课时过关检测（十四） 导数的概念及运算

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1．曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为( )
A．(1－e)x－y＋1＝0B．(1－e)x－y－1＝0
C．(e－1)x－y＋1＝0D．(e－1)x－y－1＝0
解析：选C 由于y′＝e－eq \f(1,x)，所以y′|x＝1＝e－1，故曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为y－e＝(e－1)·(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.
2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)的值等于( )
A．－2B．2
C．－eq \f(9,4)D．eq \f(9,4)
解析：选C 因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋eq \f(1,x)，所以f′(2)＝2×2＋3f′(2)＋eq \f(1,2)，解得f′(2)＝－eq \f(9,4).
3.(2021·益阳、湘潭调研)已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设eq \f(f 2－f 1,2－1)＝a，则下列不等式正确的是( )
A．f′(1)B．f′(1)C．f′(2)D．a解析：选B 由图象可知，在(0，＋∞)上，函数f(x)单调递增，且曲线切线的斜率越来越大，
∵eq \f(f 2－f 1,2－1)＝a，∴易知f′(1)4．(2021·湖北八校第一次联考)已知曲线C：f(x)＝x3－3x，直线l：y＝ax－eq \r(3)a，则a＝6是直线l与曲线C相切的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 因为曲线C：f(x)＝x3－3x，所以f′(x)＝3x2－3.设直线l与曲线C相切，且切点的横坐标为x0，则切线方程为y＝(3xeq \\al(2,0)－3)x－2xeq \\al(3,0)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x\\al(2,0)－3＝a，,2x\\al(3,0)＝\r(3)a，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝\r(3)，,a＝6))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－\f(\r(3),2)，,a＝－\f(3,4)，))所以a＝6是直线l与曲线C相切的充分不必要条件，故选A．
5．(多选)如图所示的是物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法不正确的是( )
A．在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
C．在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
解析：选ABD 在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为eq \x\t(v)＝eq \f(s0,t0)，故A、B错误；
在t0到t1范围内，甲的平均速度为eq \f(s2－s0,t1－t0)，乙的平均速度为eq \f(s1－s0,t1－t0).因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以eq \f(s2－s0,t1－t0)>eq \f(s1－s0,t1－t0)，故C正确，D错误．
6．(多选)若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝3cs xB．f(x)＝x3＋x
C．f(x)＝x＋eq \f(1,x)D．f(x)＝ex＋x
解析：选BC 对于A，f(x)＝3cs x，其导数f′(x)＝－3sin x，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；
对于B，f(x)＝x3＋x，其导数f′(x)＝3x2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；
对于C，f(x)＝x＋eq \f(1,x)，其导数f′(x)＝1－eq \f(1,x2)，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；
对于D，f(x)＝ex＋x，其导数f′(x)＝ex＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意．
7．(2021·江西南昌一模)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝x＋ln x，则f′(1)＝ .
解析：因为f(ln x)＝x＋ln x，所以f(x)＝x＋ex，
所以f′(x)＝1＋ex，所以f′(1)＝1＋e1＝1＋e.
答案：1＋e
8.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，则曲线g(x)在x＝3处的切线方程为 ．
解析：由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处的切线斜率等于－eq \f(1,3)，即f′(3)＝－eq \f(1,3).又g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g(3)＝3f(3)＝3，g′(3)＝1＋3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝0，则曲线g(x)在x＝3处的切线方程为y－3＝0.
答案：y－3＝0
9．(2021·开封市模拟考试)已知函数f(x)＝mx3＋6mx－2ex，若曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与直线4x＋y－2＝0平行，则m＝ .
解析：f′(x)＝3mx2＋6m－2ex，则f′(0)＝6m－2＝－4，解得m＝－eq \f(1,3).
答案：－eq \f(1,3)
10．若函数y＝2x3＋1与y＝3x2－b的图象在一个公共点处的切线相同，则实数b＝ .
解析：设公共切点的横坐标为x0，函数y＝2x3＋1的导函数为y′＝6x2，y＝3x2－b的导函数为y′＝6x，由图象在一个公共点处的切线相同，可得6xeq \\al(2,0)＝6x0且1＋2xeq \\al(3,0)＝3xeq \\al(2,0)－b，解得x0＝0，b＝－1或x0＝1，b＝0.故实数b＝0或－1.
答案：0或－1
11．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．
(1)求P0的坐标；
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．
解：(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，
由已知令3x2＋1＝4，解得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
又∵点P0在第三象限，
∴切点P0的坐标为(－1，－4)．
(2)∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，
∴直线l的斜率为－eq \f(1,4).
∵l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，
∴直线l的方程为y＋4＝－eq \f(1,4)(x＋1)，
即x＋4y＋17＝0.
12．设函数f(x)＝ax－eq \f(b,x)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝eq \f(7,4)x－3.
当x＝2时，y＝eq \f(1,2).又f′(x)＝a＋eq \f(b,x2)，
于是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－\f(b,2)＝\f(1,2)，,a＋\f(b,4)＝\f(7,4)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝3.))故f(x)＝x－eq \f(3,x).
(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋eq \f(3,x2)，知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(3,x\\al(2,0))))(x－x0)，
即y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(3,x0)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(3,x\\al(2,0))))(x－x0)．
令x＝0，得y＝－eq \f(6,x0)，
从而得切线与直线x＝0的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(6,x0))).
令y＝x，得y＝x＝2x0，
从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(6,x0)))·|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.
B级——综合应用
13．(2021·甘肃、青海、宁夏联考)过点M(－1,0)引曲线C：y＝2x3＋ax＋a的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A、B两点，若|MA|＝|MB|，则a＝ .
解析：设切点坐标为(t,2t3＋at＋a)，∵y′＝6x2＋a，∴6t2＋a＝eq \f(2t3＋at＋a,t＋1)，即4t3＋6t2＝0，解得t＝0或t＝－eq \f(3,2)，∵|MA|＝|MB|，∴两切线的斜率互为相反数，即2a＋6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))2＝0，解得a＝－eq \f(27,4).
答案：－eq \f(27,4)
14．(2021·江西五校联考)已知函数f(x)＝x＋eq \f(a,2x)，若曲线y＝f(x)存在两条过(1,0)点的切线，则a的取值范围是 ．
解析：f′(x)＝1－eq \f(a,2x2)，设切点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，x0＋\f(a,2x0)))，则切线方程为y－x0－eq \f(a,2x0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,2x\\al(2,0))))(x－x0)，又切线过点(1,0)，所以－x0－eq \f(a,2x0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,2x\\al(2,0))))(1－x0)，整理得2xeq \\al(2,0)＋2ax0－a＝0，又曲线y＝f(x)存在两条过(1,0)点的切线，故方程有两个不等实根，即满足Δ＝4a2－8(－a)＞0，解得a＞0或a＜－2.
答案：(－∞，－2)∪(0，＋∞)
15．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.
(1)求a的值；
(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
解：(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，
因为f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，所以a＝－2.
(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0,3xeq \\al(2,0)＋6x0＋12)．
因为g′(x0)＝6x0＋6，
所以切线方程为y－(3xeq \\al(2,0)＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，
将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.
当x0＝－1时，切线方程为y＝9；
当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.
由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，
①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，
解得x＝－1或x＝2.
在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；
在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，
所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.
②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，
解得x＝0或x＝1.
在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；
在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，
所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.
综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.