2021年上海市普陀区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2021年上海市普陀区中考一模数学试卷（期末），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 下列函数中，y 关于 x 的二次函数是
A. y=ax2+bx+cB. y=1x2+1
C. y=xx+1D. y=x+22−x2

2. 如果点 A3,m 在 x 轴上，那么点 Bm+2,m−3 所在的象限是
A. 第一象限；B. 第二象限；C. 第三象限；D. 第四象限．

3. 已知在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=3，BC=2，那么 tanB 的值等于
A. 23B. 53C. 52D. 255

4. 在下列对抛物线 y=−x−12 的描述中，正确的是
A. 开口向上B. 顶点在 x 轴上
C. 对称轴是直线 x=−1D. 与 y 轴的交点是 0,1

5. 已知 a 是非零向量，b=−2a，下列说法中错误的是
A. b 与 a 平行B. b 与 a 互为相反向量
C. ∣b∣=2∣a∣D. a=−12b

6. 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，OAOB=ODOC，由此推得的正确结论是
A. OAOD=ABCDB. OAOC=ADBCC. OBOD=ABCDD. ABCD=ADBC

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 已知 xy=52，那么 x+yx−y= ．

8. 如果正比例函数 y=kx 的图象经过第一、三象限，那么 y 的值随着 x 的值增大而 ．（填“增大”或“减小”）

9. 沿着 x 轴正方向看，如果抛物线 y=a−2x2 在对称轴左侧的部分是下降的，那么 a 的取值范围是 ．

10. 二次函数 y=2x2+4x 图象的顶点坐标为 ．

11. 如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A1,0，那么 f−1 0．（填“>”、“<”或“=”）

12. 在 △ABC 中，AB+CA+BC= ．

13. 如图，D，E 分别是 △ABC 的边 AB，AC 上的点，且 ∠AED=∠B．如果 AB=12，AE=6，EC=2，那么 AD 的长等于 ．

14. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，点 D，E 分别在边 BC，AB 上，CD=BD，∠ECB=∠B，AD 与 CE 交于点 F，如果 AB=6，那么 CF 的长等于 ．

15. 如图，小明在教学楼 AB 的楼顶 A 测得：对面实验大楼 CD 的顶端 C 的仰角为 α，底部 D 的俯角为 β．如果教学楼 AB 的高度为 m 米，那么两栋教学楼的高度差 CH 为 米．

16. 如图，△ABC 为等边三角形，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，∠ADE=60∘，如果 BD:DC=1:2，AD=2，那么 DE 的长等于 ．

17. 勾股定理是世界文明宝库中的一颗璀璨明珠，我国汉代数学家赵爽将四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形 ABCD，同时留下一个小正方形 EFGH 的空隙（如图），利用面积证明了勾股定理．如果小正方形 EFGH 的面积是 4，sin∠GBC=1010，那么大正方形 ABCD 的面积等于 ．

18. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，将 △ABE 沿着直线 AE 翻折得到 △AFE，点 B 的对应点 F 恰好落在线段 DE 上，线段 AF 的延长线交边 CD 于点 G，如果 BE:EC=3:2，那么 AF:FG 的值等于 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：cs30∘−2sin245∘+22sin60∘+tan45∘．

20. 如图，已知点 B，E，C，F 在同一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，AC 与 DE 相交于点 G，AGGC=DGGE=12，BE=2．
（1）求 BF 的长；
（2）设 EG=a，BE=b，那么 BF= ，DF= ．（用向量 a，b 表示）

21. 在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y=6x 的图象与一次函数 y=kx−1 的图象相交于横坐标为 3 的点 A．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）如图，已知点 B 在这个一次函数图象上，点 C 在反比例函数 y=6x 的图象上，直线 BC∥x 轴，且在点 A 上方，并与 y 轴相交于点 D．如果点 C 恰好是 BD 的中点，求点 B 的坐标．

22. 如图，在 △ABC 中，BC 上的一点 D 在边 AB 的垂直平分线上，AB2=BD⋅BC．
（1）求证：∠B=∠C．
（2）如果 AB=210，BC=10，求 cs∠ADC 的值．

23. 已知：如图，AD∥BC，∠ABD=∠C，AE⊥BD，DF⊥BC，点 E，F 分别为垂足．
（1）求证：AEDF=BDBC．
（2）连接 EF，如果 ∠ADB=∠BDF，求证：DF⋅DC=EF⋅BC．

24. 在平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知抛物线 y=ax2+bx+1 与 y 轴交于点 A，顶点 B 的坐标为 2,−1．
（1）直接写出点 A 的坐标，并求抛物线的表达式．
（2）设点 C 在 x 轴上，且 ∠CAB=90∘，直线 AC 与抛物线的另一个交点为点 D．
①求点 C，D 的坐标；
②将抛物线 y=ax2+bx+1 沿着射线 BD 的方向平移；平移后的抛物线顶点仍在线段 BD 上；点 A 的对应点为点 P．设线段 AB 与 x 轴的交点为点 Q，如果 △ADP 与 △CBQ 相似，求点 P 的坐标．

25. 如图，矩形 ABCD 中，AB=1，BC=3，点 E 是边 BC 上一个动点（不与点 B，C 重合），AE 的垂线 AF 交 CD 的延长线于点 F．点 G 在线段 EF 上，满足 FG:GE=1:2．设 BE=x．
（1）求证：ADAB=DFBE；
（2）当点 G 在 △ADF 的内部时，用 x 的代数式表示 ∠ADG 的余切；
（3）当 ∠FGD=∠AFE 时，求线段 BE 的长．
答案
第一部分
1. C
2. D
3. C
4. B
5. B
6. A
第二部分
7. 73
8. 增大
9. a>2
10. −1,−2
11. >
12. 0
13. 4
14. 2
15. mtanαctβ
16. 43
17. 10
18. 214
第三部分
19. 原式=32−2×222+22×32+1=32−1+23+1=32−1+3−1=332−2.
20. （1） ∵AB∥DE，
∴AGGC=BEEC．
∵AGGC=12，BE=2，
∴EC=4．
同理 CF=2．
∴BF=8．
（2） 4b；−32a+3b
21. （1） ∵ 反比例函数 y=6x 的图象经过点 A，
∴ 把 x=3 代入 y=6x，可得 y=2．
∴ 点 A 的坐标为 3,2．
由一次函数 y=kx−1 的图象经过点 A3,2，可得 2=3k−1，解得 k=1．
所以这个一次函数的解析式是 y=x−1．
（2） 由题意可设点 B 的坐标为 m,m−1m>0，点 C 的坐标为 m2,m−1．
∵ 点 C 在反比例函数 y=6x 的图象上，
∴ 把 x=m2，y=m−1 代人 y=6x．
得 m−1=12m．
整理，得 m2−m−12=0．
解得 m1=−3（舍），m2=4．
∴ 点 B 的坐标为 4,3．
22. （1） ∵AB2=BD⋅BC，
∴ABBD=BCAB．
∵∠B 为公共角，
∴△ABC∽△DBA．
∴∠C=∠BAD．
∵ 点 D 在边 AB 的垂直平分线上，
∴AD=BD．
∴∠B=∠BAD．
∴∠B=∠C．
（2） 过点 A 作 AH⊥BC，垂足为点 H．
由 AB2=BD⋅BC，AB=210，BC=10，可得 BD=4．
∴AD=BD=4．
∵∠B=∠C，
∴AB=AC．
又 ∵AH⊥BC，
∴BH=12BC=5．
∴DH=1．
在 Rt△ADH 中，cs∠ADC=DHAD=14．
23. （1） ∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC．
∵∠ABD=∠C，
∴△ADB∽△DBC．
∵AE⊥BD，
∴AE 是 △ADB 的高，
同理 DF 是 △DBC 的高，
∴AEDF=BDBC．
（2） ∵DF⊥BC，
∴∠DFC=90∘．
∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠DFC=90∘．
∵∠ADB=∠BDF，
∴∠ADB=45∘．
∵AE⊥BD，
∴AE=DE．
∵AEDF=BDBC，
∴DEDF=BDBC．
∴DEBD=DFBC．
又 ∵∠EDF=∠DBC，
∴△DEF∽△BDC．
∴EFDC=DFBC．
∴DF⋅DC=EF⋅BC．
24. （1） A0,1．
由抛物线 y=ax2+bx+1 的顶点 B 的坐标为 2,−1，
可设此抛物线的表达式为 y=ax−22−1．
由抛物线经过点 A0,1，
得 1=4a−1，解得 a=12，
∴ 抛物线的表达式是 y=12x−22−1．
即：y=12x2−2x+1．
（2） ①由 B2,−1，A0,1，可得 ∠BAO=45∘．
由 ∠CAB=90∘，可得 ∠CAO=45∘，CO=1．
∴ 点 C 的坐标为 −1,0．
由直线 AC 与抛物线的另一个交点为点 D，可设点 D 的坐标为 m,12m2−2m+1．
过点 D 作 DH⊥AO，H 为垂足．
可得 AH=12m2−2m，DH=m．
∵∠CAO=45∘，
∴∠HAD=45∘．
∴AH=DH．
∴12m2−2m=m．
∵m≠0，解得 m=6．
∴ 点 D 的坐标为 6,7．
②过点 B 作 BG⊥CO，G 为垂足．
在 Rt△CBG 中，tan∠GCB=13，在 Rt△ADB 中，tan∠ADB=ABAD=13．
∴∠GCB=∠ADB．
由平移可得 AP∥BD，
∴∠PAD=∠ADB．
∴∠PAD=∠GCB．
在 △CBQ 中，∠BQC=135∘，又因为平移后顶点仍在线段 BD 上，
∴∠ADP 最大等于 90∘．
如果 △ADP 与 △CBQ 相似，只能 ∠APD=135∘，
由 CQAP=BCAD，可得 AP=1255．
∵∠QCB+∠QBC=45∘，∠PAD+∠PAH=45∘，
∴∠ABC=∠PAH．
过点 P 作 PM⊥AH，M 为垂足．
在 Rt△ABC 中，tan∠ABC=12，
∴ 在 Rt△APM 中，tan∠PAM=12．
可得点 P 的坐标为 125,295．
25. （1） ∵ 矩形 ABCD，
∴∠BAD=∠B=∠C=∠CDA=90∘，AD=BC=3，CD=AB=1．
由 ∠BAD=90∘，可得 ∠BAE+∠EAD=90∘，
由 AE⊥AF，可得 ∠DAF+∠EAD=90∘．
∴∠BAE=∠DAF．
由 ∠CDA=90∘，可得 ∠ADF=90∘．
∴∠B=∠ADF．
∴△ABE∽△ADF．
∴ADAB=DEBE．
（2） 由 ADAB=DEBE，可得 DF=3x．
过点 G 作 GH⊥DF，H 为垂足．
可证 GH∥EC，
∴GHEC=FHFC=FGFE．
由 FG:GE=1:2，可得 GH=133−x=1−13x，FH=133x+1=x+13．
（3） 略．