2021年北京市延庆区中考零模数学试卷

这是一份2021年北京市延庆区中考零模数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 中国财政部 2021 年 3 月 18 日发布数据显示，前 2 个月，全国一般公共预算收入约为 41800 亿元，将 41800 用科学记数法表示应为
A. 0.418×106B. 4.18×105C. 4.18×104D. 41.8×103

2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是
A. 正方体B. 圆锥C. 四棱柱D. 圆柱

3. 正五边形的外角和为
A. 180∘B. 360∘C. 540∘D. 720∘

4. 下列给出的等边三角形、圆、平行四边形、矩形中是轴对称图形而不是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 如图，直线 l1∥l2，点 A，C，D 分别是 l1，l2 上的点，且 CA⊥AD 于点 A，若 ∠ACD=30∘，则 ∠1 度数为
A. 30∘B. 50∘C. 60∘D. 70∘

6. 一个不透明的盒子中装有 4 个除颜色外都相同的小球，其中 3 个是白球，1 个是红球，从中随机同时摸出两个小球，那么摸出小球的颜色不同的概率为
A. 12B. 13C. 14D. 23

7. 如图，数轴上两点 A，B 所对应的实数分别为 a，b，则 b−a 的结果可能是
A. 3B. 2C. 1D. −1

8. 2020 年 12 月 1 日下午 6 点，京张高铁延庆线正式启用，“复兴号”列车在北京北站与延庆站之间往返，途径清河站、昌平站、八达岭站、如图是从北京北站到延庆站的线路图，其中延庆站到八达岭站，全长 9.33 公里、某天“复兴号”列车从八达岭站出发，终点为北京北．列车始终以每小时 160 公里的速度匀速行驶，那么在到达昌平站之前，“复兴号”列车到延庆站的距离与对应的行驶的时间满足的函数关系是
A. 正比例函数关系B. 反比例函数关系
C. 一次函数关系D. 二次函数关系

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 在函数 y=x−2 中，自变量 x 的取值范围是 ．

10. 方程组 x+3y=5,x−y=1 的解为 ．

11. 分解因式：a3−2a2+a= ．

12. 请写出一个大于 1 且小于 2 的无理数 ．

13. 如图，AB 是 ⊙O 的弦，C 是 ⊙O 上的一点，且 ∠ACB=60∘，OD⊥AB 于点 E，交 ⊙O 于点 D．若 ⊙O 的半径为 6，则弦 AB 的长为 ．

14. 如果 a+2b=−1，那么代数式 4ba−2b+2⋅a2−4b2a 的值 ．

15. 如图所示，∠MON 是放置在正方形网格中的一个角，则 tan∠MON 的值是 ．

16. 把图 1 中边长为 10 的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，且此菱形的一条对角线长为 16，将这四个直角三角形拼成如图 2 所示的正方形，则图 2 中的阴影的面积为 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：13−1−4sin60∘+12−3−20．

18. 解不等式组：2x+1≥3x−5,4x+13>x.

19. 关于 x 的一元二次方程 x2−2x+3m−2=0 有实数根．
（1）求 m 的取值范围；
（2）若 m 为正整数，求出此时方程的根．

20. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘．
求作：线段 CD，使得点 D 在线段 AB 上，且 CD=12AB．
作法：①分别以点 A，B 为圆心，大于 12AB 长为半径作弧，两弧相交于点 M，N 两点；
②做直线 MN，交 AB 于点 D；
③连接 CD．
所以线段 CD 即为所求的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AM=BM，AN=BN，
∴MN 是 AB 的垂直平分线（ ），（填推理的依据）
∴ 点 D 是 AB 的中点．
∵∠C=90∘，
∴CD=12AB（ ）.（填推理的依据）

21. 小林和小明在信息技术课上设计了一个小游戏程序：开始时两人的屏幕上显示的数分别是 9 和 4 ， 如图，每按一次屏幕，小林的屏幕上的数就会加上 a2 ， 同时小明的屏幕上的数就会减去 2a ， 且均显示化简后的结果．如表就是按一次后及两次后屏幕显示的结果．
开始数按一次后按两次后按三次后按四次后小林99+a29+2a2小明44−2a4−4a
根据以上的信息回答问题：从开始起按 4 次后，
（1）两人屏幕上显示的结果是：小林 ；小明 ；
（2）判断这两个结果的大小，并说明理由．

22. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为 D，过点 A 作 AE∥BC，且 AE=BD，连接 BE，交 AD 于点 F，连接 CE．
（1）求证：四边形 ADCE 为矩形；
（2）若 CE=4，求 AF 的长．

23. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=kx+bk≠0 由函数 y=x 平移得到，且与函数 y=3xx>0 的图象交于点 A3,m．
（1）求一次函数的表达式；
（2）已知点 Pn,0n>0，过点 P 作平行于 y 轴的直线，交直线 y=kx+bk≠0 于点 Mx1,y1，交函数 y=3xx>0 的图象于点 Nx2,y2．当 y1
24. 如图，DE 是 ⊙O 的直径，CA 为 ⊙O 的切线，切点为 C，交 DE 的延长线于点 A，点 F 是 ⊙O 上的一点，且点 C 是弧 EF 的中点，连接 DF 并延长交 AC 的延长线于点 B．
（1）求证：∠ABD=90∘；
（2）若 BD=3，tan∠DAB=34，求 ⊙O 的半径．

25. 在世园会开幕一周年之际，延庆区围绕“践行‘两山’理论，聚力冬奥筹办，建设美丽延庆”主题，同筑生态文明．近年来，在延庆区政府的积极治理下，空气质量得到极大改善．如图是根据延庆区环境保护局公布的 2014∼2020 年各年的全年空气质量优良天数绘制的折线统计图．请结合统计图解答下列问题：
（1）2020 年比 2016 年的全年空气质量优良天数增加了 天．
（2）这七年的全年空气质量优良天数的中位数是 ．
（3）在生态环境部 2 月 25 日举行的例行新闻发布会上透露，“十四五”空气质量改善目标指标设置仍然坚持 PM 和优良天数两个指标；其中，全国优良天数达标指标将提升至 87.5%．
截止到 3 月 31 日，延庆区 2021 年空气质量优良天数如下：
月份1月31天2月28天3月31天优良天数/天282528
①该小区 2021 年 1 月 1 日至 3 月 31 日的空气质量优良天数的平均数约为 ．
②试根据以上信息预测延庆区 2021 年（共 365 天）全年空气质量优良天数能否达标?达标的天数约为多少天?

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1:y=−2x+6 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B，二次函数的图象过 A，B 两点，且与 x 轴的另一交点为点 C，BC=2．
（1）求点 C 的坐标；
（2）对于该二次函数图象上的任意两点 P1x1,y1，P2x2,y2，当 x1>x2>2 时，总有 y1>y2．
①求二次函数的表达式；
②设点 A 在抛物线上的对称点为点 D，记抛物线在 C，D 之间的部分为图象 G（包含 C，D 两点）．若一次函数 y=kx−2k≠0 的图象与图象 G 有公共点，结合函数图象，求 k 的取值范围．

27. 在正方形 ABCD 中，点 E 在射线 BC 上（不与点 B，C 重合），连接 DB，DE，将 DE 绕点 E 逆时针旋转 90∘ 得到 EF，连接 BF．
（1）如图 1，点 E 在 BC 边上．
①依题意补全图 1；
②若 AB=6，EC=2，求 BF 的长；
（2）如图 2，点 E 在 BC 边的延长线上，用等式表示线段 BD，BE，BF 之间的数量关系．

28. 规定如下：图形 M 与图形 N 恰有两个公共点（这两个公共点不重合），则称图形 M 与图形 N 是和谐图形．
（1）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ⊙O 的半径为 2，若直线 x=k 与 ⊙O 是和谐图形，请你写出一个满足条件的 k 值，即 k= ；
（2）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 At,0，直线 l:y=33x+3 与 x 轴、 y 轴分别交于 B，C 两点（其中点 A 不与点 B 重合），则线段 AB 与直线 l 组成的图形我们称为图形 V；
① t=3 时，以 A 为圆心，r 为半径的 ⊙A 与图形 V 是和谐图形，求 r 的取值范围；
②以点 A 为圆心，23 为半径的 ⊙A 与图形 V 均组成和谐图形，求 t 的取值范围．
答案
第一部分
1. C【解析】41800=4.18×104．
2. D【解析】该几何体的视图为一个圆形和两个矩形．
则该几何体可能为圆柱．
3. B【解析】任意多边形的外角和都是 360∘，
故正五边形的外角和的度数为 360∘．
4. A【解析】A．等边三角形是轴对称图形而不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意．
5. C
【解析】∵l1∥l2．
∴∠1=∠ADC．
∵CA⊥AD，∠ACD=30∘．
∴∠ADC=90∘−30∘=60∘．
∴∠1=60∘．
6. A【解析】列表如下，
白白白红白白,白白,白红,白白白,白白,白红,白白白,白白,白红,白红白,红白,红白,红
由表可知，共有 12 种等可能结果，其中摸出小球的颜色不同的有 6 种结果，
∴ 从中随机同时摸出两个小球，那么摸出小球的颜色不同的概率为 612=12．
7. B【解析】由题意：0 ∴1<−a<2，
∴1+0即 1 ∴b−a 的结果可能是：2．
故选：B．
8. C【解析】设列车到延庆站的距离为 y，行驶时间为 x，
由题意得 y=9.33+160x．
第二部分
9. x≥2
【解析】在函数 y=x−2 中，有 x−2≥0，解得 x≥2，
故其自变量 x 的取值范围是 x≥2．
10. x=2,y=1
【解析】x+3y=5, ⋯⋯①x−y=1, ⋯⋯②
① − ②，得 4y=4，解得 y=1，
把 y=1 代入②，得 x−1=1，解得 x=2，
故方程组的解为 x=2,y=1.
11. aa−12
【解析】a3−2a2+a=aa2−2a+1=aa−12.
故答案为：aa−12．
12. 3
【解析】大于 1 且小于 2 的无理数是 3，答案不唯一．
13. 63
【解析】如图，连接 OB，
则 ∠AOB=2∠ACB=120∘，
∵OD⊥AB，
∴∠AOE=12∠AOB=60∘，
∵AO=6，
∴AE=AOsin∠AOE=33，
∴AB=2AE=63．
14. −2
【解析】原式=4ba−2b+2a−4ba−2b⋅a+2ba−2ba=2aa−2b⋅a+2ba−2ba=2a+2b,
当 a+2b=−1 时，
原式=2×−1=−2,
故答案为：−2．
15. 1
【解析】如图，连接 AB．
∵AB2=12+32=10，AO2=12+32=10，BO2=22+42=20，
∴AB2+AO2=BO2，
∴△ABO 是等腰直角三角形，
∴∠AOB=45∘，
∴tan∠MON=1．
16. 4
【解析】∵ 菱形的一条对角线长为 16，
∴ 它的一半是 8，
菱形的边长为 10，
∵ 菱形对角线互相垂直，
根据勾股定理，得
∴ 另一条对角线长的一半为 6，
∴ 图 2 所示的阴影的正方形边长为 8−6=2，
∴ 图 2 中的阴影的面积为 4．
第三部分
17. 原式=3−4×32+23−1=3−23+23−1=2.
18. 解不等式 2x+1≥3x−5，得：
x≤7,
解不等式 4x+13>x，得：
x>−1,
则不等式组的解集为
−119. （1） ∵ 方程有实数根，
∴−22−4×1×3m−2≥0，
∴m≤1；
（2） ∵m 为正整数，
∴m=1，
∴ 方程为：x2−2x+1=0，
∴x1=x2=1．
20. （1） 如图 1，线段 CD 即为所求的线段．
（2） 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【解析】连接 AM，BM，AN，BN．
∵AM=BM，AN=BN，
∴MN 是 AB 的垂直平分线（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
∴ 点 D 是 AB 的中点．
∵∠C=90∘，
∴CD=12AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）.
21. （1） 9+4a2；4−8a
【解析】由题意知，小林按三次后显示的数为 9+3a2，按四次后显示的数为 9+4a2，
小明按三次后显示的数为 4−6a，按四次后显示的数为 4−8a，
故答案为：9+4a2；4−8a．
（2） ∵9+4a2−4−8a=9+4a2−4+8a=4a2+8a+5=4a2+8a+4+1=4a2+2a+1+1=4a+12+1>0,
∴9+4a2>4−8a．
22. （1） ∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠ADC=90∘，
∵AE=BD，
∴AE=CD，
∵AE∥BC，
∴ 四边形 ADCE 是平行四边形，
又 ∵∠ADC=90∘，
∴ 四边形 ADCE 为矩形．
（2） 由（1）得：四边形 ADCE 为矩形，
∴AD=CE=4，
∵AE∥BC，
∴∠AEF=∠DBF，
在 △AEF 和 △DBF 中，
∠AEF=∠DBF,∠AFE=∠DFB,AE=DB,
∴△AEF≌△DBFAAS，
∴AF=DF=12AD=2．
23. （1） ∵ 一次函数 y=kx+bk≠0 由函数 y=x 平移得到，
∴k=1，
∴y=x+b，
∵ 点 A 是 y=3x 和 y=x+b 的交点，
∴ 将 A3,m 代入 y=3x 中，解得 m=1，
∴ 将 A3,1 代入 y=x+b 中，解得 b=−2，
∴ 一次函数的表达式为 y=x−2．
（2） 0【解析】∵y10，
∴ 在第一象限内，两函数图象的交点 A 的左侧符合情况，
又 ∵ 点 Pn,0n>0，
∴n 的取值范围为 024. （1） 连接 OC，OF，如图所示：
∵CA 为 ⊙O 的切线，切点为 C，
∴∠ACO=90∘，
∵ 点 C 是弧 EF 的中点，
∴∠EOC=∠COF，
又 ∵∠EDC=12∠EOC，∠CDF=12∠COF，
∴∠ODC=∠CDF，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠OCD=∠CDF，
∴OC∥DB，
∴∠ABD=∠ACO=90∘．
（2） ∵BD=3，tan∠DAB=34，
∴AB=4，
在 Rt△ABD 中，AD=5．
由图可知 △AOC∽△ADB，
设半径为 x，
∴OCDB=AOAD，即 x3=5−x5，解得 x=158．
25. （1） 37
【解析】由折线统计图得：
2020 年全年空气质量优良天数为 297 天，
2016 年全年空气质量优良天数为 260 天，
∴297−260=37（天）．
（2） 265
【解析】将七年的数据按照从大到小顺序排列如下：
300，297，280，265，260，255，235，
∴ 中位数为 265．
（3） ① 27；
② 12×27365×100%≈88.8%，
88.8%>87.5%，
∴ 能够达标．
达标天数为：27×12=324（天）．
【解析】① 28+25+283=27（天）．
26. （1） 令 y=−2x+6 中 y=0，则 x=3，
∴B 点为 3,0，
C 在 x 轴上且 BC=2，
∴C 为 1,0 或 C 为 5,0．
（2） ①设 y=ax2+bx+c，
令 y=−2x+6 中 x=0，则 y=6，
∴A 点为 0,6，把 A 点为 0,6 代入到二次函数中，得 6=c，
又由（1）B 为 3,0 代入到二次函数中得，
0=9a+3b+6，
当 C 为 1,0 时，得 0=a+b+c=a+b+6，解得 a=2，b=−8，
∴y=2x2−8x+6，
当 C 为 5,0 时，得 0=25a+5b+c=25a+5b+6，解得 a=25，b=−165，
∴y=25x2−165x+6，
由题目任意两点 P1x1,y1，P2x2,y2，当 x1>x2>2 时，总有 y1>y2，
∴ 当 x>2 时，
二次函数单调递增，当 y=2x2−8x+6 时，
对称轴为 x=−b2a=84=2，
∵a=2>0，
∴ 抛物线开口向上，
∴x=2 左边函数单调递减，x=2 右边函数单调递增，符合要求；
当 y=25x2−165x+6，
对称轴 x=−b2a=4，a=25>0，
抛物线开口向上，
在 x=4 左边函数单调递减，
即当 2函数单调递减，与题干分歧，
∴ 舍去，
综上，y=2x2−8x+6；
②令 y=6，
∴6=2x2−8x+6，
∴2x2−8x=0，
∴2xx−4=0，
∴x1=0，x2=4，
∵A 点 x=0，
∴D 点坐标为 4,6，
可知 y=kx−2 必过点 E0,2，
C，D 坐标分别为 1,0，4,6，
设 CD 直线解析式为 y=ax+b，把 C，D 代入上式，
得 0=a+b，
6=4a+b，
∴y=2x−2，
∴ 直线 CD 必过点 E，
如图作 y=k1x−2 过 C，D，E 点，
过 y=k2x−2 过 E，F 点，
已知 k1=2，
k2≤k≤k1，
当 y=k2x−2，与二次函数有交点时，
k2x−2=2x2−8x+6，
得 2x2−8+k2x+9=0，
而 y=k2x−2 与二次函数恰有一公共点，即 x 恰有解，
∴Δ=8+k22−2×4×8=0．
解得 k2=0，
又 k2≠0，
综上 027. （1） 图形如图所示．
过点 F 作 FH⊥CB，交 CB 的延长线于 H，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴CD=AB=6，∠C=90∘，
∵∠DEF=∠C=90∘，
∴∠DEC+∠FEH=90∘，∠DEC+∠EDC=90∘，
∴∠FEH=∠EDC，
在 △DEC 和 △EFH 中，
∠H=∠C=90∘,∠FEH=∠EDC,EF=DE,
∴△DEC≌△EFHAAS，
∴EC=FH=2，CD=BC=EH=6，
∴HB=EC=2，
∴Rt△FHB 中，BF=FH2+BH2=22+22=22．
（2） 结论：BF+BD=2BE．
理由：过点 F 作 FH⊥CB，交 CB 于 H，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴CD=AB=6，∠ACB=90∘，
∵∠DEF=∠ACB=90∘，
∴∠DEC+∠FEH=90∘，∠DEC+∠EDC=90∘，
∴∠FEH=∠EDC，
在 △DEC 和 △EFH 中，
∠FHE=∠DCE=90∘,∠FEH=∠EDC,EF=DE,
∴△DEC≌△EFHAAS，
∴EC=FH，CD=BC=EH，
∴HB=EC=HF，
∴△DCB 和 △BHF 都是等腰直角三角形，
∴BD=2BC=2HE，BF=2BH，
∵HE+BH=BE，
∴BF+BD=2BE．
28. （1） 1（答案不唯一）
【解析】如图 1 中，当直线 x=k 与 ⊙O 有两个交点，即满足条件．
∴−2 （2） ①如图 2 中，连接 AC．
当 t=3 时，OA=3，
由题意 C0,3，B−33,0，
∴OC=3，OB=33，
∴OC2=OB⋅OA，
∴OCOA=OBOC，
∵∠COB=∠AOC=90∘，
∴△BOC∽△COA，
∴∠OBC=∠ACO，
∵∠OBC+∠BCO=90∘，
∴∠ACO+∠BCO=90∘，
∴∠ACB=90∘，
∴ 当 r=AC=23 时，直线 BC 与 ⊙A 相切，
当 ⊙A 经过点 B 时，r=43，
观察图象可知，满足条件的 r 的值：r=23 或 r≥43．
②当 ⊙A 与直线 BC 相切时，t=3 或 −73，
当 ⊙A 经过点 B 时，t=−3 或 −53，
当 A，B 重合时，t=−33．
观察图象可知，满足条件的 t 的值为：t=3 或 t=−73 或 −53≤t≤−3 且 t≠−33．