2020-2021学年北京市房山区九上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市房山区九上期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

2. sin30∘ 的值等于
A. 12B. 22C. 32D. 1

3. 如图，在 △ABC 中，DE∥BC，若 AD=2，AB=3，则 AEAC 等于
A. 14B. 13C. 12D. 23

4. 如图，OA，OB 是 ⊙O 的半径，若 ∠AOB=50∘，则 ∠ACB 的度数是
A. 25∘B. 50∘C. 75∘D. 100∘

5. 在半径为 2 的圆中，90∘ 的圆心角所对的弧长为
A. π4B. π3C. π2D. π

6. 若点 Ax1,−1，Bx2,2，Cx3,3 都在反比例函数 y=6x 的图象上，则 x1，x2，x3 的大小关系是
A. x1
7. 在 △ABC 中，BC=2，AC=23，∠A=30∘，则 AB 的长为
A. 3B. 2C. 3 或 4D. 2 或 4

8. 如图，二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象经过 A0,1，B2,−1，C4,5 三点，下面四个结论中正确的是
A. 抛物线开口向下
B. 当 x=2 时，y 取最小值 −1
C. 当 m>−1 时，一元二次方程 ax2+bx+c=m 必有两个不相等实根
D. 直线 y=kx+ck≠0 经过点 A，C，当 kx+c
二、填空题（共8小题；共40分）
9. 已知 xy=13，则 x+yx= ．

10. 请写出一个过点 1,1 的函数表达式： ．

11. 四边形 ABCD 内接于 ⊙O，若 ∠B=70∘，则 ∠D 的度数为 ∘．

12. 函数 y=x2 的图象向下平移 3 个单位，得到函数图象的表达式是 ．

13. 如图，点 D，E 分别在 △ABC 的 AB，AC 边上．只需添加一个条件即可证明 △ADE∽△ACB，这个条件可以是 ．（写出一个即可）

14. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 H，若 AB=10，CD=8，则 OH 的长度为 ．

15. 如图所示的网格是边长为 1 的正方形网格，A，B，C 是网格线交点，则 cs∠ABC= ．

16. 我们将满足等式 x2+y2=1+xy 的每组 x，y 的值在平面直角坐标系中画出，便会得到如图所示的“心形”图形．下面四个结论中，
①“心形”图形是轴对称图形；
②“心形”图形所围成的面积小于 3；
③“心形”图形上任意一点到原点的距离都不超过 2；
④“心形”图形恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．
所有正确结论的序号是 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 如图，已知 AB∥CD，ABDC=ADDE．求证：∠B=∠C．

18. 已知二次函数 y=x2−2x−3．
（1）求它的图象的顶点坐标和对称轴．
（2）画出它的图象．并结合图象，当 x>0 时，则 y 的取值范围是 ．

19. 已知：线段 a，c．
求作：Rt△ABC，使其斜边 AB=c，一条直角边 BC=a．
作法：①作线段 AB=c；
②分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 12AB 的长为半径作弧，两弧相交于 D，E 两点，作直线 DE 交 AB 于点 O；
③以 O 为圆心，OA 长为半径作 ⊙O；
④以点 B 为圆心，线段 a 的长为半径作弧交 ⊙O 于点 C，连接 CA，CB．
△ABC 就是所求作的直角三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）．
（2）完成下面的证明．
证明：
∵ 点 O 在线段 AB 的垂直平分线上，
∴ 点 O 为线段 AB 的中点，OA 为 ⊙O 的半径．
∴AB 为 ⊙O 的直径．
∵ 点 C 在 ⊙O 上，
∴∠ACB= ∘（ ）（填推理的依据）．
∴△ABC 为直角三角形．

20. 在“综合与实践”活动中，某校九年级数学小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥 AB 是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥 AB 的上方 90m 的点 C 处悬停，此时测得桥两端 A，B 两点的俯角分别为 30∘ 和 45∘，求桥 AB 的长度．（结果精确到 1m．参考数据：2≈1.41，3≈1.73）

21. 如图，一次函数 y1=kx+2 的图象与 x 轴交于点 B−2,0，与反比例函数 y2=mxx>0 的图象交于点 A1,a．
（1）求 m 的值．
（2）点 C 为 x 轴上一动点．若 △ABC 的面积是 6，请直接写出点 C 的坐标．

22. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，⊙O 过 AC 的中点 D，DE⊥BC，垂足为点 E．
（1）求证：DE 与 ⊙O 相切．
（2）若 tanA=34，BC=5．求 DE 的长．

23. 已知抛物线 y=ax2+bxa≠0 经过点 A4,4．
（1）当抛物线与 x 轴交于点 B2,0 时，求抛物线的表达式．
（2）设抛物线与 x 轴两交点之间的距离为 d．当 d>2 时，求 a 的取值范围．

24. 如图，已知 BD 是矩形 ABCD 的一条对角线，点 E 在 BA 的延长线上，且 AE=AD．连接 EC，与 AD 相交于点 F，与 BD 相交于点 G．
（1）依题意补全图形．
（2）若 AF=AB，解答下列问题：
①判断 EC 与 BD 的位置关系，并说明理由．
②连接 AG，用等式表示线段 AG，EG，DG 之间的数量关系，并证明．

25. 定义：在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 为图形 M 上一点，点 Q 为图形 N 上一点．若存在 OP=OQ，则称图形 M 与图形 N 关于原点 O“平衡”．
（1）如图，已知 ⊙A 是以 1,0 为圆心，2 为半径的圆，点 C−1,0，D−2,1，E3,2．
①在点 C，D，E 中，与 ⊙A 关于原点 O“平衡”的点是 ．
②点 H 为直线 y=−x 上一点，若点 H 与 ⊙A 关于原点 O“平衡”，求点 H 的横坐标的取值范围．
（2）如图，已知图形 G 是以原点 O 为中心，边长为 2 的正方形，⊙K 的圆心在 x 轴上，半径为 2，若 ⊙K 与图形 G 关于原点 O“平衡”，请直接写出圆心 K 的横坐标的取值范围．
答案
第一部分
1. C【解析】A选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；
B选项：是中心对称图形，不是轴对称图形，故B错误；
C选项：既是中心对称图形也是轴对称图形，故C正确；
D选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．
2. A【解析】由三角函数定义可得：sin30∘=12．
3. D【解析】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AEAC=ADAB=23．
4. A【解析】由圆周角定理可知，∠ACB=12∠AOB，
∵∠AOB=50∘，
∴∠ACB=25∘．
5. D
【解析】∵ 半径 r=2，圆心角 n=90∘，
∴ 弧长 =nπr180=90180×2×π=π．
6. B【解析】当 y=−1 时，6x1=−1，解得：x1=−6；
当 y=2 时，6x2=2，解得：x2=3；
当 y=3 时，6x3=3，解得：x3=2．
∵3>2>−6，
∴x17. D【解析】依题意可作出如图 Rt△ABC，
CB=2，∠A=30∘，AC=23，
∴ 在 Rt△ABC 中，AB=2sin30∘=4，
又根据 CB=2，∠A=30∘，AC=23 不变，
∴ 可作出钝角三角形 ABʹC 如图，
此时由 △ABC 知 ∠B=60∘，
又 ∵CBʹ=CB，
∴△CBBʹ 为正三角形，
∴∠BBʹC=60∘，
又 ∵∠A=30∘，
∴∠BʹCA=60∘−30∘=30∘=∠A，
∴CBʹ=ABʹ=2，
∴ 综上 AB=2 或 4．
8. C【解析】∵ 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象经过 A0,1，B2,−1，C4,5 三点，
∴c=1,4a+2b+c=−1,16a+4b+c=5, 解得 a=1,b=−3,c=1,
∴y=x2−3x+1=x−322−54，
∴ 抛物线开口向下，故A错误；
当 x=32 时，y 取得最小值为 −54，故B错误；
当 m>−1 时，一元二次方程 ax2+bx+c=m 必有两个不相等的实数，故C正确；
直线 y=kx+ck≠0 经过点 A，C，当 kx+c4，故D错误．
第二部分
9. 10
【解析】∵xy=13，
∴y=3x，
则 x+3yx=x+3⋅3xx=x+9xx=10xx=10．
10. y=x 或 y=x2 或 y=1x（答案不唯一）
【解析】过点 1,1 的函数表达式可以是：y=x 或 y=x2 或 y=1x（答案不唯一）．
11. 110
【解析】∵ 四边形 ABCD 内接于圆 O，
∴∠D+∠B=180∘，
∴∠D=180∘−∠B=180∘−70∘=110∘．
12. y=x2−3
【解析】由函数图象平移规律可知，上加下减，函数 y=x2 的图象向下平移 3 个单位，得到函数图象的表达式是 y=x2−3．
13. ∠ADE=∠C 或 ∠AED=∠B 或 ADAC=AEAB
【解析】由已知可得 ∠A=∠A，添加 ∠ADE=∠C 或 ∠AED=∠B，
根据“两角对应相等的两个三角形相似”，得 △ABC∽△AED．
添加 ADAC=AEAB 也可得到 △ABC∽△AED．
14. 3
【解析】连接 OC，
Rt△OCH 中，OC=12AB=5，CH=12CD=4
由勾股定理，得：OH=OC2−CH2=52−42=3，
即线段 OH 的长为 3．
15. 45
【解析】过点作 AD⊥BC 的延长线于点 D，
由图形可知 BD=4，AD=3，
在 Rt△ABD 中：
AB=BD2+AD2=42+32=5，
cs∠ABC=BDAB=45．
16. ①③④
【解析】①用 −x 代替 x，原方程不变（图形关于 y 轴对称），
∴“心形”图形为轴对称图形；
②取 x 轴上方四点 −1,0，1,0，1,1，−1,1（该四点均在“心形”图形上），
该四点所围成的面积为 1×2=2，
取 x 轴下方三点 −1,0，1,0，0,−1（该三点也在“心形”图形上），
该 3 点所围成面积为 12×1×2=1，
x 轴上下方所围面积和：1+2=3，
∴“心形”图形所围面积 >3，②错误；
③ x≥0 时，x2+y2≤2，
∴“心形”图形右侧部分的点到原点距离 ≤2，
由轴对称性质可知：“心形”图形上所有点到原点距离 ≤2，
∴ ③正确；
④当 x≥0 时，x2+y2=1+xy，
即 x2+y2=1+xy≤1+x2+y22⇒x2+y2≤2，
∴ 曲线经过点 0,1，0,−1，1,0，1,2，−1,0，−1,1，
∴ 曲线恰好过 6 个整点，④正确．
第三部分
17. ∵AB∥CD，
∴∠A=∠CDE．
∵ABDC=ADDE，
∴△ABD∽△DCE．
∴∠B=∠C．
18. （1） y=x2−2x−3=x−12−4，
∴ 二次函数 y=x2−2x−3 的图象的顶点坐标为 1,−4，
对称轴为：直线 x=1．
（2） 二次函数图象如下图：
y≥−4
19. （1） 补全的图形如图所示：
（2） 90，直径所对的圆周角是直角
20. 过 C 点作 CD⊥AB，垂足为 D．
∴∠ADC=∠BDC=90∘，
在 Rt△BDC 中
∵∠B=45∘，CD=90，
∴BD=CD=90．
在 Rt△ADC 中，
∵∠A=30∘，CD=90，
∴∠ACD=60∘，
∴AD=CD⋅tan60∘=903，
∴AB=AD+BD=903+90≈246m．
答：桥 AB 的长度约为 246m．
21. （1） ∵ 一次函数 y1=kx+2 的图象与 x 轴交于点 B−2,0，
∴−2k+2=0，
∴k=1，
∴y1=x+2，
∵ 一次函数 y1=kx+2 的图象与反比例函数 y2=mxx>0 的图象交于点 A1,a，
∴a=1+2=3．
把 A1,3 代入 y2=mx，得 m=3．
（2） 2,0 或 −6,0．
【解析】设 C 点坐标为 t,0，
∵B 点坐标为 −2,0，
∴BC=t+2，
∴S△ABC=12BC⋅yA=12t+2×3=6，
∴t+2=4，
∴t=2 或 t=−6，
∴C 点坐标为 2,0 或 −6,0．
22. （1） 连接 OD，
∵O 为 AB 中点，D 是 AC 的中点，
∴OD 是 △ABC 的中位线，
∴OD∥BC，
∴∠ODE=∠DEC，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90∘，
∴∠ODE=90∘，
∴OD⊥DE，
∵⊙O 过 AC 的中点 D，
∴DE 与 ⊙O 相切．
（2） 连接 BD，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴BD⊥AC，
∵D 是 AC 的中点，
∴AB=BC，
∴∠A=∠C，
∴tanA=tanC，
在 Rt△BDC 中，
∵tanC=tanA=34，BC=5，
∴DB=3，CD=4，
∵12BC⋅DE=12BD⋅DC，
∴DE=125．
23. （1） 由题意得 16a+4b=4,4a+2b=0.
∴a=12，b=−1．
∴ 抛物线的表达式为 y=12x2−x．
（2） ∵ 抛物线 y=ax2+bxa≠0 经过点 A4,4，
∴16a+4b=4．
∴b=1−4a．
令 y=ax2+bx=ax2+1−4ax=0．
∴ax2+1−4ax=0．
∴xax−4a−1=0．
∵a≠0，
∴x1=0，x2=4−1a．
∵d>2，
∴4−1a>2 或 4−1a<−2．
即 1a<2 或 1a>6．
①当 a>0 时，012．
②当 a<0 时，1a<2 恒成立．
∴a<0．
∴ 综上所述，a<0，012．
24. （1） 补全的图形如图所示：
（2） ①由矩形性质知 ∠DAB=90∘，
∴∠EAF=90∘，
在 △AEF 与 △ADB 中，
AE=AD,∠E=∠ADB,AF=AB,
∴△AEF≌△ADBSAS，
∴∠E=∠ADB，
∵∠AFE=∠DFG，
∴∠DGF=∠EAF=90∘，
∴EC⊥BD．
② EG−DG=2AG．
方法一：
如图，在线段 EG 上取点 P，使得 EP=DG，连接 AP．
在 △AEP 与 △ADG 中，
AE=AD,∠E=∠ADG,EP=DG,
∴△AEP≌△ADGSAS，
∴AP=AG，∠EAP=∠DAG．
∴∠PAG=∠PAD+∠DAG=∠PAD+∠EAP=∠DAE=90∘，
∴△PAG 为等腰直角三角形，
∴PG=2AG，
∴EG−DG=EG−EP=PG=2AG．
【解析】②方法二：
如图，过点 A 作 AG 的垂线，与 DB 的延长线交于点 Q，连接 AQ，BQ．
在 △AEG 与 △ADQ 中，
∠E=∠ADQ,AE=AD,∠EAG=90∘+∠DAG=∠DAQ,
∴△AEG≌△ADQASA
∴EG=DQ，AG=AQ，
∴△GAQ 为等腰直角三角形，
∴GQ=2AG，
∴EG−DG=DQ−DG=GQ=2AG．
25. （1） ①点 C，D
②若点 H 可以与 ⊙A 关于原点 O“平衡”，则 1≤OH≤3，
∴ 点 H 横坐标的取值范围是 −322≤xH≤−22 或 22≤xH≤322．
【解析】①
（2） 2−2≤x≤2+2 或 −2−2≤x≤2−2．
【解析】圆心 K 的横坐标的取值范围：2−2≤x≤2+2 或 −2−2≤x≤2−2．