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2021年安徽省十校联盟中考数学二模试卷（b卷）
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这是一份2021年安徽省十校联盟中考数学二模试卷（b卷），共27页。试卷主要包含了选择题每小题都给出A，三两个月用户的平均每月增长率是等内容，欢迎下载使用。
2021年安徽省十校联盟中考数学二模试卷（B卷）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1．（4分）﹣的绝对值是（ ）
A． B．﹣3 C．3 D．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．m+2m＝3m2 B．2m3•3m2＝6m6
C．（2m）3＝8m3 D．m6÷m2＝m3
3．（4分）一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）安徽省统计局数据显示，2021年一季度安徽省生产总值9529.1亿元，同比增长18.7%．其中第二产业增速最快，一季度第二产业增加值3714.3亿元，同比增长22.9%．将数据“9529.1亿”用科学记数法表示（ ）
A．0.95291×1013 B．9.5291×1012
C．9.5291×1011 D．9.5291×1010
5．（4分）估计（2+3）×的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
6．（4分）关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
7．（4分）某班级开展“好书伴成长”读书活动，统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的数量，绘制了折线统计图，下列说法正确的是（ ）
A．每月阅读课外书本数的众数是45
B．每月阅读课外书本数的中位数是58
C．从2到6月份阅读课外书的本数逐月下降
D．从1到7月份每月阅读课外书本数的最大值比最小值多45
8．（4分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA＝，则AD的长是（ ）
A． B．2 C．1 D．2
9．（4分）疫情期间居民为了减少外出时间，更愿意使用APP在线上购物，某购物APP今年二月份用户比一月份增加了44%，三月份用户比二月份增加了21%，则二、三两个月用户的平均每月增长率是（ ）
A．28% B．30% C．32% D．32.5%
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，E、F分别在BC、CD上运动（不与端点重合），连接BF、AE，交于点P，且满足．连接CP，若AB＝4，BC＝6，则CP的最小值为（ ）
A．2﹣3 B．2﹣2 C．5 D．3
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）函数y＝自变量x的取值范围是 ．
12．（5分）因式分解：﹣3b2+12a2＝ ．
13．（5分）如图，劣弧与的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB＝60°，求∠CAB的度数 ．
14．（5分）将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE、EG、FG为折痕，若顶点A、C、D都落在点O处，且点B、O、G在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．
（1）的值为 ．
（2）若AD＝4，则四边形BEGF的面积为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解不等式：．
16．（8分）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余1辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）观察下列各个等式：
第1个等式：÷﹣0＝1；
第2个等式：÷﹣1＝；
第3个等式：÷﹣2＝；
…
请用上述等式反映出的规律解决下列问题：
（1）直接写出第5个等式；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的代数式表示），并证明你的猜想．
18．（8分）如图，在12×12的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知点A，B，C，D均为网格线的交点．
（1）在网格中将△ABC绕点D顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A1B1C1（点A，B，C的对应点分别为点A1，B1，C1）；
（2）在网格中画出△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比为2：1（点E，F为格点）；
（3）若M是线段AB上的一个动点（可以与两端点重合），△A1DM的面积为S，则S的取值范围是 ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了桑梯，已知如图2所示，AB＝AC，BC＝1米，AD＝1.2米，∠CAB＝40°，求点D到BC所在直线的距离．
（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
20．（10分）如图，已知一次函数y1＝kx﹣1的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C，D，CA＝AB＝BD，连接OC，OD，原点O在线段CD的垂直平分线上．
（1）求k与m的值；
（2）如果函数y3＝nx的图象经过点C，请直接写出当y1＜y2＜y3时x的取值范围．
六、（本题满分12分）
21．（12分）国际数学奥林匹克竞赛（IMO）是匈牙利数学界为纪念数理学家厄特沃什•罗兰于1894年组织的数学竞赛，是目前最高等次的国际数学竞赛．下面是甲、乙两校参赛队员在某次预选赛中成绩情况（试卷总分为42分）：
甲校：28，30，22，27，39，23，35，35，37，28，35，35，24，34，38
乙校：36，33，39，30，33，32，26，34，23，30，28，29，24，30，30
（1）整理数据：
组别
A．18≤x＜24
B.24≤x＜30
C.30≤x＜36
D.36≤x＜42
甲校
2
a
6
b
乙校
1
c
8
2
填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）甲校15名学生成绩的中位数落在 组内；（填“A”“B”“C”或“D”）
（3）经统计，本次预选赛分数在D组的进入下一轮，现从进入下一轮同学中任选两人成绩进行分析，则同时选中乙校同学的概率是多少？
七、（本题满分12分）
22．（12分）2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系如下表：
第x天
1
2
3
4
5
销售价格p（元/只）
2
3
4
5
6
销量q（只）
70
75
80
85
90
物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量q（只）与第x天的关系为q＝﹣2x2+80x﹣200 （6≤x≤30，且x为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．
（1）直接写出该药店该月前5天的销售价格p与x和销量q与x之间的函数关系式；
（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W（元）与x的函数关系式，并判断第几天的利润最大；
（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则m的取值范围为 ．
八、（本题满分14分）
23．（14分）矩形ABCD中，E为AB边上任一点，AG⊥DE，交BC于点H，BG交AD于点F．
（1）如图1，若AD＝AB，求证：
①AH＝DE；
②BG•AF＝AE•GF；
（2）如图2，若，且E为AB中点时求tan∠AGF的值．
2021年安徽省十校联盟中考数学二模试卷（B卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1．（4分）﹣的绝对值是（ ）
A． B．﹣3 C．3 D．
【分析】根据绝对值的定义求解．
【解答】解：因为|﹣|＝
故选：A．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．m+2m＝3m2 B．2m3•3m2＝6m6
C．（2m）3＝8m3 D．m6÷m2＝m3
【分析】利用合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方、积的乘方进行计算即可．
【解答】解：m+2m＝3m，因此选项A不符合题意；
2m3•3m2＝6m5，因此选项B不符合题意；
（2m）3＝23•m3＝8m3，因此选项C符合题意；
m6÷m2＝m6﹣2＝m4，因此选项D不符合题意；
故选：C．
3．（4分）一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依题意，该几何体的主视图为矩形，俯视图为三角形，易判断该几何体是一个三棱柱．
【解答】解：由该几何体的主视图和俯视图知，该几何体是三棱柱，
故选：C．
4．（4分）安徽省统计局数据显示，2021年一季度安徽省生产总值9529.1亿元，同比增长18.7%．其中第二产业增速最快，一季度第二产业增加值3714.3亿元，同比增长22.9%．将数据“9529.1亿”用科学记数法表示（ ）
A．0.95291×1013 B．9.5291×1012
C．9.5291×1011 D．9.5291×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：9529.1亿＝9.5291×1011．
故选：C．
5．（4分）估计（2+3）×的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【分析】先根据二次根式的运算法则进行计算，再估算无理数的大小．
【解答】解：原式＝2+，
∵，
∴，
故选：A．
6．（4分）关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【分析】先计算判别式，再进行配方得到△＝（k﹣1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．
【解答】解：△＝（k﹣3）2﹣4（1﹣k）
＝k2﹣6k+9﹣4+4k
＝k2﹣2k+5
＝（k﹣1）2+4，
∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
故选：A．
7．（4分）某班级开展“好书伴成长”读书活动，统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的数量，绘制了折线统计图，下列说法正确的是（ ）
A．每月阅读课外书本数的众数是45
B．每月阅读课外书本数的中位数是58
C．从2到6月份阅读课外书的本数逐月下降
D．从1到7月份每月阅读课外书本数的最大值比最小值多45
【分析】从折线图中获取信息，通过折线图和中位数、众数的定义及极差等知识求解．
【解答】解：因为58出现了两次，其他数据都出现了一次，所以每月阅读课外书本数的众数是58，故选项A错误；
每月阅读课外书本数从小到大的顺序为：28、33、45、58、58、72、78，最中间的数字为58，所以该组数据的中位数为58，故选项B正确；
从折线图可以看出，从2月到4月阅读课外书的本数下降，4月到5月阅读课外书的本数上升，故选项C错误；
从1到7月份每月阅读课外书本数的最大值78比最小值多28多50，故选项D错误．
故选：B．
8．（4分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA＝，则AD的长是（ ）
A． B．2 C．1 D．2
【分析】作DE⊥AB，构造直角三角形，根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长．
【解答】解：作DE⊥AB于E点．
∵tan∠DBA＝＝，
∴BE＝5DE，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠A＝45°，
∴AE＝DE．
∴BE＝5AE，
又∵AC＝6，
∴AB＝6．
∴AE+BE＝5AE+AE＝6，
∴AE＝，
∴在等腰直角△ADE中，由勾股定理，得AD＝AE＝2．
故选：B．
9．（4分）疫情期间居民为了减少外出时间，更愿意使用APP在线上购物，某购物APP今年二月份用户比一月份增加了44%，三月份用户比二月份增加了21%，则二、三两个月用户的平均每月增长率是（ ）
A．28% B．30% C．32% D．32.5%
【分析】要求二、三两个月用户的平均每月增长率如何，就要先设出一个未知数，表示出二月份和三月份的用户数，然后比较计算．
【解答】解：设一月份用户数为1，则二月份用户数＝1×（1+44%）＝1.44，三月份就是1.44×（1+21%）＝1.7424．
设二、三两月用户的平均每月的平均增长率是x，则
（1+x）2＝1.7424，
解得：x1＝32%或x2＝﹣2.32（不合题意，舍去）．
故二、三两个月用户的平均每月增长率是32%．
故选：C．
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，E、F分别在BC、CD上运动（不与端点重合），连接BF、AE，交于点P，且满足．连接CP，若AB＝4，BC＝6，则CP的最小值为（ ）
A．2﹣3 B．2﹣2 C．5 D．3
【分析】本题首先根据，转化成对应边成比例，从而判定两个直角三角形相似，得到∠APB＝90°；再通过直角所对的边可为直径，构建隐圆，从而得到点P的运动轨迹；观察可发现，借助两点之间线段最短，可知，线段OC的长度最短，从而得出当点O、P、C三点共线时，OC的值为最小值，即CP的值也为最小值．进而借助勾股定理，求出CP的长度．
【解答】解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，
则∠BAE+∠BEP＝90°，
又∵，
∴
∴△ABE∽△BCF，
∴∠BAE＝∠CBF，
∴∠CBF+∠BEP＝90°，即AE⊥BF，
∴点P为以AB的中点O为圆心，AB为直径的圆上一点，
则当点O、P、C三点共线时，OC的值为最小值，即CP的值也为最小值．
∴当CP取最小值时，CP＝OC﹣OP，
∵AB＝4，BC＝6，∠ABC＝90°，
∴OB＝OP＝AB＝×4＝2，则OC＝＝＝，
∴CP＝OC﹣OP＝﹣2．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）函数y＝自变量x的取值范围是 x＞2021 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，x﹣2021＞0，
解得，x＞2021．
故答案为：x＞2021．
12．（5分）因式分解：﹣3b2+12a2＝ ﹣3（b+2a）（b﹣2a） ．
【分析】直接提取公因式﹣3，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：﹣3b2+12a2＝﹣3（b2﹣4a2）
＝﹣3（b+2a）（b﹣2a）．
故答案为：﹣3（b+2a）（b﹣2a）．
13．（5分）如图，劣弧与的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB＝60°，求∠CAB的度数 35° ．
【分析】根据圆周角定理，可得：∠A﹣∠C＝10°；根据三角形外角的性质，可得∠CEB＝∠A+∠C＝60°；联立两式可求得∠A的度数．
【解答】解：由题意，弧BC与弧AD的度数之差为20°，
∴两弧所对圆心角相差20°，
∴2∠A﹣2∠C＝20°，
∴∠A﹣∠C＝10°…①；
∵∠CEB是△AEC的外角，
∴∠A+∠C＝∠CEB＝60°…②；
①+②，得：2∠A＝70°，即∠A＝35°．
故答案为：35°．
14．（5分）将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE、EG、FG为折痕，若顶点A、C、D都落在点O处，且点B、O、G在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．
（1）的值为 ．
（2）若AD＝4，则四边形BEGF的面积为 9 ．
【分析】（1）由折叠的性质得到E，G分别为AD，CD的中点，设CD＝2a，AD＝2b，则AB＝OB＝2a，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝2b，在Rt△BCG中，由勾股定理求出b＝a，由折叠的性质证得△ABE∽△EBG，根据相似的性质可得；
（2）由（1）和AD的值求出a，b，由△BOF∽△BCG相似的性质求出OF，根据S四边形EBFG＝S△BEG+S△BFG即可求解．
【解答】解：（1）由折叠可得，AE＝OE＝DE，CG＝OG＝DG，
∴E，G分别为AD，CD的中点，
设CD＝2a，AD＝2b，则AB＝OB＝2a，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝2b，
∵∠C＝90°，
在Rt△BCG中，CG2+BC2＝BG2，
∴a2+（2b）2＝（3a）2，
∴b＝a，
∴＝＝＝，
由折叠可得：∠ABE＝∠EBG，∠AEB＝∠BEO，∠DEG＝∠GEO，
∵∠AEB＝∠BEO+∠DEG＝∠GEO＝180°，
∴∠BEG＝90°，
∵∠A＝∠BEG＝90°，∠ABE＝∠EBG，
∴△ABE∽△EBG，
∴＝＝，
故答案为：；
（2）∵AD＝BC＝2b＝4，
∴b＝2，a＝2，
∴AB＝OB＝4，CG＝2，AE＝OE＝2，
∴BG＝6，
∵∠OBF＝∠CBG，由折叠可得∠BOF＝∠BCG＝90°，
∴△BOF∽△BCG，
∴＝，
即＝，
∴OF＝，
∴S四边形EBFG＝S△BEG+S△BFG＝×6×2+×6×＝9．
故答案为：9．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解不等式：．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：去分母，得：2x﹣1＜12x+14，
移项，得：2x﹣12x＜14+1，
合并同类项，得：﹣10x＜15，
系数化为1，得：x＞﹣．
16．（8分）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余1辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
【分析】设共有x人，y辆车，根据“每3人共乘一车，最终剩余1辆车：每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设共有x人，y辆车，
依题意得：，
解得：．
答：共有33人，12辆车．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）观察下列各个等式：
第1个等式：÷﹣0＝1；
第2个等式：÷﹣1＝；
第3个等式：÷﹣2＝；
…
请用上述等式反映出的规律解决下列问题：
（1）直接写出第5个等式；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的代数式表示），并证明你的猜想．
【分析】（1）观察等式中的4个数中的数字与等式的序号的关系的变化规律为：第一个数的分子是序号数字的平方加1，分母是序号数字加1的平方，第二个数的分子是1，分母为序号数字加1，第三个数是序号数字减1，第四个数的分子为2，分母是序号数字加1，以此规律第5等式可得；
（2）利用（1）中的规律，第n等式可得，用分式的运算法则计算等式的左边，结论可得．
【解答】解：（1）观察等式中的4个数中的数字与等式的序号的关系发现规律如下：
第一个数的分子是序号数字的平方加1，分母是序号数字加1的平方，第二个数的分子是1，分母为序号数字加1，第三个数是序号数字减1，第四个数的分子为2，分母是序号数字加1．
∴第5个等式：．
即：．
（2）依据（1）得出的规律可得：
．
证明：∵左边＝＝＝＝右边，
∴等式成立．
18．（8分）如图，在12×12的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知点A，B，C，D均为网格线的交点．
（1）在网格中将△ABC绕点D顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A1B1C1（点A，B，C的对应点分别为点A1，B1，C1）；
（2）在网格中画出△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比为2：1（点E，F为格点）；
（3）若M是线段AB上的一个动点（可以与两端点重合），△A1DM的面积为S，则S的取值范围是 4≤S≤8 ．
【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）把△ABC的边长扩大2倍，作出△DEF即可．
（3）求出△A1DM的最大值以及最小值，可得结论．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△DEF即为所求；
（3）若M是线段AB上的一个动点（可以与两端点重合），△A1DM的面积为S，
∵S的最大值＝×4×4＝8，最小值＝×4×2＝4，则S的取值范围4≤S≤8，
故答案为：4≤S≤8．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了桑梯，已知如图2所示，AB＝AC，BC＝1米，AD＝1.2米，∠CAB＝40°，求点D到BC所在直线的距离．
（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【分析】过A作AE⊥BC于E，根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠C，求得∠ABC＝∠C＝70°，得到CE＝BC＝（米），在Rt△AEC中，根据三角函数的定义得到CD＝2.67（米），过D作DF⊥BC于F，在Rt△CDF中，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：过A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠DAB＝∠ABC+∠C＝140°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵AE⊥BC，
∴CE＝BC＝（米），
在Rt△AEC中，cos∠C＝cos70°＝＝＝0.34，
∴AC＝≈1.47（米），
∵AD＝1.2米，
∴CD＝2.67（米），
过D作DF⊥BC于F，
在Rt△CDF中，DF＝CD•sin70°＝2.67×0.94＝2.5098（米），
答：点D到BC所在直线的距离为2.5098米．
20．（10分）如图，已知一次函数y1＝kx﹣1的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C，D，CA＝AB＝BD，连接OC，OD，原点O在线段CD的垂直平分线上．
（1）求k与m的值；
（2）如果函数y3＝nx的图象经过点C，请直接写出当y1＜y2＜y3时x的取值范围．
【分析】（1）作OM⊥CD于M，根据线段垂直平分线的性质得出CM＝DM，进而得出AM＝BM，从而得出OB＝OA＝1，则A（1，0），通过证得三角形相似求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得k、m的值；
（2）求得D的坐标，根据正比例函数和反比例函数的中心对称性求得函数y3＝nx的图象与反比例函数的图象的另一个交点，然后根据图象即可求得当y1＜y2＜y3时x的取值范围．
【解答】解：（1）作OM⊥CD于M，
∵点O在线段CD的垂直平分线上，
∴CM＝DM，
∵CA＝BD，
∴AM＝BM，
∴OB＝OA，
∵一次函数y1＝kx﹣1的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，
∴B（0，﹣1），
∴OA＝OB＝1，
∴A（1，0），
代入y＝kx﹣1得，0＝k﹣1，
∴k＝1，
∴一次函数为y1＝x﹣1，
∵OA＝OB＝1，
∴△AOB＝＝，
∵AB＝AC，
∴S△AOC＝S△AOB＝，
作CH⊥x轴于H，
∴CH∥y轴，
∴△CAH∽△BAO，
∴＝（）2＝1，
∴S△CAH＝S△AOB＝，
∴S△COH＝|m|＝1，
∵m＞0，
∴m＝2；
（2）∵△CAH∽△BAO，
∴＝1，
∴AH＝OA＝1，CH＝OB＝1，
∴C（2，1），
作DG⊥x轴于G，
∵AB＝BD，
∴DG＝2OB＝2，OG＝OA＝1，
∴D（﹣1，﹣2），
∵函数y3＝nx的图象经过点C，
∴函数y3＝nx的图象与反比例函数图象的另一个交点为（﹣2，﹣1），
由图象可知，当y1＜y2＜y3时x的取值范围是﹣2＜x＜﹣1．
六、（本题满分12分）
21．（12分）国际数学奥林匹克竞赛（IMO）是匈牙利数学界为纪念数理学家厄特沃什•罗兰于1894年组织的数学竞赛，是目前最高等次的国际数学竞赛．下面是甲、乙两校参赛队员在某次预选赛中成绩情况（试卷总分为42分）：
甲校：28，30，22，27，39，23，35，35，37，28，35，35，24，34，38
乙校：36，33，39，30，33，32，26，34，23，30，28，29，24，30，30
（1）整理数据：
组别
A．18≤x＜24
B.24≤x＜30
C.30≤x＜36
D.36≤x＜42
甲校
2
a
6
b
乙校
1
c
8
2
填空：a＝ 4 ，b＝ 3 ，c＝ 4 ；
（2）甲校15名学生成绩的中位数落在 C 组内；（填“A”“B”“C”或“D”）
（3）经统计，本次预选赛分数在D组的进入下一轮，现从进入下一轮同学中任选两人成绩进行分析，则同时选中乙校同学的概率是多少？
【分析】（1）由题中数据即可得出答案；
（2）由中位数定义即可得出结论；
（3）画树状图，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：a＝4，b＝3，c＝4，
故答案为：4，3，4；
（2）甲校15名学生成绩的中位数为第8个数据，落在C组内，
故答案为：C；
（3）D组甲校共有3人，记为A、B、C；乙校共有2人，记为D、E，
画树状图如图：
共有20个等可能的结果，同时选中乙校同学的结果有2个，
∴同时选中乙校同学的概率为＝．
七、（本题满分12分）
22．（12分）2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系如下表：
第x天
1
2
3
4
5
销售价格p（元/只）
2
3
4
5
6
销量q（只）
70
75
80
85
90
物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量q（只）与第x天的关系为q＝﹣2x2+80x﹣200 （6≤x≤30，且x为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．
（1）直接写出该药店该月前5天的销售价格p与x和销量q与x之间的函数关系式；
（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W（元）与x的函数关系式，并判断第几天的利润最大；
（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则m的取值范围为 m≥ ．
【分析】（1）根据表格数据可得前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系；
（2）当1≤x≤5且x为整数时，W＝（x+1﹣0.5）（5x+65）＝5x2+x+；当6≤x≤30且x为整数时，W＝（1﹣0.5）（﹣2x2+80x﹣200）＝﹣x2+40x﹣100．再根据二次函数的性质即可求出第5天时利润最大为495元；
（3）根据题意可得，获得的正常利润之外的非法所得部分为：（2﹣0.5﹣0.5）×70+（3﹣1）×75+（4﹣1）×80+（5﹣1）×85+（6﹣1）×90＝1250（元），再根据罚款金额不低于2000元，即可求出m的取值范围．
【解答】解：（1）根据表格数据可知：
前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系为：
p＝x+1，1≤x≤5且x为整数；
q＝5x+65，1≤x≤5且x为整数；
（2）当1≤x≤5且x为整数时，
W＝（x+1﹣0.5）（5x+65）
＝5x2+x+；
当6≤x≤30且x为整数时，
W＝（1﹣0.5）（﹣2x2+80x﹣200）
＝﹣x2+40x﹣100．
即有W＝，
当1≤x≤5且x为整数时，售价，销量均随x的增大而增大，
故当x＝5时，W有最大值为：495元；
当6≤x≤30且x为整数时，
W═﹣x2+40x﹣100＝﹣（x﹣20）2+300，
故当x＝20时，W有最大值为：300元；
由495＞300，可知：
第5天时利润最大为495元．
（3）根据题意可知：
获得的正常利润之外的非法所得部分为：
（2﹣1）×70+（3﹣1）×75+（4﹣1）×80+（5﹣1）×85+（6﹣1）×90＝1250（元），
∴1250m≥2000，
解得m≥．
则m的取值范围为m≥．
故答案为：m≥．
八、（本题满分14分）
23．（14分）矩形ABCD中，E为AB边上任一点，AG⊥DE，交BC于点H，BG交AD于点F．
（1）如图1，若AD＝AB，求证：
①AH＝DE；
②BG•AF＝AE•GF；
（2）如图2，若，且E为AB中点时求tan∠AGF的值．
【分析】（1）①根据矩形的性质可得∠DAE＝∠HBA＝90°，根据同角的余角相等得∠ADE＝∠BAH，利用ASA可得△ADE≌∠BAH（ASA），即可得出结论；
②根据矩形的性质可得BC∥AD，可得出△BGH∽△FGA，根据相似三角形的性质得，由①得△ADE≌∠BAH，根据全等三角形的性质可得BH＝AE，等量代换即可得出结论；
（2）延长DE，过B点作BM⊥DE，垂足为M，则BM∥AG，根据平行线的性质得∠MBG＝∠AGF，由E为AB中点，根据平行线分线段成比例定理得，可得出EM＝EG＝MG，可证出△BEM∽△DEA，根据相似三角形的性质得，由已知，且E为AB中点得出AE＝AB＝AD，，即tan∠MBG＝，即可得出tan∠AGF的值．
【解答】（1）证明：①∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DAE＝∠HBA＝90°，
∴∠BAH+∠DAH＝90°，
∵AG⊥DE，
∴∠DAH+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠BAH，
∵AD＝AB，
∴△ADE≌∠BAH（ASA），
∴AH＝DE；
②∵四边形ABCD为矩形，
∴BC∥AD，
∴△BGH∽△FGA，
∴，
∴BG•AF＝BH•GF，
由①得△ADE≌∠BAH，
∴BH＝AE，
∴BG•AF＝AE•GF；
（2）解：如图，延长DE，过B点作BM⊥DE，垂足为M，
∵AG⊥DE，
∴BM∥AG，
∴∠MBG＝∠AGF，
∵E为AB中点，BM∥AG，
∴，
∴EM＝EG＝MG，
∵∠BEM＝∠DEA，∠BME＝∠DAE＝90°，
∴△BEM∽△DEA，
∴，
∵，且E为AB中点，
∴AE＝AB＝AD，
∴，
∴tan∠MBG＝，
∵∠MBG＝∠AGF，
∴tan∠AGF＝．
2021年安徽省十校联盟中考数学二模试卷（B卷）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1．（4分）﹣的绝对值是（ ）
A． B．﹣3 C．3 D．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．m+2m＝3m2 B．2m3•3m2＝6m6
C．（2m）3＝8m3 D．m6÷m2＝m3
3．（4分）一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）安徽省统计局数据显示，2021年一季度安徽省生产总值9529.1亿元，同比增长18.7%．其中第二产业增速最快，一季度第二产业增加值3714.3亿元，同比增长22.9%．将数据“9529.1亿”用科学记数法表示（ ）
A．0.95291×1013 B．9.5291×1012
C．9.5291×1011 D．9.5291×1010
5．（4分）估计（2+3）×的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
6．（4分）关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
7．（4分）某班级开展“好书伴成长”读书活动，统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的数量，绘制了折线统计图，下列说法正确的是（ ）
A．每月阅读课外书本数的众数是45
B．每月阅读课外书本数的中位数是58
C．从2到6月份阅读课外书的本数逐月下降
D．从1到7月份每月阅读课外书本数的最大值比最小值多45
8．（4分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA＝，则AD的长是（ ）
A． B．2 C．1 D．2
9．（4分）疫情期间居民为了减少外出时间，更愿意使用APP在线上购物，某购物APP今年二月份用户比一月份增加了44%，三月份用户比二月份增加了21%，则二、三两个月用户的平均每月增长率是（ ）
A．28% B．30% C．32% D．32.5%
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，E、F分别在BC、CD上运动（不与端点重合），连接BF、AE，交于点P，且满足．连接CP，若AB＝4，BC＝6，则CP的最小值为（ ）
A．2﹣3 B．2﹣2 C．5 D．3
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）函数y＝自变量x的取值范围是 ．
12．（5分）因式分解：﹣3b2+12a2＝ ．
13．（5分）如图，劣弧与的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB＝60°，求∠CAB的度数 ．
14．（5分）将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE、EG、FG为折痕，若顶点A、C、D都落在点O处，且点B、O、G在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．
（1）的值为 ．
（2）若AD＝4，则四边形BEGF的面积为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解不等式：．
16．（8分）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余1辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）观察下列各个等式：
第1个等式：÷﹣0＝1；
第2个等式：÷﹣1＝；
第3个等式：÷﹣2＝；
…
请用上述等式反映出的规律解决下列问题：
（1）直接写出第5个等式；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的代数式表示），并证明你的猜想．
18．（8分）如图，在12×12的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知点A，B，C，D均为网格线的交点．
（1）在网格中将△ABC绕点D顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A1B1C1（点A，B，C的对应点分别为点A1，B1，C1）；
（2）在网格中画出△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比为2：1（点E，F为格点）；
（3）若M是线段AB上的一个动点（可以与两端点重合），△A1DM的面积为S，则S的取值范围是 ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了桑梯，已知如图2所示，AB＝AC，BC＝1米，AD＝1.2米，∠CAB＝40°，求点D到BC所在直线的距离．
（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
20．（10分）如图，已知一次函数y1＝kx﹣1的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C，D，CA＝AB＝BD，连接OC，OD，原点O在线段CD的垂直平分线上．
（1）求k与m的值；
（2）如果函数y3＝nx的图象经过点C，请直接写出当y1＜y2＜y3时x的取值范围．
六、（本题满分12分）
21．（12分）国际数学奥林匹克竞赛（IMO）是匈牙利数学界为纪念数理学家厄特沃什•罗兰于1894年组织的数学竞赛，是目前最高等次的国际数学竞赛．下面是甲、乙两校参赛队员在某次预选赛中成绩情况（试卷总分为42分）：
甲校：28，30，22，27，39，23，35，35，37，28，35，35，24，34，38
乙校：36，33，39，30，33，32，26，34，23，30，28，29，24，30，30
（1）整理数据：
组别
A．18≤x＜24
B.24≤x＜30
C.30≤x＜36
D.36≤x＜42
甲校
2
a
6
b
乙校
1
c
8
2
填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）甲校15名学生成绩的中位数落在 组内；（填“A”“B”“C”或“D”）
（3）经统计，本次预选赛分数在D组的进入下一轮，现从进入下一轮同学中任选两人成绩进行分析，则同时选中乙校同学的概率是多少？
七、（本题满分12分）
22．（12分）2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系如下表：
第x天
1
2
3
4
5
销售价格p（元/只）
2
3
4
5
6
销量q（只）
70
75
80
85
90
物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量q（只）与第x天的关系为q＝﹣2x2+80x﹣200 （6≤x≤30，且x为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．
（1）直接写出该药店该月前5天的销售价格p与x和销量q与x之间的函数关系式；
（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W（元）与x的函数关系式，并判断第几天的利润最大；
（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则m的取值范围为 ．
八、（本题满分14分）
23．（14分）矩形ABCD中，E为AB边上任一点，AG⊥DE，交BC于点H，BG交AD于点F．
（1）如图1，若AD＝AB，求证：
①AH＝DE；
②BG•AF＝AE•GF；
（2）如图2，若，且E为AB中点时求tan∠AGF的值．
2021年安徽省十校联盟中考数学二模试卷（B卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1．（4分）﹣的绝对值是（ ）
A． B．﹣3 C．3 D．
【分析】根据绝对值的定义求解．
【解答】解：因为|﹣|＝
故选：A．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．m+2m＝3m2 B．2m3•3m2＝6m6
C．（2m）3＝8m3 D．m6÷m2＝m3
【分析】利用合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方、积的乘方进行计算即可．
【解答】解：m+2m＝3m，因此选项A不符合题意；
2m3•3m2＝6m5，因此选项B不符合题意；
（2m）3＝23•m3＝8m3，因此选项C符合题意；
m6÷m2＝m6﹣2＝m4，因此选项D不符合题意；
故选：C．
3．（4分）一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依题意，该几何体的主视图为矩形，俯视图为三角形，易判断该几何体是一个三棱柱．
【解答】解：由该几何体的主视图和俯视图知，该几何体是三棱柱，
故选：C．
4．（4分）安徽省统计局数据显示，2021年一季度安徽省生产总值9529.1亿元，同比增长18.7%．其中第二产业增速最快，一季度第二产业增加值3714.3亿元，同比增长22.9%．将数据“9529.1亿”用科学记数法表示（ ）
A．0.95291×1013 B．9.5291×1012
C．9.5291×1011 D．9.5291×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：9529.1亿＝9.5291×1011．
故选：C．
5．（4分）估计（2+3）×的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【分析】先根据二次根式的运算法则进行计算，再估算无理数的大小．
【解答】解：原式＝2+，
∵，
∴，
故选：A．
6．（4分）关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【分析】先计算判别式，再进行配方得到△＝（k﹣1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．
【解答】解：△＝（k﹣3）2﹣4（1﹣k）
＝k2﹣6k+9﹣4+4k
＝k2﹣2k+5
＝（k﹣1）2+4，
∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
故选：A．
7．（4分）某班级开展“好书伴成长”读书活动，统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的数量，绘制了折线统计图，下列说法正确的是（ ）
A．每月阅读课外书本数的众数是45
B．每月阅读课外书本数的中位数是58
C．从2到6月份阅读课外书的本数逐月下降
D．从1到7月份每月阅读课外书本数的最大值比最小值多45
【分析】从折线图中获取信息，通过折线图和中位数、众数的定义及极差等知识求解．
【解答】解：因为58出现了两次，其他数据都出现了一次，所以每月阅读课外书本数的众数是58，故选项A错误；
每月阅读课外书本数从小到大的顺序为：28、33、45、58、58、72、78，最中间的数字为58，所以该组数据的中位数为58，故选项B正确；
从折线图可以看出，从2月到4月阅读课外书的本数下降，4月到5月阅读课外书的本数上升，故选项C错误；
从1到7月份每月阅读课外书本数的最大值78比最小值多28多50，故选项D错误．
故选：B．
8．（4分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA＝，则AD的长是（ ）
A． B．2 C．1 D．2
【分析】作DE⊥AB，构造直角三角形，根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长．
【解答】解：作DE⊥AB于E点．
∵tan∠DBA＝＝，
∴BE＝5DE，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠A＝45°，
∴AE＝DE．
∴BE＝5AE，
又∵AC＝6，
∴AB＝6．
∴AE+BE＝5AE+AE＝6，
∴AE＝，
∴在等腰直角△ADE中，由勾股定理，得AD＝AE＝2．
故选：B．
9．（4分）疫情期间居民为了减少外出时间，更愿意使用APP在线上购物，某购物APP今年二月份用户比一月份增加了44%，三月份用户比二月份增加了21%，则二、三两个月用户的平均每月增长率是（ ）
A．28% B．30% C．32% D．32.5%
【分析】要求二、三两个月用户的平均每月增长率如何，就要先设出一个未知数，表示出二月份和三月份的用户数，然后比较计算．
【解答】解：设一月份用户数为1，则二月份用户数＝1×（1+44%）＝1.44，三月份就是1.44×（1+21%）＝1.7424．
设二、三两月用户的平均每月的平均增长率是x，则
（1+x）2＝1.7424，
解得：x1＝32%或x2＝﹣2.32（不合题意，舍去）．
故二、三两个月用户的平均每月增长率是32%．
故选：C．
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，E、F分别在BC、CD上运动（不与端点重合），连接BF、AE，交于点P，且满足．连接CP，若AB＝4，BC＝6，则CP的最小值为（ ）
A．2﹣3 B．2﹣2 C．5 D．3
【分析】本题首先根据，转化成对应边成比例，从而判定两个直角三角形相似，得到∠APB＝90°；再通过直角所对的边可为直径，构建隐圆，从而得到点P的运动轨迹；观察可发现，借助两点之间线段最短，可知，线段OC的长度最短，从而得出当点O、P、C三点共线时，OC的值为最小值，即CP的值也为最小值．进而借助勾股定理，求出CP的长度．
【解答】解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，
则∠BAE+∠BEP＝90°，
又∵，
∴
∴△ABE∽△BCF，
∴∠BAE＝∠CBF，
∴∠CBF+∠BEP＝90°，即AE⊥BF，
∴点P为以AB的中点O为圆心，AB为直径的圆上一点，
则当点O、P、C三点共线时，OC的值为最小值，即CP的值也为最小值．
∴当CP取最小值时，CP＝OC﹣OP，
∵AB＝4，BC＝6，∠ABC＝90°，
∴OB＝OP＝AB＝×4＝2，则OC＝＝＝，
∴CP＝OC﹣OP＝﹣2．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）函数y＝自变量x的取值范围是 x＞2021 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，x﹣2021＞0，
解得，x＞2021．
故答案为：x＞2021．
12．（5分）因式分解：﹣3b2+12a2＝ ﹣3（b+2a）（b﹣2a） ．
【分析】直接提取公因式﹣3，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：﹣3b2+12a2＝﹣3（b2﹣4a2）
＝﹣3（b+2a）（b﹣2a）．
故答案为：﹣3（b+2a）（b﹣2a）．
13．（5分）如图，劣弧与的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB＝60°，求∠CAB的度数 35° ．
【分析】根据圆周角定理，可得：∠A﹣∠C＝10°；根据三角形外角的性质，可得∠CEB＝∠A+∠C＝60°；联立两式可求得∠A的度数．
【解答】解：由题意，弧BC与弧AD的度数之差为20°，
∴两弧所对圆心角相差20°，
∴2∠A﹣2∠C＝20°，
∴∠A﹣∠C＝10°…①；
∵∠CEB是△AEC的外角，
∴∠A+∠C＝∠CEB＝60°…②；
①+②，得：2∠A＝70°，即∠A＝35°．
故答案为：35°．
14．（5分）将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE、EG、FG为折痕，若顶点A、C、D都落在点O处，且点B、O、G在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．
（1）的值为 ．
（2）若AD＝4，则四边形BEGF的面积为 9 ．
【分析】（1）由折叠的性质得到E，G分别为AD，CD的中点，设CD＝2a，AD＝2b，则AB＝OB＝2a，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝2b，在Rt△BCG中，由勾股定理求出b＝a，由折叠的性质证得△ABE∽△EBG，根据相似的性质可得；
（2）由（1）和AD的值求出a，b，由△BOF∽△BCG相似的性质求出OF，根据S四边形EBFG＝S△BEG+S△BFG即可求解．
【解答】解：（1）由折叠可得，AE＝OE＝DE，CG＝OG＝DG，
∴E，G分别为AD，CD的中点，
设CD＝2a，AD＝2b，则AB＝OB＝2a，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝2b，
∵∠C＝90°，
在Rt△BCG中，CG2+BC2＝BG2，
∴a2+（2b）2＝（3a）2，
∴b＝a，
∴＝＝＝，
由折叠可得：∠ABE＝∠EBG，∠AEB＝∠BEO，∠DEG＝∠GEO，
∵∠AEB＝∠BEO+∠DEG＝∠GEO＝180°，
∴∠BEG＝90°，
∵∠A＝∠BEG＝90°，∠ABE＝∠EBG，
∴△ABE∽△EBG，
∴＝＝，
故答案为：；
（2）∵AD＝BC＝2b＝4，
∴b＝2，a＝2，
∴AB＝OB＝4，CG＝2，AE＝OE＝2，
∴BG＝6，
∵∠OBF＝∠CBG，由折叠可得∠BOF＝∠BCG＝90°，
∴△BOF∽△BCG，
∴＝，
即＝，
∴OF＝，
∴S四边形EBFG＝S△BEG+S△BFG＝×6×2+×6×＝9．
故答案为：9．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解不等式：．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：去分母，得：2x﹣1＜12x+14，
移项，得：2x﹣12x＜14+1，
合并同类项，得：﹣10x＜15，
系数化为1，得：x＞﹣．
16．（8分）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余1辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
【分析】设共有x人，y辆车，根据“每3人共乘一车，最终剩余1辆车：每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设共有x人，y辆车，
依题意得：，
解得：．
答：共有33人，12辆车．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）观察下列各个等式：
第1个等式：÷﹣0＝1；
第2个等式：÷﹣1＝；
第3个等式：÷﹣2＝；
…
请用上述等式反映出的规律解决下列问题：
（1）直接写出第5个等式；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的代数式表示），并证明你的猜想．
【分析】（1）观察等式中的4个数中的数字与等式的序号的关系的变化规律为：第一个数的分子是序号数字的平方加1，分母是序号数字加1的平方，第二个数的分子是1，分母为序号数字加1，第三个数是序号数字减1，第四个数的分子为2，分母是序号数字加1，以此规律第5等式可得；
（2）利用（1）中的规律，第n等式可得，用分式的运算法则计算等式的左边，结论可得．
【解答】解：（1）观察等式中的4个数中的数字与等式的序号的关系发现规律如下：
第一个数的分子是序号数字的平方加1，分母是序号数字加1的平方，第二个数的分子是1，分母为序号数字加1，第三个数是序号数字减1，第四个数的分子为2，分母是序号数字加1．
∴第5个等式：．
即：．
（2）依据（1）得出的规律可得：
．
证明：∵左边＝＝＝＝右边，
∴等式成立．
18．（8分）如图，在12×12的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知点A，B，C，D均为网格线的交点．
（1）在网格中将△ABC绕点D顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A1B1C1（点A，B，C的对应点分别为点A1，B1，C1）；
（2）在网格中画出△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比为2：1（点E，F为格点）；
（3）若M是线段AB上的一个动点（可以与两端点重合），△A1DM的面积为S，则S的取值范围是 4≤S≤8 ．
【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）把△ABC的边长扩大2倍，作出△DEF即可．
（3）求出△A1DM的最大值以及最小值，可得结论．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△DEF即为所求；
（3）若M是线段AB上的一个动点（可以与两端点重合），△A1DM的面积为S，
∵S的最大值＝×4×4＝8，最小值＝×4×2＝4，则S的取值范围4≤S≤8，
故答案为：4≤S≤8．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了桑梯，已知如图2所示，AB＝AC，BC＝1米，AD＝1.2米，∠CAB＝40°，求点D到BC所在直线的距离．
（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【分析】过A作AE⊥BC于E，根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠C，求得∠ABC＝∠C＝70°，得到CE＝BC＝（米），在Rt△AEC中，根据三角函数的定义得到CD＝2.67（米），过D作DF⊥BC于F，在Rt△CDF中，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：过A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠DAB＝∠ABC+∠C＝140°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵AE⊥BC，
∴CE＝BC＝（米），
在Rt△AEC中，cos∠C＝cos70°＝＝＝0.34，
∴AC＝≈1.47（米），
∵AD＝1.2米，
∴CD＝2.67（米），
过D作DF⊥BC于F，
在Rt△CDF中，DF＝CD•sin70°＝2.67×0.94＝2.5098（米），
答：点D到BC所在直线的距离为2.5098米．
20．（10分）如图，已知一次函数y1＝kx﹣1的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C，D，CA＝AB＝BD，连接OC，OD，原点O在线段CD的垂直平分线上．
（1）求k与m的值；
（2）如果函数y3＝nx的图象经过点C，请直接写出当y1＜y2＜y3时x的取值范围．
【分析】（1）作OM⊥CD于M，根据线段垂直平分线的性质得出CM＝DM，进而得出AM＝BM，从而得出OB＝OA＝1，则A（1，0），通过证得三角形相似求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得k、m的值；
（2）求得D的坐标，根据正比例函数和反比例函数的中心对称性求得函数y3＝nx的图象与反比例函数的图象的另一个交点，然后根据图象即可求得当y1＜y2＜y3时x的取值范围．
【解答】解：（1）作OM⊥CD于M，
∵点O在线段CD的垂直平分线上，
∴CM＝DM，
∵CA＝BD，
∴AM＝BM，
∴OB＝OA，
∵一次函数y1＝kx﹣1的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，
∴B（0，﹣1），
∴OA＝OB＝1，
∴A（1，0），
代入y＝kx﹣1得，0＝k﹣1，
∴k＝1，
∴一次函数为y1＝x﹣1，
∵OA＝OB＝1，
∴△AOB＝＝，
∵AB＝AC，
∴S△AOC＝S△AOB＝，
作CH⊥x轴于H，
∴CH∥y轴，
∴△CAH∽△BAO，
∴＝（）2＝1，
∴S△CAH＝S△AOB＝，
∴S△COH＝|m|＝1，
∵m＞0，
∴m＝2；
（2）∵△CAH∽△BAO，
∴＝1，
∴AH＝OA＝1，CH＝OB＝1，
∴C（2，1），
作DG⊥x轴于G，
∵AB＝BD，
∴DG＝2OB＝2，OG＝OA＝1，
∴D（﹣1，﹣2），
∵函数y3＝nx的图象经过点C，
∴函数y3＝nx的图象与反比例函数图象的另一个交点为（﹣2，﹣1），
由图象可知，当y1＜y2＜y3时x的取值范围是﹣2＜x＜﹣1．
六、（本题满分12分）
21．（12分）国际数学奥林匹克竞赛（IMO）是匈牙利数学界为纪念数理学家厄特沃什•罗兰于1894年组织的数学竞赛，是目前最高等次的国际数学竞赛．下面是甲、乙两校参赛队员在某次预选赛中成绩情况（试卷总分为42分）：
甲校：28，30，22，27，39，23，35，35，37，28，35，35，24，34，38
乙校：36，33，39，30，33，32，26，34，23，30，28，29，24，30，30
（1）整理数据：
组别
A．18≤x＜24
B.24≤x＜30
C.30≤x＜36
D.36≤x＜42
甲校
2
a
6
b
乙校
1
c
8
2
填空：a＝ 4 ，b＝ 3 ，c＝ 4 ；
（2）甲校15名学生成绩的中位数落在 C 组内；（填“A”“B”“C”或“D”）
（3）经统计，本次预选赛分数在D组的进入下一轮，现从进入下一轮同学中任选两人成绩进行分析，则同时选中乙校同学的概率是多少？
【分析】（1）由题中数据即可得出答案；
（2）由中位数定义即可得出结论；
（3）画树状图，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：a＝4，b＝3，c＝4，
故答案为：4，3，4；
（2）甲校15名学生成绩的中位数为第8个数据，落在C组内，
故答案为：C；
（3）D组甲校共有3人，记为A、B、C；乙校共有2人，记为D、E，
画树状图如图：
共有20个等可能的结果，同时选中乙校同学的结果有2个，
∴同时选中乙校同学的概率为＝．
七、（本题满分12分）
22．（12分）2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系如下表：
第x天
1
2
3
4
5
销售价格p（元/只）
2
3
4
5
6
销量q（只）
70
75
80
85
90
物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量q（只）与第x天的关系为q＝﹣2x2+80x﹣200 （6≤x≤30，且x为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．
（1）直接写出该药店该月前5天的销售价格p与x和销量q与x之间的函数关系式；
（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W（元）与x的函数关系式，并判断第几天的利润最大；
（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则m的取值范围为 m≥ ．
【分析】（1）根据表格数据可得前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系；
（2）当1≤x≤5且x为整数时，W＝（x+1﹣0.5）（5x+65）＝5x2+x+；当6≤x≤30且x为整数时，W＝（1﹣0.5）（﹣2x2+80x﹣200）＝﹣x2+40x﹣100．再根据二次函数的性质即可求出第5天时利润最大为495元；
（3）根据题意可得，获得的正常利润之外的非法所得部分为：（2﹣0.5﹣0.5）×70+（3﹣1）×75+（4﹣1）×80+（5﹣1）×85+（6﹣1）×90＝1250（元），再根据罚款金额不低于2000元，即可求出m的取值范围．
【解答】解：（1）根据表格数据可知：
前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系为：
p＝x+1，1≤x≤5且x为整数；
q＝5x+65，1≤x≤5且x为整数；
（2）当1≤x≤5且x为整数时，
W＝（x+1﹣0.5）（5x+65）
＝5x2+x+；
当6≤x≤30且x为整数时，
W＝（1﹣0.5）（﹣2x2+80x﹣200）
＝﹣x2+40x﹣100．
即有W＝，
当1≤x≤5且x为整数时，售价，销量均随x的增大而增大，
故当x＝5时，W有最大值为：495元；
当6≤x≤30且x为整数时，
W═﹣x2+40x﹣100＝﹣（x﹣20）2+300，
故当x＝20时，W有最大值为：300元；
由495＞300，可知：
第5天时利润最大为495元．
（3）根据题意可知：
获得的正常利润之外的非法所得部分为：
（2﹣1）×70+（3﹣1）×75+（4﹣1）×80+（5﹣1）×85+（6﹣1）×90＝1250（元），
∴1250m≥2000，
解得m≥．
则m的取值范围为m≥．
故答案为：m≥．
八、（本题满分14分）
23．（14分）矩形ABCD中，E为AB边上任一点，AG⊥DE，交BC于点H，BG交AD于点F．
（1）如图1，若AD＝AB，求证：
①AH＝DE；
②BG•AF＝AE•GF；
（2）如图2，若，且E为AB中点时求tan∠AGF的值．
【分析】（1）①根据矩形的性质可得∠DAE＝∠HBA＝90°，根据同角的余角相等得∠ADE＝∠BAH，利用ASA可得△ADE≌∠BAH（ASA），即可得出结论；
②根据矩形的性质可得BC∥AD，可得出△BGH∽△FGA，根据相似三角形的性质得，由①得△ADE≌∠BAH，根据全等三角形的性质可得BH＝AE，等量代换即可得出结论；
（2）延长DE，过B点作BM⊥DE，垂足为M，则BM∥AG，根据平行线的性质得∠MBG＝∠AGF，由E为AB中点，根据平行线分线段成比例定理得，可得出EM＝EG＝MG，可证出△BEM∽△DEA，根据相似三角形的性质得，由已知，且E为AB中点得出AE＝AB＝AD，，即tan∠MBG＝，即可得出tan∠AGF的值．
【解答】（1）证明：①∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DAE＝∠HBA＝90°，
∴∠BAH+∠DAH＝90°，
∵AG⊥DE，
∴∠DAH+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠BAH，
∵AD＝AB，
∴△ADE≌∠BAH（ASA），
∴AH＝DE；
②∵四边形ABCD为矩形，
∴BC∥AD，
∴△BGH∽△FGA，
∴，
∴BG•AF＝BH•GF，
由①得△ADE≌∠BAH，
∴BH＝AE，
∴BG•AF＝AE•GF；
（2）解：如图，延长DE，过B点作BM⊥DE，垂足为M，
∵AG⊥DE，
∴BM∥AG，
∴∠MBG＝∠AGF，
∵E为AB中点，BM∥AG，
∴，
∴EM＝EG＝MG，
∵∠BEM＝∠DEA，∠BME＝∠DAE＝90°，
∴△BEM∽△DEA，
∴，
∵，且E为AB中点，
∴AE＝AB＝AD，
∴，
∴tan∠MBG＝，
∵∠MBG＝∠AGF，
∴tan∠AGF＝．
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