专题22 等腰三角形（知识点串讲）-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型

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专题22 等腰三角形
【知识要点】
等腰三角形概念：有两边相等的三角形角等腰三角形。
等腰三角形性质：
1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）
等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.
等边三角形概念：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。
等边三角形性质和判定：
（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。
（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（补充：
（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。
（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线[
【考查题型】

考查题型一 等腰三角形的定义
【解题思路】考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
典例1．（2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（ ）
A．9 B．17或22 C．17 D．22
【答案】D
【提示】分类讨论腰为4和腰为9，再应用三角形的三边关系进行取舍即可．
【详解】解：分两种情况：
当腰为4时，，所以不能构成三角形；
当腰为9时，，所以能构成三角形，周长是：．
故选：D．
变式1-1．（2020·广西玉林市·中考真题）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35度方向，B岛在A岛的北偏东80度方向，C岛在B岛的北偏西55度方向，则A，B，C三岛组成一个（ ）

A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【提示】先根据方位角的定义分别可求出，再根据角的和差、平行线的性质可得，，从而可得，然后根据三角形的内角和定理可得，最后根据等腰直角三角形的定义即可得．
【详解】由方位角的定义得：

由题意得：



由三角形的内角和定理得：
是等腰直角三角形
即A，B，C三岛组成一个等腰直角三角形
故选：A．
变式1-2．（2020·青海中考真题）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ）
A．55°，55° B．70°，40°或70°，55°
C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°
【答案】D
【提示】先根据等腰三角形的定义，分的内角为顶角和的内角为底角两种情况，再分别根据三角形的内角和定理即可得．
【详解】（1）当的内角为这个等腰三角形的顶角
则另外两个内角均为底角，它们的度数为
（2）当的内角为这个等腰三角形的底角
则另两个内角一个为底角，一个为顶角
底角为，顶角为
综上，另外两个内角的度数分别是或
故选：D．
变式1-3．（2020·湖南张家界市·中考真题）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．2或4
【答案】A
【提示】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．
【详解】解：x2－6x+8=0
（x－4）（x－2）=0
解得：x=4或x=2，
当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，
所以三角形的底边长为2，
故选：A．
考查题型二 根据等边对等角求角度
典例2．（2020·广西中考真题）如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（　　）

A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】B
【提示】利用切线的性质及等腰三角形的性质求出∠OAC及∠OAB即可解决问题．
【详解】解：∵AC与⊙O相切于点A，
∴AC⊥OA，
∴∠OAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA．
∵∠O＝130°，
∴∠OAB＝＝25°，
∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝90°﹣25°＝65°．
故选：B．
变式2-1．（2020·甘肃兰州市·中考真题）如图，，，，则的度数是 （ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【提示】利用平行线的性质结合等腰三角形的性质求出∠CAD，再根据三角形内角和定理求出∠2．
【详解】解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠ACD＝65°，
∵AD＝CD，∴∠DCA＝∠CAD＝65°，
∴∠2＝180°−65°−65°＝50°．故选：A．
变式2-2．（2020·山东临沂市·中考真题）如图，在中，，，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【提示】先根据等腰三角形的性质得到∠B的度数，再根据平行线的性质得到∠BCD.
【详解】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠B=∠ACB=70°，
∵CD∥AB，∴∠BCD=∠B=70°，故选D.
变式2-3．（2020·浙江温州市·中考真题）如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作□BCDE，则∠E的度数为（ ）

A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】D
【提示】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠C的度数，再根据平行四边形的性质解答即可．
【详解】解：∵∠A＝40°，AB＝AC，
∴∠ABC=∠C=70°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠E=∠C=70°．
故选：D．
考查题型三 根据三线合一求解
典例3．（2020·广东深圳市·中考真题）如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【提示】根据尺规作图的方法步骤判断即可．
【详解】由作图痕迹可知AD为∠BAC的角平分线，而AB=AC，
由等腰三角形的三线合一知D为BC重点，BD=3，故选B
变式3-1．（2020·铜仁市·中考真题）已知等边三角形一边上的高为2，则它的边长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．4
【答案】C
【提示】根据等边三角形的性质：三线合一，利用勾股定理可求解即可．
【详解】根据等边三角形的三线合一性质：
设它的边长为x，可得：，
解得：x＝4，x＝﹣4（舍去），
故选：C．
变式3-2．（2020·四川中考真题）已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为（　　）
A．2 B．2﹣2 C．2+2 D．2
【答案】B
【提示】根据等腰直角三角形的性质得到斜边AB＝4，由已知条件得到点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，于是得到结论．
【详解】解：∵等腰直角三角形ABC的腰长为4，
∴斜边AB＝4，
∵点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，
∴点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，
当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴CM＝AB＝2，
∵PC＝2，
∴PM＝CM﹣CP＝2﹣2，
故选：B．

考查题型四 格点中画等腰三角形
典例4 在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得△ABC是等腰三角形，则这样的格点C的个数是（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【提示】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
【详解】
解：如图，

分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选C．
变式4-1．（2020·山东枣庄市一模）如图，A、B是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长都是1，图中使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【详解】解：∵A、B是4×5网格中的格点，
∴AB=，
同理可得，AC=BD=AC=，
∴所求三角形有：△ABD，△ABC，△ABE．如图：

故选B．
变式4-2．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC＝1.5，则满足条件的格点C有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】试题提示：如下图，△ABC为等腰三角形，点C的位置一共有6种可能，其中满足面积为1.5的，只有C5和C6.

考查题型五 根据等角对等边证明等腰三角形
典例5．要使得△ABC是等腰三角形，则需要满足下列条件中的（　　）
A．∠A=50°，∠B=60°B．∠A=50°，∠B=100°C．∠A+∠B=90° D．∠A+∠B=90°
【答案】D
【提示】根据三角形的内角和是180°结合选项中的条件能够证得有两个角相等即为等腰三角形．
【详解】解：A、∵∠A=50°，∠B=60°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=70°，
所以∠A≠∠B≠∠C，
所以△ABC不是等腰三角形；
B、∵∠A=50°，∠B=100°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=30°，
所以∠A≠∠B≠∠C，
所以△ABC不是等腰三角形；
C、∠A+∠B=90°不能判定△ABC是等腰三角形；
D、∠A+∠B=90°，
则2∠A+∠B=180°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=∠C，
所以△ABC是等腰三角形．
故选D．
变式5-1．（2020·无锡市模拟）下列能断定△ABC为等腰三角形的是（　　）
A．∠A=40°，∠B=50° B．∠A=2∠B=70°
C．∠A=40°，∠B=70° D．AB=3，BC=6，周长为14
【答案】C
【提示】根据三角形内角和计算角的度数，判断三角形中是否有相等的角；根据三角形的周长计算是否有相等的边即可判断.
【详解】A. ∠C=180°−40°−50°=90°，没有相等的角，则不是等腰三角形，本选项错误； 
B、∵∠A=2∠B=70°， 
∴∠B=35°， 
∴∠C=75°，没有相等的角，则不是等腰三角形，本选项错误； 
C、∠C=180°−40°−70°=70°，有相等的角，则是等腰三角形，本选项正确； 
D、∵AB=3，BC=6，周长为14， 
∴AC=14−6−3=5，没有相等的边，则不是等腰三角形，本选项错误； 
故选C．
变式5-2．如图，在△ABC 中，AB＝AC，BO、CO 分别平分∠ABC、∠ACB，DE 经过点 O， 且 DE∥BC，DE 分别交 AB、AC 于 D、E，则图中等腰三角形的个数为( )

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【提示】根据等腰三角形的判定定理，即可得到答案.
【详解】∵在△ABC 中，AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，
∴∠ADE=∠AED，
∴△ADE是等腰三角形，
∵BO、CO 分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴△OBC是等腰三角形，
∵DE∥BC，BO、CO 分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠DBO=∠OBC=∠DOB，∠ECO=∠OCB=∠EOC，
∴△DBO，△ECO是等腰三角形，
∴图中由5个等腰三角形，
故选D.
考查题型六 根据等角对等边求边长
典例6．（2020·山东青岛市·中考真题）如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点若，，则的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【提示】先证明再求解利用轴对称可得答案．
【详解】
解：由对折可得：
矩形，





BC=8

由对折得：
故选C．
变式6-1．（2020·山东济宁市·中考真题）一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（ ）
A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里
【答案】C
【提示】根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出∠C=∠CAB=42°，根据等角对等边得出BC=AB，求出AB即可．
【详解】解：∵根据题意得：∠CBD=84°，∠CAB=42°，
∴∠C=∠CBD-∠CAB=42°=∠CAB，
∴BC=AB，
∵AB=15海里/时×2时=30海里，
∴BC=30海里，
即海岛B到灯塔C的距离是30海里．
故选C.

变式6-2．（2020·河北九年级其他模拟）如图，在▱ABCD中，AB＝8，BC＝5，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AD、AB于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠DAB内交于点M，连接AM并延长交CD于点E，则CE的长为（　　）

A．3 B．5 C．2 D．6.5
【答案】A
【提示】根据作图过程可得得AE平分∠DAB；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠DAE=∠DEA，证出AD=DE=5，即可得出CE的长．
【详解】解：根据作图的方法得：AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，AD=BC=5，
∴∠DEA=∠EAB，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE=5，
∴CE=DC-DE=8-5=3；
故选A．
考查题型七 等腰三角形性质与判定的综合
典例7．（2020·浙江绍兴市·中考真题）问题：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC，若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．
答案：∠DAC＝45°
思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由；
（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．

【答案】（1）∠DAC的度数不会改变，值为45°；（2）n°．
【提示】
（1）根据等腰三角形的性质得到∠AED＝2∠C，①求得∠DAE＝90°-∠BAD＝90°-（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②由①，②即可得到结论；
（2）设∠ABC＝m°，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）∠DAC的度数不会改变；
∵EA＝EC，
∴∠AED＝2∠C，①
∵∠BAE＝90°，
∴∠BAD＝ [180°﹣（90°﹣2∠C）]＝45°+∠C，
∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②
由①，②得，∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°；
（2）设∠ABC＝m°，
则∠BAD＝（180°﹣m°）＝90°﹣m°，∠AEB＝180°﹣n°﹣m°，
∴∠DAE＝n°﹣∠BAD＝n°﹣90°+m°，
∵EA＝EC，
∴∠CAE＝∠AEB＝90°﹣n°﹣m°，
∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝n°﹣90°+m°+90°﹣n°﹣m°＝n°．
变式7-1．（2020·江苏淮安市·中考真题）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为、、，测得，，千米，求、两点间的距离．（参考数据：，，结果精确到1千米）．

【答案】、两点间的距离约为11千米．
【提示】
如图（见解析），先根据直角三角形的性质、勾股定理可求出CD、AD的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得BD的长，然后根据线段的和差即可得．
【详解】
如图，过点C作于点D
在中，，千米
（千米），（千米）
在中，
是等腰直角三角形
千米
（千米）
答：、两点间的距离约为11千米．

变式7-2．（2020·辽宁鞍山市·中考真题）图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，为立柱的一部分，灯臂，支架与立柱分别交于A，B两点，灯臂与支架交于点C，已知，，，求支架的长．（结果精确到，参考数据：，，）

【答案】49cm
【提示】
过点C作CD⊥MN，垂足为D，分别解△ACD和△BCD，即可得到结果．
【详解】
解：过点C作CD⊥MN，垂足为D，
∵∠MAC=60°，∠ACB=15°，
∴∠ABC=60°-15°=45°，∠ACD=30°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∵AC=40cm，
∴在Rt△ACD中，AD=AC=20cm，
∴CD=cm，
∴在Rt△BCD中，BC=cm，
∴支架BC的长为49cm．

考查题型八 等边三角形的性质
典例8．（2020·福建中考真题）如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（ ）

A．1 B． C． D．
【答案】D
【提示】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是．
【详解】∵分别是，，的中点,且△ABC是等边三角形,
∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,
∴△DEF的面积是．
故选D．
变式8-1．（2020·山西中考真题）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【提示】先证明是等边三角形，求解，利用摆盘的面积等于两个扇形面积的差可得答案．
【详解】解：如图，连接，

是等边三角形，




所以则图中摆盘的面积
故选B．

变式8-2．（2019·甘肃天水市·中考真题）如图，等边的边长为2，则点的坐标为(　　)

A． B． C． D．
【答案】B
【提示】过点作于点，由勾股定理求出BH的长，即可求出点B的坐标.
【详解】过点作于点，∵是等边三角形，
∴，．
∴点的坐标为．
故选B．

考查题型九 等边三角形的性质与判定的综合
典例9．（2020·内蒙古中考真题）如图，一个人骑自行车由A地到C地途经B地当他由A地出发时，发现他的北偏东方向有一电视塔P，他由A地向正北方向骑行了到达B地，发现电视塔P在他北偏东方向，然后他由B地向北偏东方向骑行了到达C地．

（1）求A地与电视塔P的距离；
（2）求C地与电视塔P的距离．
【答案】（1）AP=；（2）6
【提示】
（1）由题意知：∠A=45°，∠NBC=15°，∠NBP=75°，过点B作BE⊥AP于点E，求出AE=BE=3；
（2）先利用三角函数求出BP=6，继而根据方位角求得∠CBP=60°，结合BC=6，即可证得△BCP是等边三角形，从而求得答案．
【详解】
（1）由题意知：∠A=45°，∠NBC=15°，∠NBP=75°，
过点B作BE⊥AP于点E，如图，
在Rt△ABE中，∠ABE=90°-45°=45°，
∴AE=BE，
∵，
∴AE=BE=3，
在Rt△BEP中，∠EBP=180°-∠ABE-∠NBP=60°，
∴PE=，
∴AP=AE+PE=；

（2）∵BE=3，∠BEP=90°，∠EBP=60°，
∴BP=，
又∵∠CBP=∠NBP-∠NBC=75°-15°=60°，BC=6，
∴△BCP是等边三角形，
∴CP=BP=6．
变式9-1．（2020·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）（1）（操作发现）
如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．
①请按要求画图：将绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点，点C的对应点为点．连接；
②在①中所画图形中，＝　　°．
（2）（问题解决）
如图2，在中，BC＝1，∠C＝90°，延长CA到D，使CD＝1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE，连接DE，求∠ADE的度数．
（3）（拓展延伸）
如图3，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．

【答案】（1）①见解析，②45；（2）135°；（3）
【提示】
（1）①根据旋转角，旋转方向画出图形即可．
②只要证明△ABB′是等腰直角三角形即可．
（2）如图2，过点E作EH⊥CD交CD的延长线于H．证明△ABC≌△EAH（AAS）即可解决问题．
（3）如图3中，由AE⊥BC，BE＝EC，推出AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，只要证明∠GDC＝90°，可得CG＝，由此即可解决问题．
【详解】
解：（1）①如图，△AB′C′即为所求．

②由作图可知，△ABB′是等腰直角三角形，
∴∠AB′B＝45°，
故答案为45．
（2）如图2中，过点E作EH⊥CD交CD的延长线于H．

∵∠C＝∠BAE＝∠H＝90°，
∴∠B+∠CAB＝90°，∠CAB+∠EAH＝90°，
∴∠B＝∠EAH，
∵AB＝AE，
∴△ABC≌△EAH（AAS），
∴BC＝AH，EH＝AC，
∵BC＝CD，
∴CD＝AH，
∴DH＝AC＝EH，
∴∠EDH＝45°，
∴∠ADE＝135°．
（3）如图③中，∵AE⊥BC，BE＝EC，
∴AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，

∵∠BAD＝∠CAG，
∴∠BAC＝∠DAG，
∵AB＝AC，AD＝AG，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，
∴△ABC∽△ADG，
∵AD＝kAB，
∴DG＝kBC＝2k，
∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，
∴∠ADG+∠ADC＝90°，
∴∠GDC＝90°，
∴CG＝＝．
∴BD＝CG＝．
考查题型十 含30°角的直角三角形
典例10．（2020·海南中考真题）如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【提示】由旋转的性质可知，，进而得出为等边三角形，进而求出．
【详解】解：∵
由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知，
∴cm，
又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，
由旋转的性质可知：，且，
∴为等边三角形，
∴．
故选：B．
变式10-1．（2020·湖北中考真题）如图，点在上，，垂足为E．若，，则（ ）

A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【提示】连接OC，根据圆周角定理求得，在中可得，可得OC的长度，故CE长度可求得，即可求解．
【详解】
解：连接OC，

∵，
∴，
在中，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
∵，垂足为E，
∴，
故选：D．
变式10-2．（2020·山东枣庄市·中考真题）如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【提示】如图，作轴于．解直角三角形求出，即可．
【详解】如图，作轴于．

由题意：，，
，
，，
，
，
故选B．