2019年天津市河北区中考二模数学试卷

这是一份2019年天津市河北区中考二模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算 12÷(−4) 的结果等于 ( )
A. −8B. −3C. 3D. 8

2. cs45∘ 的值等于 ( )
A. 12B. 22C. 32D. 1

3. 下列图形中既不是中心对称图形又不是轴对称图形的是 ( )
A. B.
C. D.

4. 据国家统计局统计，2018 年全国居民人均可支配收入 28228 元，比上年名义增长 8.7%，扣除价格因素，实际增长 6.5%．将 28228 用科学记数法表示为 ( )
A. 28228×105B. 2822.8×102C. 2.8228×104D. 0.28228×105

5. 如图是由 5 个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是 ( )
A. B.
C. D.

6. 估计 31 的值在 ( )
A. 2 和 3 之间B. 3 和 4 之间C. 4 和 5 之间D. 5 和 6 之间

7. 计算 x2−2x−1+1x−1 的结果为 ( )
A. x+1B. x−1C. 1x+1D. 1x−1

8. 分式方程 x+1x+1x−2=1 的解是 ( )
A. x=1B. x=−1C. x=3D. x=−3

9. 规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作 k，若 k=12，则该等腰三角形的顶角为 ( )
A. 30∘B. 36∘C. 45∘D. 60∘

10. 如图，A，B 是反比例函数 y=4x 在第一象限内的图象上的两点，且 A，B 两点的横坐标分别是 2 和 4，则 △OAB 的面积是
A. 4B. 3C. 2D. 1

11. 如图，点 P 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上一点，过点 P 作 EF∥BC，分别交 AB，CD 于 E，F，连接 PB，PD．若 AE=2，PF=8，则图中阴影部分的面积为 ( )
A. 10B. 12C. 16D. 18

12. 如图所示，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，对称轴为直线 x=1．直线 y=−x+c 与抛物线 y=ax2+bx+c 交于 C，D 两点，D 点在 x 轴下方且横坐标小于 3，则下列结论：
① 2a+b+c>0；
② a−b+c<0；
③ x(ax+b)≤a+b；
④ a<−1．
其中正确的有 ( )
A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个

二、填空题（共5小题；共25分）
13. 计算 (a+3)(a−4) 的结果等于 ．

14. 分解因式：x3−x= ．

15. 不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是 −5，−1，0，3．卡片除数字不同外其他均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是 ．

16. 若关于 x 的一元二次方程 x2+(2k+3)x+k2=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 ．

17. 如图，在五边形 ABCDE 中，∠A+∠B+∠E=300∘，DP，CP 分别平分 ∠EDC，∠BCD，则 ∠CPD 的度数是 ∘．

三、解答题（共8小题；共104分）
18. 如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A，B 均在格点上．l1，l2 是一条小河平行的两岸．
（1）AB 的距离等于 ；
（2）现要在小河上修一座垂直于两岸的桥 MN（点 M 在 l1 上，点 N 在 l2 上，桥的宽度忽略），使 AM+MN+NB 最短，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出 MN，并简要说明点 M，N 的位置是如何找到的（不要求证明） ．

19. 解不等式组 −x+5>6,⋯⋯①4x≤x+6.⋯⋯② 请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式 ①，得 ；
（2）解不等式 ②，得 ；
（3）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．

20. 为了解居民的环保意识，社区工作人员在某小区随机抽取了若干名居民开展有奖问卷调查活动，并用得到的数据绘制了如图条形统计图．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次调查一共抽取了 名居民；
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）如果对该小区的 800 名居民全面开展这项有奖问答活动，得 10 分者设为一等奖，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份一等奖奖品．

21. 已知，⊙O 的半径为 1，直线 CD 经过圆心 O，交 ⊙O 与 C，D 两点，直径 AB⊥CD，点 M 是直线 CD 上异于 C，D，O 的一个动点，直线 AM 交 ⊙O 于点 N，点 P 是直线 CD 上另一点，且 PM=PN．
（1）如图 1，点 M 在 ⊙O 的内部，求证：PN 是 ⊙O 的切线；
（2）如图 2，点 M 在 ⊙O 的外部，且 ∠AMO=30∘，求 OP 的长．

22. 2016年2月1日，我国在西昌卫星发射中心，用长征三号丙运载火箭成功将第 5 颗新一代北斗星送入预定轨道，如图，火箭从地面 L 处发射，当火箭达到 A 点时，从位于地面 R 处雷达站测得 AR 的距离是 6 km，仰角为 42.4∘；1 秒后火箭到达 B 点，此时测得仰角为 45.5∘ . （参考数据：sin42.4∘≈0.67，cs42.4∘≈0.74，tan42.4∘≈0.905，sin45.5∘≈0.71，cs45.5∘≈0.70，tan45.5∘≈1.02 ）.
（1）求发射台与雷达站之间的距离 LR；
（2）求这枚火箭从 A 到 B 的平均速度是多少（结果精确到 0.01 ）?

23. 某商场计划购进A，B两种型号的手机，已知每部A型号手机的进价比每部B型号手机进价多 500 元，每部A型号手机的售价是 2500 元，每部B型号手机的售价是 2100 元．
（1）若商场用 50000 元共购进A型号手机 10 部，B型号手机 20 部，求A，B两种型号的手机每部进价各是多少元?
（2）为了满足市场需求，商场决定用不超过 7.5 万元采购A，B两种型号的手机共 40 部，且A型号手机的数量不少于B型号手机数量的 2 倍．
①该商场有哪几种进货方式?
②该商场选择哪种进货方式，获得的利润最大?

24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中有矩形 OABC，A(4,0)，C(0,2)，将矩形 OABC 绕原点 O 逆时针旋转得到矩形 OAʹBʹCʹ．
（1）如图 1，当点 Aʹ 首次落在 BC 上时，求旋转角；
（2）在（Ⅰ）的条件下，求点 Bʹ 的坐标；
（3）如图 2，当点 Bʹ 首次落在 x 轴上时，直接写出此时点 Aʹ 的坐标．

25. 如图，抛物线 y=ax2+6x+c 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C．直线 y=x−5 经过点 B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点 A 作 AM⊥BC 于点 M，过抛物线上一动点 P（不与点 B，C 重合），作直线 AM 的平行线交直线 BC 于点 Q，若以点 A，M，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的横坐标．
答案
第一部分
1. B【解析】原式=−3．
2. B【解析】cs45∘=22．
3. B【解析】A、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
4. C【解析】28228=2.8228×104．
5. B
【解析】从左面看到应该有 2 列，正方形的个数分别为 2，1．
6. D【解析】∵25<31<36，
∴5<31<6．
7. A【解析】原式=x2−1x−1=x+1．
8. A【解析】x+1x+1x−2=1，
去分母，方程两边同时乘以 x(x−2) 得：
(x+1)(x−2)+x=x(x−2)，
x2−x−2+x=x2−2x，
x=1，
经检验，x=1 是原分式方程的解．
9. B【解析】
∵△ABC 中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵ 等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作 k，若 k=12，
∴∠A:∠B=1:2，
即 5∠A=180∘，
∴∠A=36∘．
10. B
【解析】∵A，B 是反比例函数 y=4x 在第一象限内的图象上的两点，且 A，B 两点的横坐标分别是 2 和 4，
∴ 当 x=2 时，y=2，即 A2,2；当 x=4 时，y=1，即 B4,1．
如图，过 A，B 两点分别作 AC⊥x 轴于 C，BD⊥x 轴于 D，
则 S△AOC=S△BOD=12×4=2．
∵S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，
∴S△AOB=S梯形ABDC，
∵S梯形ABDC=12BD+AC⋅CD=121+2×2=3，
∴S△AOB=3．
11. C【解析】作 PM⊥AD 于 M，交 BC 于 N．
则有四边形 AEPM，四边形 DFPM，四边形 CFPN，四边形 BEPN 都是矩形，
∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，
∴S△DFP=S△PBE=12×2×8=8，
∴S阴=8+8=16．
（本题也可以证明两个阴影部分的面积相等，由此解决问题）
12. A【解析】∵ 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，
∴c>0，
∵ 抛物线的对称轴为直线 x=−b2a=1，
∴b=−2a，
∴2a+b+c=2a−2a+c=c>0，
∴ ①正确；
∵ 抛物线与 x 轴的一个交点在点 (3,0) 左侧，而抛物线的对称轴为直线 x=1，
∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点在点 (−1,0) 右侧，
∴ 当 x=−1 时，y<0，
∴a−b+c<0，
∴ ②正确；
∵x=1 时，二次函数有最大值，
∴ax2+bx+c≤a+b+c，
∴ax2+bx≤a+b，
∴ ③正确；
∵ 直线 y=−x+c 与抛物线 y=ax2+bx+c 交于 C，D 两点，D 点在 x 轴下方且横坐标小于 3，
∴x=3 时，一次函数值比二次函数值大，
即 9a+3b+c<−3+c，
而 b=−2a，
∴9a−6a<−3，
解得 a<−1，
∴ ④正确．
第二部分
13. a2−a−12
【解析】(a+3)(a−4)=a2−4a+3a−12=a2−a−12．
14. x(x+1)(x−1)
【解析】x3−x=x(x2−1)=x(x+1)(x−1)．
15. 13
【解析】画树状图如图：
由树状图可知共有 12 种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果有 4 种，
∴ 抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是 13．
16. k>−34
【解析】∵ 方程 x2+(2k+3)x+k2=0 有两个不相等的实数根，
∴Δ=(2k+3)2−4k2>0，
解得：k>−34．
17. 60
【解析】∵ 五边形的内角和等于 540∘，∠A+∠B+∠E=300∘，
∴∠BCD+∠CDE=540∘−300∘=240∘，
∵∠BCD，∠CDE 的平分线在五边形内相交于点 O，
∴∠PDC+∠PCD=∠BCD+∠CDE=120∘，
∴∠CPD=180∘−120∘=60∘．
第三部分
18. （1） 41
【解析】AB=42+52=41．
（2） 如图，
取格点 C，连接 AC，使 AC⊥l1，取格点 E，F，连接 EF，使 EF∥l1，与 AC 交于点 Aʹ；同理，作点 Bʹ，连接 ABʹ 与 l1 交于点 M，连接 AʹB 与 l2 交于点 N，连接 MN 即为所求
19. （1） x<−1
（2） x≤2
（3） 把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来为：
（4） x<−1
20. （1） 50
【解析】4+10+15+11+10=50，即本次调查一共抽取了 50 名居民．
（2） 平均数是 6×4+7×10+8×15+9×11+10×1050=8.26，众数是 8，中位数是 8．
（3） 800×1050=160（份），
答：需准备 160 份一等奖奖品．
21. （1） 连接 ON，如图 1，
则 ∠ONA=∠OAN，
∵PM=PN，
∴∠PNM=∠PMN，
∵∠AMO=∠PMN，
∴∠PNM=∠AMO，
∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA=90∘，即 PN 与 ⊙O 相切．
（2） 连接 ON，如图 2．
∵∠AMO=30∘，PM=PN，
∴∠PNM=∠AMO=30∘，∠OAN=60∘，
∴∠NPO=60∘，
∴OA=ON，
∴△AON 是等边三角形，
∴∠AON=60∘，
∴∠NOP=30∘，
∴∠PNO=90∘，
∴OP=ONcs30∘=132=233．
22. （1） 在 Rt△ALR 中，AR=6 km，∠ARL=42.4∘，
由 cs∠ARL=RLAR，得
LR=AR⋅cs∠ARL=6×cs42.4∘≈4.44km．
答：发射台与雷达站之间的距离 LR 为 4.44 km；
（2） 在 Rt△BLR 中，LR=4.44 km，∠BRL=45.5∘，
由 tan∠BRL=BLLR，得
\（BL=LR\cdt \tan \angle BRL=4.44\times\tan45.5^\circ \thickapprx4.44\times1.02=4.5288\left（\mathrm {km}\right）\），
∵sin∠ARL=ALAR，
∴ AL=ARsin∠ARL=6×sin42.4∘≈4.02km，
∴AB=BL−AL=4.5288−4.02=0.5088≈0.51km．
答：这枚火箭从 A 到 B 的平均速度大约是 0.51 km/s．
23. （1） 设A，B两种型号的手机每部进价各是 x 元、 y 元，
根据题意得：
x=y+500,10x+20y=50000.
解得：
x=2000,y=1500.
答：A，B两种型号的手机每部进价各是 2000 元、 1500 元．
（2） ①设A种型号的手机购进 a 部，则B种型号的手机购进 40−a 部，
根据题意得：
2000a+150040−a≤75000,a≥240−a.
解得：
803≤a≤30.∵a
为解集内的正整数，
∴a=27,28,29,30，
∴ 有 4 种购机方案：
方案一：A种型号的手机购进 27 部，则B种型号的手机购进 13 部；
方案二：A种型号的手机购进 28 部，则B种型号的手机购进 12 部；
方案三：A种型号的手机购进 29 部，则B种型号的手机购进 11 部；
方案四：A种型号的手机购进 30 部，则B种型号的手机购进 10 部；
②设A种型号的手机购进 a 部时，获得的利润为 w 元．
根据题意，得 w=500a+60040−a=−100a+24000，
∵−10<0，
∴w 随 a 的增大而减小，
∴ 当 a=27 时，w 取得最大值，此时 w=−100×27+24000=21700．
因此，购进A种型号的手机 27 部，购进B种型号的手机 13 部时，获利最大．
答：购进A种型号的手机 27 部，购进B种型号的手机 13 部时获利最大．
24. （1） ∵A(4,0)，C(0,2)，
∴OA=4，OC=2，
由旋转的性质得：OAʹ=O4=4，
∵ 四边形 OABC 是矩形，
∴ ∠OCB=90∘，OA∥BC，
在 Rt△OCAʹ 中，OC=12OAʹ，
∴∠OAʹC=30∘，
∵OA∥BC，
∴∠AOAʹ=∠OAʹC=30∘，
即当点 Aʹ 首次落在 BC 上时，旋转角为 30∘．
（2） 由矩形和旋转的性质得：OAʹ=OA=4，AʹBʹ=AB=OC=2，
作 BʹE⊥BC 于 E，如图 1 所示：
∵BC∥AO，
∴∠OAʹC=∠AʹOA=30∘，
∴∠BʹAʹE=60∘，B′E=sin∠BʹAʹE×BBʹ=32×2=3，EAʹ=cs∠BʹAʹE×BBʹ=12×2=1，AʹC=cs∠OAʹC×OAʹ=32×4=23，
∴CE=CAʹ−EAʹ=23−1，Bʹ 的纵坐标为：2+3，
∴ 点 Bʹ 的坐标为：(23−1,2+3)．
（3） 点 A 的坐标为 −855,455．
【解析】过点 Aʹ 作 AʹF⊥x 轴于 F，如图 2 所示：
∵∠BʹAʹO=90∘，AʹF⊥BʹO，
∴BʹO=22+42=25，∠AʹFO=90∘，
∵∠AʹOF=∠BʹOAʹ，
∴△BʹAʹO∽△AʹFO，
∴OBʹOAʹ=OAʹOF=AʹFAʹBʹ，即 254=4OF=AʹF2，
解得：OF=855，AFʹ=455，
∴ 点 A 的坐标为 −855,455．
25. （1） 当 x=0 时，y=x−5=−5，即点 C0,−5，同理点 B5,0，
将点 A，B 的坐标代入二次函数表达式得：25a+30+c=0,c=−5, 解得：a=−1,c=−5,
故抛物线的表达式为：y=−x2+6x−5．
（2） 令 y=−x2+6x−5=0，解得：x=1或5，即点 A1,0，
∵OB=OC=5，
∴∠OCB=∠OBC=45∘，AM=22AB=22，
以点 A，M，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，则 PQ=AM=22，PQ⊥BC，
如图，作 PD⊥x 轴交直线 BC 于 D，则 ∠PDQ=45∘，
∴PD=2PQ=4，
设点 Px,−x2+6x−5，则点 Dx,x−5，
①当点 P 在直线 BC 上方时，PD=−x2+6x−5−x+5=4，解得：x=1或4（舍去 1）；
②点 P 在直线 BC 上方时，PD=−x2+6x−5−x+5=−4，解得：x=5±412．
故点 P 的横坐标为 4 或 5+412 或 5−412．