数学必修 第四册9.1.2 余弦定理教案

这是一份数学必修 第四册9.1.2 余弦定理教案，共6页。教案主要包含了教学过程，教师小结等内容，欢迎下载使用。

【教学过程】
一、问题导入
如图所示，A，B分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一点C，然后使用测量仪得出AC，BC以及的大小.你能根据这3个量求出AB吗？
二、新知探究
1.已知两边及一角解三角形
【例1】已知，根据下列条件解三角形：
，，.
[解]由余弦定理知．
．
即，解得或.
当时，由余弦定理，得.
，，.
当时，由余弦定理，得.
，，.
故，，或，，.
【教师小结】已知两边及一角解三角形有以下两种情况：
（1）若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解．
（2）若已知角是两边的夹角．则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角．
2.已知三边或三边关系解三角形
【例2】（1）已知的三边长为，，，求的各角度数；
（2）已知的三边长为，，，求的最大内角．
[解]（1）由余弦定理得：
，
.
，
，.
（2），，∴最大．由余弦定理，得，
即，
，
，
.
的最大内角为.
【教师小结】
（1）已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．
（2）若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边解三角形．
3.正、余弦定理的综合应用
[探究问题]
（1）在中，，，的对边分别为a，b，c，若，则成立吗？反之，说法正确吗？为什么？
[提示]设的外接圆半径为R.
由正弦定理的变形，将，，，代入可得．反之，将，，代入可得.因此，这两种说法均正确．
（2）在中，若，则成立吗？反之，若，则成立吗？为什么？
[提示]因为，所以，由余弦定理的变形，即，所以，反之，若，则，即，所以，即.
【例3】在中，若，判断的形状．
[思路探究]角边转化．
[解]法一：，
由正、余弦定理可得：
，
整理得：，
即，
或.
或．
故为直角三角形、等腰三角形或等腰直角三角形．
法二：根据正弦定理，原等式可化为：
，
即．
，，
．
或，
即或.
故是等腰三角形、直角三角形或等腰直角三角形．
【教师小结】
（1）法一是用余弦定理将等式转化为边之间的关系式，法二是借助于正弦定理，将已知等式转化为角的三角函数关系式．这两种方法是判断三角形形状的常用手段．
（2）一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用．
三、课堂总结
1．本节课的重点是余弦定理及其推论，并能用它们解三角形，难点是在解三角形时，对两个定理的选择．
2．本节课要掌握的解题方法：
（1）已知三角形的两边与一角，解三角形．
（2）已知三边解三角形．
（3）利用余弦定理判断三角形的形状．
3．本节课的易错点有两处：
（1）正弦定理和余弦定理的选择：
已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来．比较两种方法，采用余弦定理较简单．
（2）利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理的表达形式是边长的平方，通常转化为一元二次方程的形式求解根的问题．
四、课堂检测
1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解．（ ）
（2）余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形．（ ）
（3）利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题．（ ）
（4）在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例．（ ）
[解析](1）×.由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知两边及一边的对角，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理求解．
（2）√.余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形．
（3）√.结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确．
（4）√.余弦定理可以看作勾股定理的推广．
[答案]（1）×
（2）√
（3）√
（4）√
2．在中，若，则的形状一定是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
C[，
，
．故为等腰三角形．]
3．在中，已知，，，则边________.
[根据余弦定理，.]
4．在中，已知，，，解此三角形．
[解]由余弦定理得，
，
.
法一：由，
，.
故.
法二：由正弦定理，
，
，
，，
最小，
即为锐角．
因此.
故.教学目标
核心素养
1.掌握余弦定理及其推论．（重点）
2．掌握正、余弦定理的综合应用．（难点）
3．能应用余弦定理判断三角形的形状．（易错点）
1.借助余弦定理的推导，提升学生的逻辑推理的素养．
2．通过余弦定理的应用的学习，培养学生的数学运算的素养．