE，则 ∠CBE=∠CAD=30∘，又 ∠ABC=60∘，
∴∠CBE+∠ABC=60∘+30∘=90∘，
∵△ABD 是等边三角形，线段 AM 为 BC 边上的中线，
∴AM 平分 ∠BAC，即
∠BAM=12∠BAC=12×60∘=30∘，
∴∠BOA=90∘−30∘=60∘．
②当点 D 在线段 AM 的延长线上时，如图 2
∵△ABC 与 △DCE 都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∠ACB=∠DCE=60∘，
∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在 △ACD 和 △BCE 中，
AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠CBE=∠CAD=30∘，
同理可得：∠BAM=30∘，
∴∠BOA=90∘−30∘=60∘．
③当点 D 在线段 MA 的延长线上时，
∵△ABC 与 △DEC 都是等边三角形
∴AC=BC，CD=CE，
∠ACB=∠DCE=60∘，
∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60∘，
在 △ACD 和 △BCE 中，
AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠CBE=∠CAD
同理可得：∠CAM=30∘，
∴∠CBE=∠CAD=150∘，
∴∠CBO=30∘，∠BAM=30∘，
∴∠BOA=90∘−30∘=60∘．
综上，当动点 D 在直线 AM 上时，∠AOB 是定值，且 ∠AOB=60∘．
25. （1） A1,0，B3,0．
（2） ① ∠CEP=45∘；
② PQ 的长为定值为：1．