2021年北京市昌平区高三上学期期末质量抽测数学试题（Word版，含答案）
展开昌平区2020—2021学年第一学期高三年级期末质量抽测
数学试卷
本试卷共5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合，那么（ ）
A． B． C． D．
2．复数（ ）
A． B． C．i D．2
3．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
4．的展开式中常数项是（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
5．已知抛物线上一点P到焦点F的距离为5，那么点P到y轴的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．函数的一个零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为（ ）
A．4 B．5 C． D．
8．已知，则“”是“函数的最小正周期为”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知直线与圆相交于两点，且，那么实数k的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
10．斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．斐波那契数列可以用如下方法定义：．若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．已知是等差数列，若，则_______．
12．已知向量，且，则实数_______．
13．已知双曲线的离心率是，则双曲线的右焦点坐标为_______．
14．已知函数，那么函数的最小正周期是_____：若函数在上具有单调性，且，则________．
15．高中学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选3个科目构成“选考科目组合”参加高考．已知某班37名学生关于选考科目的统计结果如下：
选考科目名称 | 物理 | 化学 | 生物 | 历史 | 地理 | 政治 |
选考该科人数 | 24 | 28 | 14 | 15 | a | b |
下面给出关于该班学生选考科目的四个结论：
①若，则；
②选考科目组合为“历史+地理+政治”的学生一定不超过9人；
③在选考化学的所有学生中，最多出现10种不同的选考科目组合；
④选考科目组合为“生物+历史+地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的．其中所有正确结论的序号是_______．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（本小题满分13分）
如图，在四棱锥中，平面，且．
（I）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
17．（本小题满分13分）
在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）的面积．
条件①：；条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题满分14分）
智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测．调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差．对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能体温计“测温失误”．
现在某社区随机抽取了20人用两种体温计进行体温检测，数据如下：
序号 | 智能体温计 测温（） | 水银体温计 测温（） | 序号 | 智能体温计 测温（） | 水银体银计 测温（） |
01 | 36.6 | 36.6 | 11 | 36.3 | 36.2 |
02 | 36.6 | 36.5 | 12 | 36.7 | 36.7 |
03 | 36.5 | 36.7 | 13 | 36.2 | 36.2 |
04 | 36.5 | 36.5 | 14 | 35.4 | 35.4 |
05 | 36.5 | 36.4 | 15 | 35.2 | 35.3 |
06 | 36.4 | 36.4 | 16 | 35.6 | 35.6 |
07 | 36.2 | 36.2 | 17 | 37.2 | 37.0 |
08 | 36.3 | 36.4 | 18 | 36.8 | 36.8 |
09 | 36.5 | 36.5 | 19 | 36.6 | 36.6 |
10 | 36.3 | 36.4 | 20 | 36.7 | 36.7 |
（Ⅰ）试估计用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率；
（Ⅱ）从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量X为使用智能体温计“测温准确”的人数，求X的分布列与数学期望；
（Ⅲ）医学上通常认为，人的体温在不低于且不高于时处于“低热”状态．该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由．
19．（本小题满分15分）
已知函数．
（I）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若函数在处取得极小值，求实数a的取值范围．
20.（本小题满分15分）
已知椭圆的长轴长为4，且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点且斜率为k的直线与椭圆C交于两点，线段的垂直平分线交x轴于点D，判断是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由．
21．（本小题满分15分）
已知数列，从中选取第项、第项、 、第项，若，则称新数列为的长度为m的递增子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的递增子列．
（Ⅰ）写出数列的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）设数列．若数列的长度为p的递增子列中，任意三项均不构成等差数列，求p的最大值；
（Ⅲ）设数列为等比数列，公比为q，项数为．判定数列是否存在长度为3的递增子列：？若存在，求出N的最小值；若不存在，说明理由．
昌平区2020—2021学年第一学期高三年级期末质量抽测
数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
答案 | C | A | B | B | C | B | C | A | D | A |
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．7 12． 13． 14．； 15．①②③
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为平面平面，
所以． 2分
因为，
所以． 4分
因为， 5分
所以平面． 6分
（Ⅱ）因为平面， 7分
所以以D为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系．
则， 8分
所以．
设平面的法向量为，
因为即
所以
令，于是． 10分
因为平面，
所以平面的法向量为， 11分
所以． 12分
由题知二面角为锐角，所以其余弦值是． 13分
17．（本小题满分13分）
解：选择条件①：
（Ⅰ）因为，
所以， 3分
因为，所以． 4分
所以． 5分
所以． 6分
（Ⅱ）由余弦定理， 7分
得，
所以． 9分
解得或（舍负）．
所以． 10分
所以的面积． 13分
选择条件②：
（Ⅰ）因为，
所以， 3分
解得或． 4分
因为，
所以． 5分
所以． 6分
（Ⅱ）由余弦定理， 7分
得，
所以， 9分
解得或（舍负）．
所以． 10分
所以的面积． 13分
18．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）表中20人的体温数据中，用智能体温计与水银体温计测温结果相同的序号是，共有12种情况． 2分
由此估计所求概率为． 4分
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为． 5分
由（Ⅰ）可知，用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率为．
所以； 6分
； 7分
； 8分
； 9分
所以X的分布列为
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
10分
故X的数学期望． 11分
（Ⅲ）设这3人中至少有1人处于“低热”状态为事件N．
表中20人的体温数据中，用智能体温计的测温结果，高于其真实体温的序号为，共计4种情况，由此估计从社区任意抽査1人，用智能体温计的测温结果高于其真实体温的概率为．由此估计，这3人中至少有1人处于“低热”状态的概率为． 12分
结论1：因为，接近于1，由此可以认定这3人中至少有1人处于“低热”状态． 14分结论2：因为，所以有可能这3人都不处于“低热”状态． 14分
19．（本小题满分15分）
解：（I）当时，． 1分
所以， 3分
所以， 4分
因为． 5分
所以切线方程为． 6分
（Ⅱ）函数的定义域为．
因为 7分
所以． 9分
令，即，解得或． 10分
（1）当时，当x变化时，的变化状态如下表：
x | 1 | ||
－ | 0 | ＋ | |
极小值 |
所以当时，取得极小值．
所以成立． 11分
（2）当时，当x变化时，的变化状态如下表：
x | 1 | ||||
＋ | 0 | － | 0 | ＋ | |
极大值 | 极小值 |
所以当时，取得极小值．
所以成立． 12分
（3）当时，在上恒成立，
所以函数在上单调递增，没有板小值，不成立． 13分
（4）当时，当x变化时，的变化状态如下表：
x | 1 | ||||
＋ | 0 | － | 0 | ＋ | |
极大值 | 极小值 |
所以当时，取得极大值．
所以不成立． 14分
综上所述，． 15分
20.（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）依题意得
解得． 4分
故椭圆C的方程为． 5分
（II）是定值． 6分
由已知得直线． 7分
由消去y得． 8分
所以． 9分
设，则． 10分
所以
．
所以． 11分
因为，
所以线段的中点为． 12分
（1）当时，．所以． 13分
（2）当时，线段的垂直平分线方程为，
令，得，即．
所以． 14分
所以．
综上所述，为定值4． 15分
21．（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）长度为4的一个递增子列为：（或）． 4分
（Ⅱ）设数列的长度为P的递增子列为．
因为数列，各项均为正整数．
所以．（若，则成等差数列）． 6分
同理，且， 7分
所以．
同理， 8分
又因为， 9分
所以与已知条件矛盾．
所以． 10分
构造数列的递增子列：，其中任意三项均不构成等差数列，所以p的最大值为8． 11分
（Ⅲ）不存在．理由如下：
由题意，假设数列存在长度为3的递增子列：，
则存在，使．
所以，得．
同理，得．
所以． 13分
下面证明为无理数：
假设为有理数，，且互质，
所以．
因为是偶数，是奇数，
所以，与事实矛盾，故假设不成立．
所以为无理数．
又因为为有理数，
所以式不成立．
所以数列不存在长度为3的递增子列：． 15分
